Pohyb projektilu – problémy a riešenia

27 Pohyb projektilu – problémy a riešenia

1. Guľka je vystrelená pod uhlom θ = 60 ^o s rýchlosťou 20 m/s. Zrýchlenie v dôsledku gravitácie je 10 m/s² ^. Aký je časový interval na dosiahnutie maximálnej výšky?

Známe:

Počiatočná rýchlosť strely (v _o ) = 20 m/s

Uhol (θ) = 60 ^° C

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 ms ^–2

Požadovaný časový interval na dosiahnutie maximálnej výšky

riešenie:

Počiatočná rýchlosť v horizontálnom smere (os x):

v _ox = v _o cos 60 ^o = (20) (0.5) = 10 m/s

Počiatočná rýchlosť vo vertikálnom smere (os y):

v _oy = vo sin 60 ^o = (20) (0.5√3) = 10√3 m/s

Časový interval na dosiahnutie maximálnej výšky, vypočítaný pomocou tejto rovnice:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = konečná rýchlosť vo vertikálnom smere = konečná rýchlosť v najvyššom bode = 0 m/s

v _oy = počiatočná rýchlosť v horizontálnom smere = 10√3 m/s

g = gravitačné zrýchlenie = 10 m/ ^s²

t = časový interval

Časový interval:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 sekundy

2. Predmet premietaný pod uhlom. Výška predmetu je rovnaká, keď časový interval = 1 sekunda a 3 sekundy. Aký je časový interval, počas ktorého sa predmet nachádza vo vzduchu?

riešenie:

Objekt vo vzduchu 4 sekundy.

3. Lietadlo sa pohybuje horizontálne rýchlosťou 50 m/s. Vo výške 2 km z lietadla padá predmet. Tiažové zrýchlenie = 10 m/ s2, aký je časový interval, kým predmet dopadne na zem?

Známe:

Výška = 2 km = 2000 metrov

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Hľadaný: Časový interval (t)

riešenie:

h = 1/2 gt ^{​​​​2}

2000 = 1/2 (10) ^t²

2000 = 5 t ²

t² = 2000/5 = ⁴⁰⁰

t = √400 = 20 sekúnd

4. Kopnutá futbalová lopta sa od zeme odlepí pod uhlom θ = 45 ^o , pričom horizontálna rovina má počiatočnú rýchlosť 25 m/s. Určte vzdialenosť X. Tiažové zrýchlenie je 10 m/ ^s².

Známe:

Počiatočná rýchlosť (v _o ) = 25 m/s

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Uhol (θ) = 45 ^°

Hľadaný : X

riešenie:

Horizontálna zložka počiatočnej rýchlosti:

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s) (cos 45 ^o ) = (25 m/s) (0.5√2) = 12.5√2 m/s

Vertikálna zložka počiatočnej rýchlosti:

v _oy = v _o sin θ = (25 m/s) (sin 45 ^o ) = (25 m/s) (0.5√2) = 12.5√2 m/s

Pohyb projektilu možno pochopiť samostatnou analýzou horizontálnej a vertikálnej zložky pohybu. Pohyb x prebieha konštantnou rýchlosťou a pohyb y prebieha pri konštantnom gravitačnom zrýchlení.

Čas vo vzduchu (t):

Čas vo vzduchu sa vypočíta pomocou rovnice vertikálneho pohybu nahor.

Zvoľte smer nahor ako kladný a smer nadol ako záporný.

Známe:

Počiatočná rýchlosť (v _o ) = 12.5√2 m/s (smer nahor, kladná)

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = -10 m/s² ⁽ smerom nadol, záporné)

Výška (v) = 0

Hľadaný: Časový interval (t)

riešenie:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) ^t²

0 = 12.5√2 t – 5 t ²

12.5√2 t = 5 ^t²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 sekundy

Horizontálna vzdialenosť (X):

Vypočítané pomocou rovnice rovnomerného lineárneho pohybu s konštantnou rýchlosťou.

