Mokhoa oa ho Rarolla Likarolo tse sa Tšoaneng: Tataiso e Felletseng
Ho kopanya ka likarolo ke mokhoa oa bohlokoa oa ho bala o hlahang khafetsa mafapheng a fapaneng, ho tloha fisiks le boenjiniere ho ea moruong le lipalo-palo. Maemong a mangata, likarolo tse kopaneng tse bonahalang li rarahane kapa li sa rarolloe ho sebelisoa mekhoa e tloaelehileng li ka nolofatsoa ho sebelisoa ho kopanya ka likarolo. Sengoloa sena se tla fana ka tataiso e qaqileng ea mokhoa oa ho rarolla likarolo tse kopaneng ka likarolo, ho kenyeletsoa likhopolo tsa motheo, mehato ea tharollo le mehlala e sebetsang.
Karolo e Integral ke eng?
Ho kopanya karolo ke mokhoa oa ho kopanya o sebelisoang ha motsoako o kopaneng e le sehlahisoa sa mesebetsi e 'meli o ka sebetsoang habonolo ka ho o arola likarolo tse peli. Mokhoa ona o thehiloe holim'a molao oa ho kopanya karolo, e leng ts'ebeliso ea molao oa sehlahisoa se tsoang ho sehlahisoa ka har'a lipalo tse fapaneng. Molao oa motheo oa ho kopanya karolo o ka boleloa tjena:
\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]
Mona:
– \( u \) le \( v \) ke mesebetsi e lokelang ho fumanwa,
– \( du \) ke letswai la \( u \),
– \( dv \) ke phapang ya \( v \), mme
– \( dv \) e kopantswe ho fumana \( v \).
Ho sebelisa mokhoa ona, re hloka ho khetha \( u \) le \( dv \) tse loketseng e le hore ts'ebetso ea kopanyo e be bonolo kamora ho sebelisa foromo.
Mehato ea ho Rarolla Likarolo tse sa Tšoaneng
1. Hlalosa mesebetsi \( u \) le \( dv \)
Mohato wa pele wa kopanyo e sa fellang ke ho kgetha mesebetsi \( u \) le \( dv \) bakeng sa integral e fanweng. Kgetho ya \( u \) le \( dv \) e bohlokwa hobane e etsa qeto ya bonolo ba integral e hlahang. Ka tlwaelo, re kgetha \( u \) e le mosebetsi o bang bonolo ha ho kgethollwa (\( du \)), le \( dv \) e le mosebetsi o dulang o ka kopanngwa habonolo.
Jwalo ka tataiso, re ka sebedisa mokgwa wa LIATE ho kgetha \( u \):
– Mesebetsi ea Logarithmic (\( \ln (x) \))
– Mesebetsi e fapaneng ya trigonometric (\( \arctan(x), \arcsin(x), \arccos(x) \))
– Mesebetsi ea lgebraic (\( x^n \))
– Mesebetsi ea rigonometric ea T (\( \sin(x), \cos(x) \))
– Mesebetsi ea Exponential (\( e^x \))
Mosebetsi o hlahang pele tatellanong ena ea LIATE hangata o khethoa e le \( u \).
2. Fumana \( u \) mme o Kopanye \( dv \)
Kamora ho kgetha \( u \) le \( dv \), mohato o latelang ke ho bala derivative ya \( u \) (ke hore, \( du \)) le motsoako wa \( dv \) (ke hore, \( v \)).
3. Sebelisa Foromo e Kopanetsoeng ea Karolo e sa Lekaneng
Hang ha re se re badile \( u \), \( du \), \( v \), le \( dv \), re ka sebedisa foromo ya karolo e kopaneng:
\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]
4. Nolofatsa le ho Kopanya Tšebelisano-'moho e Setseng
Mohato oa ho qetela ke ho nolofatsa sephetho le ho kopanya tse setseng ho fihlela re fumana tharollo ea ho qetela.
Mehlala e Sebetsang
Mohlala oa 1: \( \int xe^x \, dx \)
A re re re batla ho kopanya \( \int xe^x \, dx \).
1. Khetha \( u \) le \( dv \):
– \( u = x \) (hobane e ba bonolo ha e fokotsoa, e fetoha 1)
– \( dv = e^x \, dx \) (kaha ho bonolo ho e kopanya, e ntse e le \( e^x \))
2. Hlahisa di-derivative le di-integral:
– \( du = dx \)
– \( v = \int e^x \, dx = e^x \)
3. Sebelisa foromo ea karolo e kopaneng:
\[ \int xe^x \, dx = xe^x – \int e^x \, dx \]
4. Rarolla karolo e setseng ea bohlokoa:
\[ \int e^x \, dx = e^x \]
Kahoo:
\[ \int xe^x \, dx = xe^x – e^x + C \]
kapa
\[ \int xe^x \, dx = e^x (x – 1) + C \]
moo \( C \) e leng kamehla ya kopanyo.
Mohlala oa 2: \( \int \ln(x) \, dx \)
A re re re batla ho kopanya \( \int \ln(x) \, dx \).
1. Khetha \( u \) le \( dv \):
– \( u = \ln(x) \) (hobane e ba bonolo ha e kgethololwa)
– \( dv = dx \) (hobane ho bonolo ho e kopanya)
2. Hlahisa di-derivative le di-integral:
– \( du = \frac{1}{x} \, dx \)
– \( v = \int dx = x \)
3. Sebelisa foromo ea karolo e kopaneng:
\[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int x \left(\frac{1}{x} \, dx\right) \]
\[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int 1 \, dx \]
4. Rarolla karolo e setseng ea bohlokoa:
\[ \int 1 \, dx = x \]
Kahoo:
\[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – x + C \]
Mathata le Malebela
Mathata a Tloaelehileng
1. Khetho e fosahetseng ea \( u \) le \( dv \): Ho khetha \( u \) le \( dv \) ka phoso ho ka etsa hore karolo e kopaneng e be thata le ho feta. Ho latela tataiso ea LIATE hangata hoa thusa.
2. Di-integral tse setseng tse rarahaneng: Ka nako e 'ngoe, kamora ho sebelisa foromo ea karolo e kopaneng, karolo e setseng e ntse e le thata ho e rarolla. Tabeng ena, ho ka hlokahala ho sebelisa mokhoa oa karolo e kopaneng hape kapa ho sebelisa mokhoa o mong.
Tips
– Itloaetse ka mefuta e fapaneng ea mesebetsi ho utloisisa mekhoa le ho ntlafatsa tsebo ea hau ea ho khetha \( u \) le \( dv \).
– Sebelisa motsoako oa mekhoa ea ho kopanya haeba ho hlokahala, joalo ka u-substitution.
– O se ke wa potlaka; hlahloba mohato o mong le o mong ho netefatsa hore ha ho na diphoso ho qalo le kopanyo.
Ho koala
Likarolo tse kopaneng ke sesebelisoa se matla ho calculus, se bula tsela ea ho rarolla likarolo tse rarahaneng ka tsela e bonolo. Ka ho utloisisa likhopolo tsa motheo le mehato e nepahetseng ea tharollo, le ho itloaetsa ka mehlala e fapaneng, re ka tseba mokhoa ona le ho o sebelisa maemong a fapaneng a lipalo le saense. Re tšepa hore tataiso ena e bile thuso ho u thusa ho utloisisa le ho rarolla likarolo tse kopaneng ka kholiseho.
