Mișcarea de rotație – probleme și soluții

Mișcarea de rotație – probleme și soluții

Cuplul

1. O grindă cu lungimea de 140 cm. Asupra grinzii acționează trei forțe, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N și F3 ₌ 40 N, cu direcția și poziția așa cum se arată în figura de mai jos. Care este cuplul care determină rotirea grinzii în jurul centrului de masă al acesteia?

Cunoscut:

Centrul de masă este situat în centrul grinzii.

Lungimea grinzii (l) = 140 cm = 1.4 metri

Forța 1 (F1 ₎ = 20 N, brațul pârghiei 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 metri

Forța 2 (F2 ₎ = 10 N, brațul pârghiei 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metri

Forța 3 (F3 ₎ = 40 N, brațul pârghiei 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 metri

Cerut: Mărimea cuplului

soluţie:

Cuplul 1 rotește fasciculul în sensul acelor de ceasornic, așadar i se atribuie un semn negativ cuplului 1.

τ1 ₌ F1 _l1 = (20 N)(0.7 m) = -14 _N m

Cuplul 2 rotește grinda în sens invers acelor de ceasornic, atribuind astfel un semn pozitiv cuplului 2.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N )} (0.3 m) = 3 N m

Cuplul 3 rotește fasciculul în sensul acelor de ceasornic, deci i se atribuie un semn pozitiv cuplului 3.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 N m

Cuplul net:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Mărimea cuplului este de 39 N m. Direcția de rotație a fasciculului este în sensul acelor de ceasornic, deci i se atribuie un semn negativ.

2. Care este cuplul net care acționează asupra grinzii? Axa de rotație în punctul D. (sin 53 ^° = 0.8)

Cunoscut:

Axa de rotație în punctul D

F ₁ = 10 N și l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metri

F ₂ = 10√2 N și l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metri

F ₃ = 20 N și l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 metri

Cerut: Cuplul net

soluţie:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Cuplul 1 rotește fasciculul în sens invers acelor de ceasornic, așa că atribuim un semn pozitiv cuplului 1)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Cuplul 2 rotește fasciculul în sensul acelor de ceasornic, așa că atribuim un semn negativ cuplului 2)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Cuplul 3 rotește fasciculul în sens invers acelor de ceasornic, așa că atribuim un semn pozitiv cuplului 3)

Cuplul net:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Care este cuplul net dacă axa de rotație în punctul D. (sin 53 ^o = 0.8)

Cunoscut:

Axa de rotație în punctul D.

Distanța dintre F1 _și axa de rotație (r _AD ) = 40 cm = 0.4 m

Distanța dintre F2 _și axa de rotație (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Distanța dintre F3 _și axa de rotație (r _CD ) = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newtoni

F² = _10√² Newton

F3 = ₂₀ Newtoni

Sinus 53 ^o = 0.8

Cerut: Cuplul net

soluţie:

Momentul forței 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Cuplul 1 rotește fasciculul în sens invers acelor de ceasornic, așa că atribuim un semn pozitiv cuplului 1)

Momentul forței 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Cuplul 2 rotește fasciculul în sensul acelor de ceasornic, așa că atribuim un semn negativ cuplului 2)

Momentul forței 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Cuplul 2 rotește fasciculul în sens invers acelor de ceasornic, așa că atribuim un semn pozitiv cuplului 3)

Cuplul net:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 newtoni metri

Momentul de inerție

4. Lungimea firului = 12 m, l1 ₌ 4 m. Se ignoră masa firului. Care este momentul de inerție al sistemului?

Cunoscut:

Masa lui A (m²A ₎ = 0.2 kg

Masa lui B (m² ₎ = 0.6 kg

Distanța dintre A și axa de rotație (rA ₎ = 4 metri

Distanța dintre B și axa de rotație (rB ₎ = 12 – 4 = 8 metri

Cerut: Momentul de inerție al sistemului

soluţie:

Momentul de inerție al lui A

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Momentul de inerție al lui B

IB ₌ (mB ₎ (rB2 ₎ = (0.6)(8) ^{2 =} (0.6)(64) = 38.4 kg ^m2

Momentul de inerție al sistemului:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Dinamica rotațională

5. O forță de 6 N este aplicată unui cordon înfășurat în jurul unui scripete cu masa M = 5 kg și raza R = 20 cm. Care este accelerația unghiulară a scripetelui? Scripetele este un cilindru solid uniform.

Cunoscut:

Forță (F) = 6 Newtoni

Masă (M) = 5 kg

Raza (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Cerut: Accelerație unghiulară (α)

soluţie:

Momentul forței:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 metri) = 1.2 N m

Momentul de inerție pentru un cilindru solid:

I = 1/2 ^MR²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ^²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m² )

Eu = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Accelerația unghiulară:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Un bloc cu masa = 4 kg atârnă de o frânghie înfășurată în jurul unui scripete cu masa = 8 kg și raza R = 10 cm. Accelerația gravitațională este de 10 ms ^-2 . Care este accelerația liniară a blocului? Scripetele este un cilindru solid uniform.

