Li-Integrals tse sa Feleng le tse sa Feleng
Kopanyo ke mohopolo wa motheo ho calculus, o sebediswang ho bala sebaka se ka tlasa mothapo, kakaretso e kopaneng, le ditshebediso tse ding tse mmalwa mafapheng a kang fisiks, moruo, baeloji le boenjiniere. Kopanyo hangata e nkuwa e le tshebetso e fapaneng ya phapang. Ka kutlwisiso ena, haeba re tseba se tswang ho mosebetsi, re ka fumana mosebetsi wa pele re sebedisa motsoako. Ho na le mefuta e mmedi e tsebahalang le e sebediswang kgafetsa ya metsoako ho calculus: motsoako o hlakileng le motsoako o sa feleng. Sengoloa sena se tla teba ka botebo mefuteng ka bobedi ya metsoako, se fana ka ditlhaloso tsa semmuso, mehlala le ditshebediso tse sebetsang.
E Kopaneng e sa Feleng
Tlhaloso
Karolo e sa lekanyetsoang ke ts'ebetso e khutlisang ts'ebetso ea mantlha ho tsoa ho derivative. Karolo e sa lekanyetsoang ea ts'ebetso \( f(x) \) e hlalosoa ka tsela ena:
\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]
Moo:
– \( F(x) \) ke mosebetsi wa pele (antiderivative) wa \( f(x) \).
– \( C \) ke ntho e sa fetoheng ya kopanyo.
Ha re bua ka li-integral tse sa feleng, ha e le hantle re batla lelapa la mesebetsi eo derivative ea eona ea pele e leng \( f(x) \).
Mohlala
A re re re batla ho fumana karolo e sa lekanyetsoang ea mosebetsi \( f(x) = 2x \). Re batla mosebetsi \( F(x) \) hoo derivative ea \( F(x) \) e leng \( 2x \). Rea tseba hore derivative ea \( x^2 \) ke \( 2x \), kahoo e 'ngoe ea mesebetsi ea pele ea \( 2x \) ke \( x^2 \). Leha ho le joalo, re tlameha ho eketsa constant ea integration \( C \), hobane derivative ea constant ke lefela. Kahoo,
\[ \int 2x \, dx = x^2 + C \]
Mohlala o mong: karolo e ka sehloohong ea \( e^x \) ke \( e^x + C \), hobane motsoako oa \( e^x \) o sala \( e^x \).
E Kopaneng e Tiileng
Tlhaloso
Karolo e itseng e kenyeletsang e na le meeli e itseng ea kopanyo 'me sephetho sa eona ke nomoro ea 'nete. Karolo e itseng e kenyeletsang ea \( f(x) \) ho tloha \( a \) ho ea ho \( b \) e hlalosoa ka tsela ena:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Karolo ena e kopaneng e bala "sebaka" tlasa mothapo \( f(x) \) ho tloha \( x = a \) ho isa \( x = b \).
Khopolo-taba ea Motheo ea Calculus
Khopolo-taba ea Motheo ea Calculus e amana le li-integral tse tobileng le tse sa lekanyetsoang. Khopolo-taba ena e bolela hore haeba \( F \) e le mosebetsi oa pele oa \( f \), joale:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
Mohlala
A re re re batla ho fumana karolo e tobileng ea \( f(x) = 2x \) karolong [1, 3]. Taba ea pele, re hloka ho fumana mosebetsi oa pele oa \( 2x \), e leng \( x^2 \). Ka Theorem ea Motheo ea Calculus, re ka bala:
\[ \int_{1}^{3} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{1}^{3} = 3^2 – 1^2 = 9 – 1 = 8 \]
Kahoo, karolo e tobileng ea bohlokoa \( \int_{1}^{3} 2x \, dx \) ke 8.
Litšebeliso tse Sebetsang
Li-integral li na le lits'ebetso tse ngata mafapheng a fapaneng. Tse ling tsa tsena li kenyelletsa:
Fisiks
Fisiks, metsoako e kopaneng e sebediswa ho bala dintho tse fapaneng, tse kang:
– Motsamao oa lintho ka lebelo le fapaneng.
– Motlakase le makenete, haholo-holo ha ho baloa masimo a motlakase kapa masimo a makenete.
