Dynamika rotačných pohybov – problémy a riešenia

1. Kladka s momentom zotrvačnosti I = 2/5 MR² ^má hmotnosť 2 kg. Ak je moment sily na kladke 4 Nm, aké je lineárne zrýchlenie kladky? Tiažové zrýchlenie je g = 10 ^ms⁻².

známy : Dynamika rotačných pohybov – problémy a riešenia 1

Moment zotrvačnosti kladky (I) = 2/5 ^MR²

Hmotnosť kladky (M) = 2 kg

Moment sily (τ) = 4 Nm

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 ms ^-2

Polomer kladky (R) = 20 cm = 0.2 m

Hľadané: Lineárne zrýchlenie (a)

riešenie:

Moment zotrvačnosti kladky (I):

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 kg m ²

Uhlové zrýchlenie (α):

τ = Iα

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

Lineárne zrýchlenie (a):

a = R α = (0.2)(125) = 25 ms ^-2

Lineárne zrýchlenie okraja kladky je 25 ms ^-2.

2. Zrýchlenie kladky je 2 ms ^-2 . Zrýchlenie v dôsledku gravitácie je g = 10 ms ^-2 . Aký je moment zotrvačnosti kladky?

Známe:

Lineárne zrýchlenie okraja kladky (a) = 2 ms^-2

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 ms ^-2

Polomer kladky (R) = 10 cm = 0.1 m

Hmotnosť objektu (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Hľadaný: Moment zotrvačnosti kladky

riešenie:

Moment sily (τ):

τ = FR = w R = (40) (0.1) = 4 Nm

Uhlové zrýchlenie kladky (α):

a = Rα

a = a/R = 2/0.1 = 20 rad.s ^-2

Moment zotrvačnosti kladky (I):

τ = Iα

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg ^m²

3. Kladka zrýchlila o 1 ms ^-2 . Ak je polomer kladky 10 cm, aký je moment zotrvačnosti kladky?

Známe:

Lineárne zrýchlenie okraja kladky (a) = 1 ms^-2

Zrýchlenie v dôsledku gravitácie (g) = 10 ms ^-2

Polomer kladky (R) = 10 cm = 0.1 m

Sila (F) = 4 N

Hľadá sa: Moment zotrvačnosti kladky

riešenie:

Moment sily (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

Uhlové zrýchlenie kladky (α):

a = Rα

a = a/R = 1/0.1 = 10 rad.s ^-2

Moment zotrvačnosti kladky (I):

τ = Iα

I = τ/α = 0.4/10 = 0.04 kg ^m2

Aký je rotačný ekvivalent hmotnosti pri lineárnom pohybe?
- Odpoveď: Rotačný ekvivalent hmotnosti pri lineárnom pohybe je moment zotrvačnosti, často označovaný ako $I$ .
Ako krútiaci moment súvisí s rotačným pohybom a ako sa porovnáva so silou pri lineárnom pohybe?
- Odpoveď: Krútiaci moment je rotačný ekvivalent sily. Zatiaľ čo sila spôsobuje lineárne zrýchlenie objektov, krútiaci moment spôsobuje uhlové zrýchlenie rotujúcich telies. Krútiaci moment sa vypočíta ako súčin pôsobiacej sily a kolmej vzdialenosti od osi otáčania k bodu pôsobenia sily.
Aký je vzťah medzi uhlovým zrýchlením, krútiacim momentom a momentom zotrvačnosti?
- Odpoveď: Vzťah je daný druhým Newtonovým zákonom pre rotáciu: $τ = I α$ , Kde $τ$ je krútiaci moment, $I$ je moment zotrvačnosti a $α$ je uhlové zrýchlenie.
Ak sa moment zotrvačnosti rotujúceho objektu zvýši, zatiaľ čo vonkajší krútiaci moment zostane konštantný, čo sa stane s uhlovým zrýchlením?
- Odpoveď: Ak sa moment zotrvačnosti zvýši a vonkajší krútiaci moment zostane konštantný, uhlové zrýchlenie sa zníži.
V čom sú pojmy lineárneho a uhlového momentu analogické pri lineárnom a rotačnom pohybe?
- Odpoveď: Lineárna hybnosť (daná vzťahom $p = m v$ , Kde $m$ je hmotnosť a $v$ je rýchlosť) je súčin hmotnosti a lineárnej rýchlosti, zatiaľ čo moment hybnosti (daný vzťahom $L = I ω$ , Kde $I$ je moment zotrvačnosti a $ω$ je uhlová rýchlosť) je súčin momentu zotrvačnosti a uhlovej rýchlosti.
Čo sa rozumie pod zákonom zachovania momentu hybnosti?
- Odpoveď: Zákon zachovania momentu hybnosti hovorí, že pri absencii vonkajších krútiacich momentov zostáva celkový moment hybnosti uzavretého systému konštantný.
Prečo sa krasokorčuliari točia rýchlejšie, keď si počas piruety zastrčia ruky?
- Odpoveď: Keď krasokorčuliari zatiahnu ruky, znížia svoj moment zotrvačnosti. Vzhľadom na zákon zachovania momentu hybnosti sa pri znižovaní momentu zotrvačnosti musí uhlová rýchlosť (alebo rýchlosť rotácie) zvýšiť, aby sa moment hybnosti udržal konštantný.
Ako sa rotačná kinetická energia objektu porovnáva s jeho lineárnou kinetickou energiou?
- Odpoveď: Rotačná kinetická energia (uvedená ako 1/2 $I ω^{2}$ ) je analogická s lineárnou kinetickou energiou (udanou ako 1/2 $m v^{2}$ ). Prvý je spojený s rotáciou objektu a druhý s jeho lineárnym pohybom.
Môže mať objekt súčasne rotačnú aj lineárnu kinetickú energiu?
- Odpoveď: Áno, objekt môže mať rotačnú aj lineárnu kinetickú energiu. Napríklad valcujúce sa koleso má rotačnú kinetickú energiu vďaka svojej rotácii a lineárnu kinetickú energiu vďaka svojmu pohybu dopredu.
Ak sa polomer rotujúceho kolesa zdvojnásobí a zároveň sa jeho uhlová rýchlosť zachová konštantná, ako sa zmení jeho moment zotrvačnosti?

Odpoveď: Moment zotrvačnosti pevného disku je daný vzťahom 1/2 $m r^{2}$ , Kde $m$ je hmotnosť a $r$ je polomer. Ak sa polomer zdvojnásobí a hmotnosť zostane konštantná, moment zotrvačnosti sa zvýši štvornásobne.