Torricelliho veta – problémy a riešenia

Torricelliho veta – problémy a riešenia

1. Rúra s výškou 100 cm je naplnená vodou. Otvor Q sa nachádza 10 cm nad zemou. Aká je horizontálna vzdialenosť (x)?

Známe:

Vzdialenosť medzi otvorom a hladinou vody (v) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Hľadaná: Vzdialenosť x

riešenie:

Rýchlosť prúdenia vody v otvore

v = rýchlosť , g = gravitačné zrýchlenie , h = vzdialenosť medzi otvorom a hladinou vody

Rýchlosť prúdenia vody pri otvore:

Čas vo vzduchu

Pohyb vody z otvoru do zeme je projektilový pohybPohyb projektilu by sa dal pochopiť samostatnou analýzou horizontálnej a vertikálnej zložky pohybu. Pohyb v osi x prebieha konštantnou rýchlosťou a pohyb v osi y prebieha s konštantným gravitačným zrýchlením.

V tejto úlohe sa vertikálny pohyb analyzuje ako voľný pád.

Vypočítajte čas vo vzduchu pomocou rovnice voľného pádu.

Známe:

Výška otvoru (y) = 10 cm = 0.1 m

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Hľadaný: Časový interval (t)

riešenie:

y = 1/2 gt ^{​​​​2}

0.1 = 1/2 (10) ^t²

0.1 = 5 t ²

t² = ^0.1 / 5

t² = ²

t = √0.02 sekundy

Horizontálna vzdialenosť (x):

Známe:

Počiatočná rýchlosť (v _o = v _ox ) = 3√2 m/s

Čas vo vzduchu (t) = √0.02 sekundy

Hľadaná: Horizontálna vzdialenosť (x)

riešenie:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metra

2. Nádrž s vodou s výškou 1 meter. V bode P je otvor. Aká je rýchlosť prúdenia vody v otvore? Zrýchlenie v dôsledku gravitácie je 10 m/ ^s².

Známe:

Vzdialenosť medzi otvorom a hladinou vody (v) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Hľadaná: Rýchlosť prúdenia vody pri otvore (v)

riešenie:

Rýchlosť prúdenia vody pri otvore:

3. Veľkýe vaňa obsahuje vodu a je tam kohútik, ako je znázornené na obrázku nižšie. Ak g = 10 ms^-2, potom rýchlosť vody z kohútika je…

Známe:

Výška (v) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Hľadá sa: Rýchlosť vody (v)

riešenie:

Tóricelliho veta hovorí, že rýchlosť vody cez otvor vzdialený h od hladiny vody sa rovná rýchlosti voľného pádu vody z výšky h.

Rýchlosť vody sa vypočíta pomocou vzorca pre voľný pád a v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

vt = √9 = 3 m/ _s

4. Vaňa je naplnená vodou a na stene je otvor (pozri obrázok nižšie ) . Rýchlosť vody vytekajúcej z otvoru je… (g = 10 ms ^-2 )

Známe:

Výška (v) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metra

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Hľadané: Rýchlosť vody (v)

riešenie:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

vt = √25 = 5 m/ _s

5. Nádrž obsahuje vodu vysokú až 1 meter (g = 10 ms ^-2 ) a na stene je otvor (pozri obrázok nižšie ). Rýchlosť vody vytekajúcej z otvoru je...

Známe:

Výška (v) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metra

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Hľadané: Rýchlosť vody (v)

riešenie:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

vt = √16 = 4 m/ _s

1. Čo popisuje Torricelliho veta?
   • Odpoveď: Torricelliho veta spája rýchlosť tekutiny prúdiacej z otvoru s výškou stĺpca tekutiny nad otvorom za predpokladu ustáleného, ​​neviskózneho (bez viskozity) a nestlačiteľného prúdenia.
2. Ako sa matematicky vyjadruje Torricelliho veta?
   • Odpoveď: Veta je vyjadrená ako v=√2gh​, Kde $v$ je rýchlosť odtoku, $g$ je zrýchlenie v dôsledku gravitácie a $h$ je výška stĺpca kvapaliny nad otvorom.
3. Za akých predpokladov bola odvodená Torricelliho veta?
   • Odpoveď: Veta predpokladá, že tekutina je nestlačiteľná a neviskózna, prúdenie je ustálené a tekutine sa nepridáva ani neodoberá žiadna ďalšia energia.
4. Ak má nádoba dva otvory v rôznych hĺbkach, ako sa budú porovnávať rýchlosti tekutín vytekajúcich z otvorov?
   • Odpoveď: Tekutina vytekajúca z otvoru bližšie k základni bude mať vyššiu rýchlosť ako tekutina z vyššie umiestneného otvoru. Je to preto, že tlak (a teda aj potenciálna energia) je v hlbších hĺbkach väčší.
5. Prečo rýchlosť výtoku nezávisí od tvaru alebo prierezu nádoby?
   • Odpoveď: Torricelliho veta zohľadňuje iba potenciálnu energiu danú výškou stĺpca tekutiny nad otvorom. Tvar nádoby túto výšku nemení, takže rýchlosť výtoku zostáva rovnaká.
6. Ako sa skutočná rýchlosť tekutiny vytekajúcej z otvoru líši od predpovede Torricelliho vety v reálnych situáciách?
   • Odpoveď: V reálnych situáciách môžu faktory ako viskozita kvapaliny, turbulencia a tvar otvoru ovplyvniť skutočnú rýchlosť, čo ju často robí menšou, ako predpovedá Torricelliho veta.
7. Aký je vzťah medzi Torricelliho vetou a zákonom zachovania energie?
   • Odpoveď: Torricelliho veta je odvodená zo zákonu zachovania mechanickej energie. Porovnáva potenciálnu energiu na povrchu tekutiny s kinetickou energiou pri otvore.
8. Ak je na samom vrchu nádoby naplnenej tekutinou otvor, ako Torricelliho veta opisuje rýchlosť výtoku?
   • Odpoveď: Výška $h$ nad otvorom by bola nulová, takže podľa Torricelliho vety by bola rýchlosť výtoku nulová.
9. Aký vplyv má prítomnosť atmosférického tlaku na predpovede Torricelliho vety?
   • Odpoveď: Torricelliho veta predpokladá, že nádoba je otvorená voči atmosfére, a teda atmosférický tlak pôsobí rovnomerne na celý povrch tekutiny. Tento tlak sa vyruší pri zohľadnení tlakového rozdielu pozdĺž výšky tekutiny, takže veta zostáva platná.
10. Čo sa stane s rýchlosťou výtoku, keď sa tekutina v nádobe zmenší?

• Odpoveď: S klesajúcou hladinou kvapaliny sa zvyšuje výška $h$ nad otvorom klesá. Podľa Torricelliho vety by sa rýchlosť výtoku znižovala s v=√2gh​.

Tieto otázky a odpovede skúmajú základy, dôsledky a aplikácie Torricelliho vety v dynamike tekutín.