Známe:

Rýchlosť (v) = 12.5√2 m/s

Časový interval (t) = 2.5√2 sekundy

Hľadané: Vzdialenosť

riešenie:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 metra

5. Teleso vrhnuté nahor pod uhlom θ = 30 ^o s horizontálou má počiatočnú rýchlosť 20 m/s. Jeho gravitačné zrýchlenie je 10 m/s² ^. Určte maximálnu výšku.

Známe:

Počiatočná rýchlosť (v_o) = 20 m/s

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 m/ ^s²

Uhol (θ) = 30 ^°

Požadovaná výška : Maximálna

riešenie:

Najprv nájdite vertikálnu zložku počiatočnej rýchlosti (v _oy ):

v _oy = v _o sin 30 ^o = (20) (sin 30 ^o ) = (20) (0.5) = 10 m/s

Vypočítajte maximálnu výšku. Zvoľte smer nahor ako kladný a smer nadol ako záporný.

Známe:

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = -10 m/s² ⁽ smerom nadol , záporné )

Vertikálna zložka počiatočnej rýchlosti (v _oy ) = 10 m/s ( smer nahor, kladná )

Rýchlosť v maximálnej výške (v _ty ) = 0

Požadovaná: Maximálna výška (v)

riešenie:

vt2 = _vo2 + ^2gh_​^​

0 ² = 10 ² + 2 (-10) h

0 = 100 – 20 hod.

100 = 20 hodín

h = 100/20

h = 5 metrov

Maximálna výška je 5 metrov.

6. Predmet je hodený pod určitým uhlom výšok. Výška predmetu je rovnaká po 1 sekunde a 3 sekundách. Určte čas strávený vo vzduchu.

A. 3.6 s

B. 4.0 s

C. 5.6 s

D. 6.4 s

Riešenie

Čas vo vzduchu = 4 sekundy.

Správna odpoveď je B.

7. Lietadlo sa pohybuje horizontálne rýchlosťou 50 m/s. Z lietadla vo výške 2 km môže z neho voľne padať predmet. Určte typ pohybu.

A. Voľný pád

B. Plávajúci pohyb

C. Horizontálny pohyb

D. Pohyb projektilu

riešenie:

Predmet je spustený z pohybujúcej sa roviny, pretože má rovnakú rýchlosť ako rýchlosť lietadla, teda 50 m/s. Pohyb predmetov nie je ako voľný pád, ale parabolický pohyb. Prípad je rovnaký, ako keby ste púšťali predmety z vnútra pohybujúceho sa auta.

Správna odpoveď je D.

8. Lopta je hodená vodorovne rýchlosťou 15 m/s z útesu vysokého 60 metrov. Ako dlho trvá, kým dopadne na zem?
Riešenie: Pomocou \( h = \frac{1}{2} gt^2 \) zistíme, že čas je \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).

9. Projektil je vystrelený pod uhlom 30° nad horizontálu s počiatočnou rýchlosťou 20 m/s. Aká je maximálna dosiahnutá výška?
Riešenie: Použitím \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) je maximálna výška \( h \approx 10.2\ \text{m} \).

10. Kameň je hodený vodorovne rýchlosťou 10 m/s z veže vysokej 80 metrov. Vypočítajte vodorovnú vzdialenosť, ktorú prejde, kým dopadne na zem.
Riešenie: Použitím času zisteného podobným spôsobom ako v úlohe 1 je horizontálna vzdialenosť \( d = vt \približne 40\ \text{m} \).

11. Delová guľa je vystrelená rýchlosťou 40 m/s pod uhlom 45°. Nájdite čas letu.
Riešenie: Použitím \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) je čas letu \( t \približne 5.8 \text{s} \).

12. Bejzbalová loptička je hodená pod uhlom 60° rýchlosťou 12 m/s. Nájdite horizontálny dosah.
Riešenie: Použitím \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) je rozsah \( R \približne 14.0\ \text{m} \).

13. Strela je vypustená s počiatočnou rýchlosťou 50 m/s pod uhlom 37° nad horizontálou. Aká je vertikálna zložka rýchlosti?
Riešenie: Vertikálna zložka je (v_y = v sin theta približne 30 m/s).