Cunoscut:

Masa scripetelui (m) = 8 kg

Raza scripetelui (r) = 10 cm = 0.1 m

Masa blocului (m) = 4 kg

Accelerația gravitațională (g) = 10 m/ ^s²

Greutate (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 newtoni

Cerința este: Accelerația în cădere liberă a blocului

soluţie:

Momentul de inerție al cilindrului solid:

I = 1/2 MR² ⁼ 1/2 (8 kg)(0.1 m) ^² = (4 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.04 kg ^m²

Momentul forței:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Accelerația unghiulară:

Στ = Iα

4 = 0.04α

α = 4 / 0.04 = 100

Accelerația liniară:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Un bloc cu masa m atârnă de o frânghie înfășurată în jurul unui scripete. Dacă accelerația de cădere liberă a blocului este am/s² ^, care este momentul de inerție al scripetelui?

Cunoscut:

greutate = w = mg

Braț de pârghie = R

Accelerația unghiulară = α

Accelerația de cădere liberă a blocului = a ms ^-2

Cerut: Momentul de inerție al scripetelui (I)

soluţie:

Legătura dintre accelerația liniară și accelerația unghiulară:

a = Rα

α = a / R

Momentul de inerție:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Momentul unghiular

8. O particulă de 0.2 grame se mișcă într-un cerc cu o viteză constantă de 10 m/s. Raza cercului este de 3 cm. Care este momentul cinetic unghiular al particulei?

Cunoscut:

Masa particulei (m) = 0.2 grame = 2 x ^10⁻⁴ kg

Viteza unghiulară (ω) = 10 rad ^s⁻¹

Raza (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² metri

Cerut: Momentul cinetic unghiular al particulei

soluţie:

Ecuația momentului cinetic cinetic:

L = Iω

I = impulsul cinetic unghiular, I = momentul de inerție, ω = viteza unghiulară

Momentul de inerție (pentru particule):

I = mr² ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁴

Momentul cinetic unghiular:

L = I ω = (18 x ^10⁻⁸ )(10 rad ^{s⁻¹ )} = 18 x ^10⁻⁸ kg ^m² s⁻¹

1. Ce este mișcarea de rotație?
   • RăspundeMișcarea de rotație se referă la mișcarea unui obiect în jurul unei axe fixe. Este tipul de mișcare în care fiecare punct al obiectului se mișcă într-un cerc în jurul axei.
2. Cum se leagă viteza liniară de viteza unghiulară în mișcarea de rotație?
   • RăspundeViteză liniară ($v$) unui punct dintr-un obiect în rotație este direct proporțională cu distanța sa ($r$) de pe axa de rotație și viteza unghiulară ($\omega$) obiectului. Relația este dată de $v=r\cdot \omega$.
3. Ce este momentul de inerție și cum se leagă acesta de mișcarea de rotație?
   • RăspundeMomentul de inerție este analogul rotațional al masei în mișcare liniară. Măsoară rezistența unui obiect la schimbările stării sale de rotație. Momentul de inerție depinde atât de masa unui obiect, cât și de distribuția acesteia în raport cu axa de rotație.
4. Cum se aplică prima lege a mișcării a lui Newton la mișcarea de rotație?
   • RăspundeAșa cum un obiect aflat în mișcare liniară rămâne în mișcare, cu excepția cazului în care este acționat de o forță externă, un obiect aflat în mișcare de rotație va rămâne în acea stare, cu excepția cazului în care este acționat de un cuplu extern.
5. Care este semnificația razei de girație?
   • RăspundeRaza de girație oferă o măsură a distribuției masei unui obiect față de axa sa de rotație. Descrie, în esență, cât de departe de axă ar trebui concentrată toată masa obiectului pentru a avea același moment de inerție ca distribuția inițială.
6. Ce este momentul cinetic și cum se conservă?
   • RăspundeMomentul cinetic unghiular este echivalentul rotațional al momentului cinetic liniar. Este produsul dintre momentul de inerție al unui obiect și viteza sa unghiulară. Într-un sistem închis, momentul cinetic unghiular total rămâne constant, cu excepția cazului în care acționează asupra lui un cuplu extern, evidențiind conservarea momentului cinetic unghiular.
7. Cum influențează cuplul mișcarea de rotație?
   • RăspundeCuplul este echivalentul rotațional al forței. Acesta provoacă modificări ale mișcării de rotație a unui obiect. Relația este dată de a doua lege a lui Newton pentru rotație: $\tau =I\cdot \alpha$, În cazul în care $\tau$ este cuplul, $I$ este momentul de inerție și $\alpha$ este accelerația unghiulară.
8. Cum diferă centrul de masă de centrul de rotație?
   • RăspundeDeși pot coincide, centrul de masă este punctul în care se poate presupune că întreaga masă a unui obiect este concentrată în scopul calculelor în mișcare liniară, în timp ce centrul de rotație este punctul (sau axa) în jurul căruia se rotește un obiect.
9. Care este rolul forței centripete în mișcarea de rotație?
   • RăspundeForța centripetală este forța netă care acționează asupra unui obiect care se mișcă pe o traiectorie circulară, îndreptată spre centrul de rotație. Este responsabilă pentru menținerea unui obiect pe traiectoria sa curbă și împiedicarea acestuia să se miște în linie dreaptă din cauza inerției.

10. Cum este legată energia cinetică de rotație de momentul de inerție și de viteza unghiulară?

    • RăspundeEnergia cinetică de rotație este energia datorată rotației unui obiect în jurul unei axe. Este dată de formula: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², În cazul în care $I$ este momentul de inerție și $\omega$ este viteza unghiulara.