Moment zotrvačnosti častíc a tuhých telies – problémy a riešenia

Moment zotrvačnosti častice

1. Guľa s hmotnosťou 100 gramov je pripevnená k jednému koncu šnúry s dĺžkou 30 cm. Aký je moment zotrvačnosti gule okolo osi otáčania AB? Hmotnosť šnúry zanedbajte.

Známe:

Os otáčania v bode AB

Hmotnosť gule (m) = 100 gramov = 100/1000 = 0.1 kg

Vzdialenosť medzi guľou a osou otáčania (r) = 30 cm = 0.3 m

Hľadaný: Moment zotrvačnosti gule (I)

riešenie:

I = mr² ⁼ (0.1 kg)(0.3 m) ^²

I = (0.1 kg)(0.09 ^m² )

I = 0.009 kg ^m²

[irp]

2. Guľa s hmotnosťou 100 gramov, m1 , a guľa _{s hmotnosťou} 200 gramov, m2 , sú spojené tyčou s dĺžkou 60 cm. Hmotnosť tyče sa zanedbáva. Os otáčania sa nachádza v strede tyče. Aký je moment zotrvačnosti gule okolo osi otáčania?

Známe:

Hmotnosť gule 1 (m1 ₎ = 100 gramov = 100/1000 = 0.1 kg

Vzdialenosť gule 1 od osi otáčania (r1 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Hmotnosť gule (m² ₎ = 200 gramov = 200/1000 = 0.2 kg

Vzdialenosť gule 2 od osi otáčania (r2 _{) = 30} cm = 30/100 = 0.3 m

Hľadaný moment zotrvačnosti guľôčok

Odpoveď:

I = _m1r1 / ₂ + _m2r2^​_​^​

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.2 kg)( 0.3 m) ^²

I = (0.1 kg)( 0.09 m² ⁾ + (0.2 kg)( 0.09 ^m² )

I = 0.009 kg ^m² + 0.018 kg ^m²

I = 0.027 kg ^m²

[irp]

3. Guľa s hmotnosťou 200 gramov, m ₁ , a guľa s hmotnosťou 100 gramov, m _2, sú spojené tyčou s dĺžkou 60 cm. Hmotnosť tyče zanedbajte. Os otáčania sa nachádza v bode gule m _2. Aký je moment zotrvačnosti gúľ? Hmotnosť tyče zanedbajte.

Známe:

Hmotnosť gule 1 (m1 ₎ = 200 gramov = 200/1000 = 0.2 kg

Vzdialenosť medzi guľou 1 a osou otáčania (r1 ₎ = 60 cm = 60/100 = 0.6 m

Hmotnosť gule 2 (m ₂ ) = 100 gramov = 100/1000 = 0.1 kg

Vzdialenosť medzi guľou 2 a osou otáčania (r2 ₎ = 0 m

Hľadaný: Moment zotrvačnosti guľôčok

riešenie:

I = _m1r1 / ₂ + _m2r2^​_​^​

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ^² + (0.2 kg)(0 ) ^²

I = (0.2 kg)( 0.36 ^m² ) + 0

I = 0.072 kg ^m²

[irp]

4. Hmotnosť každej gule je 100 gramov, sú spojené šnúrou. Dĺžka šnúry je 60 cm a šírka šnúry je 30 cm. Aký je moment zotrvačnosti gule okolo osi otáčania? Hmotnosť šnúry zanedbajte.