14. Projektil je vypustený horizontálne rýchlosťou 20 m/s z výšky 100 metrov. Aká je vertikálna rýchlosť tesne predtým, ako dopadne na zem?
Riešenie: Použitím \( v_y = \sqrt{2gh} \) je vertikálna rýchlosť \( v_y \približne 44.7\ \text{m/s} \).

15. Kameň je hodený pod uhlom 25° nad horizontálu s počiatočnou rýchlosťou 15 m/s. Aká je horizontálna a vertikálna zložka rýchlosti?
Riešenie: Horizontálna zložka je (v_x = v \cos \theta \približne 13.4\ \text{m/s} \) a vertikálna zložka je (v_y \približne 6.4\ \text{m/s} \).

16. Futbalová lopta je kopnutá s počiatočnou rýchlosťou 30 m/s pod uhlom 40° nad horizontálou. Aká je jej horizontálna zložka rýchlosti?
Riešenie: Horizontálna zložka je (v_x = v \cos \theta \približne 22.9\ \text{m/s} \).

17. Golfová loptička je zasiahnutá s počiatočnou rýchlosťou 70 m/s pod uhlom 20°. Aký je čas letu?
Riešenie: Pomocou rovnice času letu je čas \( t \približne 4.9\ \text{s} \).

18. Projektil je vystrelený zo zeme rýchlosťou 25 m/s pod uhlom 53° nad horizontálou. Aká je jeho počiatočná vertikálna zložka rýchlosti?
Riešenie: Vertikálna zložka je (v_y = v sin theta približne 20 m/s).

19. Bejzbalová loptička je hodená s počiatočnou rýchlosťou 20 m/s pod uhlom 50°. Aká je maximálna výška?
Riešenie: Použitím rovnice pre maximálnu výšku je výška \( h \približne 15.3\ \text{m} \).

20. Guľka je vystrelená horizontálne s rýchlosťou 200 m/s z výšky 10 metrov. Ako dlho trvá, kým dopadne na zem?
Riešenie: Pomocou časovej rovnice je čas \( t \približne 1.4\ \text{s} \).

21. Delová guľa je vystrelená rýchlosťou 45 m/s pod uhlom 30°. Nájdite vzdialenosť.
Riešenie: Pomocou rovnice rozsahu je rozsah \( R \približne 88.2\ \text{m} \).

22. Basketbalová lopta je hodená pod uhlom 75° rýchlosťou 10 m/s. Nájdite horizontálny dosah.
Riešenie: Pomocou rovnice rozsahu je rozsah \( R \približne 5.3\ \text{m} \).

23. Strela je vypustená s počiatočnou rýchlosťou 30 m/s pod uhlom 22° nad horizontálou. Aká je vertikálna rýchlosť tesne predtým, ako dopadne na zem?
Riešenie: Použitím rovnice vertikálnej rýchlosti je vertikálna rýchlosť \( v_y \približne 11.4\ \text{m/s} \).

24. Kameň je hodený horizontálne rýchlosťou 8 m/s z veže vysokej 40 metrov. Aká je horizontálna vzdialenosť, ktorú prejde?
Riešenie: Pomocou rovnice horizontálnej vzdialenosti je vzdialenosť \( d \approx 16\ \text{m} \).

25. Futbalová lopta je kopnutá s počiatočnou rýchlosťou 12 m/s pod uhlom 30° nad horizontálou. Aká je horizontálna a vertikálna zložka rýchlosti?
Riešenie: Horizontálna zložka je \(v_x \približne 10.4\ \text{m/s} \) a vertikálna zložka je \(v_y \približne 6\ \text{m/s} \).

26. Golfová loptička je zasiahnutá s počiatočnou rýchlosťou 50 m/s pod uhlom 15°. Aký je čas letu?
Riešenie: Pomocou rovnice času letu je čas \( t \približne 2.6\ \text{s} \).

27. Projektil je vystrelený zo zeme rýchlosťou 40 m/s pod uhlom 60° nad horizontálou. Aká je jeho počiatočná horizontálna zložka rýchlosti?
Riešenie: Horizontálna zložka je (v_x = v \cos \theta \približne 20\ \text{m/s} \).