– Mosebetsi o etsoang ke matla a feto-fetohang.
Mohlala, haeba matla \( F(x) \) a fanoa e le mosebetsi oa sebaka \( x \), joale mosebetsi o etsoang ke matla ana ho tloha boemong \( a \) ho ea ho \( b \) o ka baloa ho sebelisoa motsoako o tobileng:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
moruo
Moruong, di-integral di sebediswa ho bala ditjeo tsohle, lekeno, kapa phaello tlasa maemo a fetofetohang. Mohlala, haeba ditjeo tse ka thoko \(C'(x) \) di fanwa e le mosebetsi wa bongata ba thepa e hlahiswang, jwale ditjeo tsohle \(C(x) \) di ka fumanwa ka ho kopanya mosebetsi wa ditjeo tse ka thoko.
baeloji
Ho baeloji, metsoako e kopaneng e ka sebediswa ho etsa mohlala wa kgolo ya baahi. A re re \(r(t) \) e be sekgahla sa kgolo ya baahi jwalo ka ha ho etswa ka nako \(t \), ebe palo yohle ya baahi ka nako \(t \) ke motsoako wa \(r(t) \) ho tloha nakong ya pele ho isa ho \(t \).
Mekhoa ea Lipalo
Maemong a mangata a sebetsang, haholo-holo ha mosebetsi o kopantsweng o le thata kapa o sa kgonehe ho kopanngwa ka tlhahlobo, mekgwa ya dipalo e kang mokhoa wa trapezoidal kapa wa Simpson e sebediswa ho hakanya karolo e kopaneng. Mokgwa o mong o jwalo wa ho hakanya dipalo ke mokgwa wa molao wa trapezoidal.
Mokhoa oa Trapezoid
Mokhoa oa trapezoidal o hakanya sebaka se ka tlas'a mothinya ka ho akaretsa libaka tsa trapezoid tse entsoeng lipakeng tsa lintlha tse hlalositsoeng mosebetsing.
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{ba}{2} \left[ f(a) + f(b) \right] \]
Bakeng sa ho nepahala ho hoholo, karohano [a, b] e ka aroloa ka mekhahlelo e 'maloa e menyenyane.
Mokhoa oa Simpson
Mokhoa oa Simpson o boetse o hakanya karolo e kopaneng ka ho arola karohano ka li-subinterval le ho sebelisa polynomial ea boemo ba bobeli ho hakanya mosebetsi \( f(x) \). Sena se fana ka liphetho tse nepahetseng ho feta mokhoa oa trapezoidal.
E Kopanetsoeng le Phetoho
Mafapheng a lipalo a kang tlhahlobo ea Fourier le Laplace, li-integral ke lisebelisoa tsa bohlokoa. Liphetoho tsena li sebelisoa ho fetola mesebetsi ho tloha sebakeng sa nako ho ea sebakeng sa maqhubu, ho fana ka temohisiso e tebileng mabapi le tlhahlobo ea sistimi e otlolohileng, tlhahlobo ea matšoao le ts'ebetso ea litšoantšo.
Qetello
Li-integral ke lisebelisoa tsa bohlokoa ho calculus tse nang le lits'ebetso tse pharaletseng mafapheng a fapaneng. Li-integral tse sa feleng li fana ka litharollo tse akaretsang tse kenyeletsang mesebetsi ea pele hammoho le ho kopanngoa ho sa fetoheng, ha li-integral tse tobileng li sebelisoa ho bala boleng ba lipalo bo tiileng lipakeng tsa meeli e fanoeng. Ho utloisisa mefuta ena e 'meli ea li-integral ho bula monyako oa lits'ebetso tse ngata, ho tloha ho rarolla mathata a fisiks ho isa ho ntlafatseng mehlala ea moruo. Mekhoa ea lipalo, joalo ka mokhoa oa trapezoidal le mokhoa oa Simpson, e bapala karolo ea bohlokoa ha kopanyo ea tlhahlobo e sa khonehe. Ha e le hantle, li-integral li fana ka moralo o matla oa ho utloisisa le ho etsa mohlala oa liketsahalo tse tsoelang pele tsa tlhaho le tse entsoeng ke motho.
