Momentul de inerție al particulelor – probleme și soluții

1. Două bile conectate printr-o tijă, așa cum se arată în figura de mai jos. Se ignoră masa tijei . Masa bilei P este de 600 de grame, iar masa bilei Q este de 400 de grame. Care este momentul de inerție al sistemului față de AB?

Cunoscut:

Axa de rotație este AB. Momentul de inerție pentru particule – probleme și soluții 1

m _p = 600 grame = 0.6 kg, m _q = 400 grame = 0.4 kg

rp = 20 cm = 0.2 m, _rq₌ 50 cm = 0.5 m

Cerut: Momentul de inerție al sistemului

soluţie:

I = m/ _p /r/ ^p²₊ m/ ^q_/r / _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg ^m² + 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. Tija lui AB cu masa de 2 kg este rotită în jurul punctului A, momentul de inerție al tijei este de 8 kg m² ^. Dacă este rotită în jurul punctului O (AO = OB), care este momentul de inerție al tijei?

Cunoscut: Momentul de inerție pentru particule – probleme și soluții 2

Masa tijei AB (m) = 2 kg

Dacă este rotit în jurul punctului A astfel încât raza de rotație (r) = lungimea lui AB = r, atunci momentul de inerție (I) = 8 kg ^m²

Cerință: Dacă se rotește în jurul punctului O astfel încât raza de rotație (r) = lungimea lui AO = lungimea lui OB = 1/2 r, atunci care este momentul de inerție al tijei.

soluţie:

Eu = Domnul ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² ⁼ 8 m² ^/ 2

r² = ⁴^m²

r = 2 metri

Dacă este rotit în jurul punctului O astfel încât ½ r = 1 metru, atunci momentul de inerție:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m² ) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Două bile conectate printr-o tijă, așa cum se arată în figura de mai jos. Se ignoră masa tijei. Care este momentul de inerție al sistemului?

Cunoscut:

Masa bilei A (m_A) = 200 de grame = 0.2 kg Momentul de inerție pentru particule – probleme și soluții 3

Masa bilei B (m² ₎ = 400 grame = 0.4 kg

Distanța dintre bila A și axa de rotație (rA ₎ = 0

Distanța dintre bila B și axa de rotație (rB ₎ = 25 cm = 0.25 m

Cerut: Momentul de inerție al sistemului

soluţie:

Momentul de inerție al bilei A:

IA ₌ (mA ₎ (rA2 ⁾₌ (0.2)(0) ² = 0

Momentul de inerție al bilei B:

IB ₌ (mB ₎ (rB2 ₎ = (0.4)(0.25) ²⁼ (0.4)(0.0625) = 0.025 kg ^m2

Momentul de inerție al sistemului:

I = _IA + _IB = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x ^10⁻³ kg ^m²

4. Patru particule cu mase diferite, prezentate în figura de mai jos. Determinați momentul de inerție al sistemului față de linia orizontală P.

Soluţie

Axa de rotație este linia orizontală P.

Cunoscut: Momentul de inerție pentru particule – probleme și soluții 4

Masa particulei A (m² _A ) = m²

Masa particulei B (m²B ₎ = 2m²

Masa particulei C (m³C ₎ = 3m³

Trecerea particulelor D (m²/ _D² ) = 4m²

Distanța dintre particula A și axa de rotație (rA ₎ = b

Distanța dintre particula B și axa de rotație (rB ₎ = b

Distanța dintre particula C și axa de rotație (r _C ) = 2b

Distanța dintre particula D și axa de rotație (r _D ) = 2b

Cerut: Momentul de inerție al sistemului față de linia orizontală P

soluţie:

I ⁼_mA r _A² + _mB r _B² + _mC r _C² + _mD r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 ^mb²

5. Patru particule conectate printr-o tijă. Ignorați masa tijei. Determinați momentul de inerție față de axa de rotație a particulelor m1 _și m2 _, așa cum se arată în figura de mai jos.

