Torricelliho veta – problémy a riešenia

Torricelliho veta – problémy a riešenia

1. Rúra s výškou 100 cm je naplnená vodou. Otvor Q sa nachádza 10 cm nad zemou. Aká je horizontálna vzdialenosť (x)?

Známe:

Vzdialenosť medzi otvorom a hladinou vody (v) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/s²

Hľadá sa: Vzdialenosť x

riešenie:

Rýchlosť prúdenia vody v otvore

v= rýchlosť, g = zrýchlenie spôsobené gravitáciou, h = vzdialenosť medzi otvorom a hladinou vody

Rýchlosť prúdenia vody pri otvore:

Čas vo vzduchu

Pohyb vody z otvoru do zeme je projektilový pohybPohyb projektilu by sa dal pochopiť samostatnou analýzou horizontálnej a vertikálnej zložky pohybu. Pohyb v osi x prebieha konštantnou rýchlosťou a pohyb v osi y prebieha s konštantným gravitačným zrýchlením.

V tomto probléme, vertikálny pohyb analyzovaný ako pohyb voľným pádom.

Vypočítajte čas vo vzduchu pomocou rovnice voľný pád.

Známe:

Výška otvoru (y) = 10 cm = 0.1 m

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/s²

Hľadaný: Časový interval (t)

riešenie:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 t²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 sekundy

Horizontálna vzdialenosť (x):

Známe:

Počiatočná rýchlosť (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Čas vo vzduchu (t) = √0.02 sekundy

Hľadaný: Horizontálna vzdialenosť (x)

riešenie:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metra

2. Nádrž s vodou s výškou 1 meter. V bode P je otvor. Aká je rýchlosť prúdenia vody v otvore? Zrýchlenie v dôsledku gravitácie je 10 m/s?².

Známe:

Vzdialenosť medzi otvorom a hladinou vody (v) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/s²

Hľadá sa: Rýchlosť prúdenia vody pri otvore (v)

riešenie:

Rýchlosť prúdenia vody pri otvore:

3. Veľkýe vaňa obsahuje vodu a je tam kohútik, ako je znázornené na obrázku nižšie. Ak g = 10 ms^-2, potom rýchlosť vody z kohútika je…

Známe:

Výška (v) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metra

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/s²

Hľadá sa: Rýchlosť vody (v)

riešenie:

TOrricelliho veta hovorí, že rýchlosť vody cez otvor vzdialený h od povrchu vody sa rovná rýchlosť voľný páding voda z výšky h.

Rýchlosť vody sa vypočíta pomocou vzorca pre voľný páda v_t² = 2 gh

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A vaňa naplnená vodou a na stene je diera (pozri obrázok nižšie). Rýchlosť vody vytekajúcej z otvoru je… (g = 10 ms^-2)

Známe:

Výška (v) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metra

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/s²

Hľadaný: Srýchlosť vody (V)

riešenie:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. Nádrž s vodou do výšky 1 metra (g = 10 ms^-2) a na stene je otvor na únik (pozri obrázok nižšie). Rýchlosť vody vytekajúcej z otvoru je...

Známe:

Výška (v) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metra

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/s²

Hľadaný: Srýchlosť vody (V)

riešenie:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Čo popisuje Torricelliho veta?
   • Odpoveď: Torricelliho veta spája rýchlosť tekutiny prúdiacej z otvoru s výškou stĺpca tekutiny nad otvorom za predpokladu ustáleného, ​​neviskózneho (bez viskozity) a nestlačiteľného prúdenia.
2. Ako sa matematicky vyjadruje Torricelliho veta?
   • Odpoveď: Veta je vyjadrená ako v=√2gh​, Kde $v$ je rýchlosť odtoku, $g$ je zrýchlenie v dôsledku gravitácie a $h$ je výška stĺpca kvapaliny nad otvorom.
3. Za akých predpokladov bola odvodená Torricelliho veta?
   • Odpoveď: Veta predpokladá, že tekutina je nestlačiteľná a neviskózna, prúdenie je ustálené a tekutine sa nepridáva ani neodoberá žiadna ďalšia energia.
4. Ak má nádoba dva otvory v rôznych hĺbkach, ako sa budú porovnávať rýchlosti tekutín vytekajúcich z otvorov?
   • Odpoveď: Tekutina vytekajúca z otvoru bližšie k základni bude mať vyššiu rýchlosť ako tekutina z vyššie umiestneného otvoru. Je to preto, že tlak (a teda aj potenciálna energia) je v hlbších hĺbkach väčší.
5. Prečo rýchlosť výtoku nezávisí od tvaru alebo prierezu nádoby?
   • Odpoveď: Torricelliho veta zohľadňuje iba potenciálnu energiu danú výškou stĺpca tekutiny nad otvorom. Tvar nádoby túto výšku nemení, takže rýchlosť výtoku zostáva rovnaká.
6. Ako sa skutočná rýchlosť tekutiny vytekajúcej z otvoru líši od predpovede Torricelliho vety v reálnych situáciách?
   • Odpoveď: V reálnych situáciách môžu faktory ako viskozita kvapaliny, turbulencia a tvar otvoru ovplyvniť skutočnú rýchlosť, čo ju často robí menšou, ako predpovedá Torricelliho veta.
7. Aký je vzťah medzi Torricelliho vetou a zákonom zachovania energie?
   • Odpoveď: Torricelliho veta je odvodená zo zákonu zachovania mechanickej energie. Porovnáva potenciálnu energiu na povrchu tekutiny s kinetickou energiou pri otvore.
8. Ak je na samom vrchu nádoby naplnenej tekutinou otvor, ako Torricelliho veta opisuje rýchlosť výtoku?
   • Odpoveď: Výška $h$ nad otvorom by bola nulová, takže podľa Torricelliho vety by bola rýchlosť výtoku nulová.
9. Aký vplyv má prítomnosť atmosférického tlaku na predpovede Torricelliho vety?
   • Odpoveď: Torricelliho veta predpokladá, že nádoba je otvorená voči atmosfére, a teda atmosférický tlak pôsobí rovnomerne na celý povrch tekutiny. Tento tlak sa vyruší pri zohľadnení tlakového rozdielu pozdĺž výšky tekutiny, takže veta zostáva platná.
10. Čo sa stane s rýchlosťou výtoku, keď sa tekutina v nádobe zmenší?

• Odpoveď: S klesajúcou hladinou kvapaliny sa zvyšuje výška $h$ nad otvorom klesá. Podľa Torricelliho vety by sa rýchlosť výtoku znižovala s v=√2gh​.

Tieto otázky a odpovede skúmajú základy, dôsledky a aplikácie Torricelliho vety v dynamike tekutín.