Známe:

Hmotnosť gule = m1 ₌ m2 ₌ m3 ₌ m4 ₌ 100 gramov = 100/1000 = 0.1 kg

Vzdialenosť medzi guľou a osou otáčania (r1 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Vzdialenosť medzi guľou 2 a osou otáčania (r2 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Vzdialenosť medzi guľou 3 a osou otáčania (r3 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Vzdialenosť medzi guľou 4 a osou otáčania (r4 ₎ = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Známy: Moment zotrvačnosti

riešenie:

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² +m₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.1 kg)( 0.3 m) ^² + (0.1 kg)(0.3 m)² + (0.1 kg)(0.3 m) ^² + (0,1 kg)(0,3 m) ^²

I = (0.1 kg)( 0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 m² ⁾ + (0.1 kg)(0.09 ^m² )

I = 0.036 kg ^m²

[irp]

Moment zotrvačnosti tuhého telesa

5. Aký je moment zotrvačnosti rovnomernej tyče s hmotnosťou 2 kg a dĺžkou 2 m? Os otáčania sa nachádza v strede tyče.

Známe:

Hmotnosť tyče (M) = 2 kg

Dĺžka tyče (L) = 2 m

Hľadaný: Moment zotrvačnosti

riešenie:

Vzorec pre moment zotrvačnosti, keď sa os otáčania nachádza v strede dlhej rovnomernej tyče:

I = (1/12) ^ML2

I = (1/12) (2 kg)( 2 m) ^²

I = (1/12) (2 kg)(4 ^m² )

I = (1/12)(8 kg ^m² )

I = 8/12 kg ^m²

I = 2/3 kg ^m²

[irp]

6. Aký je moment zotrvačnosti rovnomernej tyče s hmotnosťou 2 kg a dĺžkou 2 m? Os otáčania sa nachádza na jednom konci tyče.

Známe:

Hmotnosť tyče (M) = 2 kg

Dĺžka pevnej tyče (L) = 2 m

Hľadaný: Moment zotrvačnosti

riešenie:

Vzorec pre moment zotrvačnosti, keď je os otáčania umiestnená na jednom konci tyče:

I = (1/3) ^ML2

I = (1/3) (2 kg)( 2 m) ^²

I = (1/3) (2 kg)(4 ^m² )

I = (1/3)(8 kg ^m² )

I = 8/3 kg ^m²

[irp]

7. Plný valec s hmotnosťou 10 kg a polomerom 0.1 m. Os otáčania sa nachádza v strede plného valca, ako je znázornené na obrázku nižšie. Aký je moment zotrvačnosti valca?

Známe:

Hmotnosť plného valca (M) = 10 kg

Polomer valca (L) = 0.1 m

Hľadaný: Moment zotrvačnosti

Hľadaný: Moment zotrvačnosti

riešenie:

Vzorec pre moment zotrvačnosti, keď sa os otáčania nachádza v strede valca:

I = (1/2) ^MR2

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m) ^²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 ^m² )

I = (1/2)(0.1 kg ^m² )

I = 0.05 kg ^m²

8. Jednotlivá guľa s hmotnosťou 20 kg a dĺžkou 0.1 m. Os otáčania umiestnená v strede gule je znázornená na obrázku nižšie.

Známe:

Hmotnosť gule (M) = 20 kg

Polomer gule (L) = 0.1 m

Hľadaný: moment zotrvačnosti

riešenie:

Vzorec pre moment zotrvačnosti, keď sa os otáčania nachádza v strede gule:

I = (2/5) ^MR2

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m) ^²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 ^m² )

I = (2/5)(0.2 kg ^m² )

I = 0.4/5 kg ^m²

I = 0.08 kg ^m²

[irp]

9. Tenká obdĺžniková doska s hmotnosťou 2 kg s dĺžkou 0.5 m a šírkou 0.2 m. Os otáčania sa nachádza v strede obdĺžnikovej dosky znázornenej na obrázku nižšie. Aký je moment zotrvačnosti obdĺžnika?

Známe:

Hmotnosť obdĺžnikovej dosky (M) = 2 kg

Dĺžka dosky (a) = 0.5 m

Šírka dosky (b) = 0.2 m

Hľadaný: Moment zotrvačnosti

riešenie:

Vzorec pre moment zotrvačnosti, keď sa os otáčania nachádza v strede dosky:

I = (1/12 ) M ( ^a² + ^b² )

I = (1/12)(2)( ^0.5² + ^0.2² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg ^m²