Cunoscut

Masa particulei 1 (m₁) = 1/4 kg Momentul de inerție pentru particule – probleme și soluții 5

Masa particulei 2 (m2 ₎ = 1/2 kg

Masa particulei 3 (m3 ₎ = 1/4 kg

Masa particulei 4 (m4 ₎ = 1/4 kg

Distanța dintre particula 1 și axa de rotație (r² ₎ = 0

Distanța dintre particula 2 și axa de rotație (r² ₎ = 0

Distanța dintre particula 3 și axa de rotație (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Distanța dintre particula 4 și axa de rotație (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Cautat: Momentul de inerție

soluţie:

Eu ⁼_m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂ + _m₃_r₃₂ + m₃ _r₃₂

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Eu = 1/400 + 1/400

Eu = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

Care este momentul de inerție pentru o particulă?
- RăspundePentru o singură particulă de masă $m$ de la distanță $r$ față de o axă de rotație, momentul său de inerție $I$ este dat de $I = m \times r^{2}$ .
De ce este adesea denumit momentul de inerție „analogul rotațional” al masei?
- RăspundeAșa cum masa este o măsură a rezistenței unui obiect la schimbările mișcării sale de translație (datorită celei de-a doua legi a lui Newton), momentul de inerție este o măsură a rezistenței unui obiect la schimbările mișcării sale de rotație.
Cum afectează schimbarea distanței unei particule față de axa sa de rotație momentul său de inerție?
- RăspundeMomentul de inerție este proporțional cu pătratul distanței față de axa de rotație. Dacă dublați distanța, momentul de inerție va crește cu un factor de patru.
De ce este pătratul distanței (r²) folosit în formula pentru momentul de inerție în loc doar de distanță?
- RăspundePătratul distanței este utilizat datorită modului în care funcționează energia cinetică în rotație. În mișcarea de rotație, fiecare particulă a unui obiect contribuie la energia cinetică de rotație pe baza masei sale și a pătratului distanței sale față de axă.
Cum se modifică momentul de inerție al unei particule dacă masa acesteia este triplată, menținând în același timp distanța față de axă constantă?
- RăspundeDacă masa este triplează și distanța este menținută constantă, momentul de inerție se va tripla și el, deoarece este direct proporțional cu masa.
Poate o particulă să aibă un moment de inerție zero? Dacă da, în ce condiții?
- RăspundeDa, o particulă va avea un moment de inerție zero dacă este situată direct pe axa de rotație, ceea ce face ca distanța sa $r$ de pe axa egală cu zero.
De ce diferite obiecte cu aceeași masă și dimensiune au momente de inerție diferite atunci când se rotesc în jurul unor axe diferite?
- RăspundeDistribuția masei în jurul axei de rotație determină momentul de inerție. Chiar dacă două obiecte au aceeași masă și dimensiune, distribuțiile lor de masă față de axa de rotație pot diferi, ducând la momente de inerție diferite.
Momentul de inerție este o mărime scalară sau vectorială?
- RăspundeMomentul de inerție este o mărime scalară. Totuși, pentru corpurile rigide cu forme complexe și axe multiple de rotație, acesta este reprezentat de un tensor.
Dacă sunt două particule, fiecare având masa $m$ , sunt situate la distanțe $r_{1}$ și $r_{2}$ Față de axa de rotație, care este momentul de inerție combinat?
- RăspundeMomentul de inerție este aditiv pentru particulele separate. Astfel, momentul de inerție combinat $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Cum se leagă momentul de inerție de conservarea momentului cinetic unghiular?
- RăspundeMoment unghiular $L$ este produsul momentului de inerție $I$ și viteza unghiulară $ω$ , reprezentată de ecuație $L = I \times ω$ Dacă asupra unui sistem nu acționează niciun cuplu extern, momentul cinetic va rămâne constant. Aceasta înseamnă că, dacă momentul de inerție se modifică (ca în cazul unui patinator artistic care își trage brațele în sus), viteza cinetică trebuie să se ajusteze pentru a menține produsul constant.