Dinamica fluidelor – probleme și soluții

Dinamica fluidelor – probleme și soluții

Teorema lui Torricelli

1. Un recipient umplut cu apă are o gaură , așa cum se arată în figura de mai jos. Dacă accelerația gravitațională este de 10 ms ^-2 , care este viteza apei prin acea gaură?

Cunoscut:

Înălțime (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metri

Accelerația gravitațională (g) = 10 m/ ^s²

Cerut: Viteza apei (v)

soluţie:

Teorema lui Torricelli afirmă că apa părăsește gaura cu aceeași viteză ca un obiect în cădere liberă de la aceeași înălțime. Înălțimea (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metri

Viteza apei se calculează folosind ecuația mișcării de cădere liberă :

v _{t² =} ² gh

v _{t² =} ² gh = 2(10)(0.45) = 9

vt = √9 ₌ 3 m/s

2. Un recipient umplut cu apă are o gaură, așa cum se arată în figura de mai jos. Dacă accelerația gravitațională este de 10 ms ^-2 , care este viteza apei prin acea gaură?

Cunoscut:

Înălțime (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metri

Accelerația gravitațională (g) = 10 m/ ^s²

Cerut: Viteza apei (v)

soluţie:

v _{t² =} ² gh = 2(10)(1.25) = 25

vt = √25 ₌ 5 m/s

3. Un recipient umplut cu apă are o gaură, așa cum se arată în figura de mai jos. Dacă accelerația gravitațională este de 10 ms ^-2 , care este viteza apei prin acea gaură?

Cunoscut:

Înălțime (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metri

Accelerația gravitațională (g) = 10 m/ ^s²

Cerut: Viteza apei (v)

soluţie:

v _{t² =} ² gh = 2(10)(0.8) = 16

vt = √16 ₌ 4 m/s

4. Un recipient umplut cu apă are o gaură, așa cum se arată în figura de mai jos. Dacă accelerația gravitațională este de 10 ms ^-2 , care este viteza apei prin acea gaură?

Cunoscut:

Înălțime (h) = 20 cm = 0.2 metri

Accelerația gravitațională (g) = 10 m/ ^s²

Cerut: Viteza apei (v)

soluţie:

5. Un recipient umplut cu apă are două găuri , așa cum se arată în figura de mai jos. Care este raportul dintre _x₁ și _x₂?

Soluție

Intervalul de timp al căderii libere a apei din gaura 1:

h = 1/2 la ²

0.8 = 1/2 (10) ^t²

0.8 = 5 ^t²

t2 = 0.8 / 5 = ^0.16

t = 0.4 de secunde

Intervalul de timp al căderii libere a apei din gaura 2:

h = 1/2 la ²

0.5 = 1/2 (10) ^t²

0.5 = 5 ^t²

t2 = 0.5 / 5 = ^0.1

t = √0.1 secundă

Distanța orizontală (x):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 metri

x² = _v² t² = (√10)(√0.1) = (10)(0.1) = _{1 metru}

Raportul dintre _x₁ și _x₂ :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

Ecuația continuității

6. Apa curge printr-o conductă cu diametru variabil, de la A la B și apoi la C. Raportul dintre A și C este 8:3. Dacă viteza apei în conducta A este v, care este viteza apei în conducta C?

Cunoscut:

Zona lui A (A_A) = 8

Aria lui C (A _C ) = 3

Viteza apei în conducta A (v _A ) = v

Cerință: Viteza apei în conducta C (v _C )

soluţie:

Ecuația continuității:

A _A v _A = A _C v _C

8 V = 3 V _C

vC ₌ 8/3 v

7. Dacă viteza apei într-o țeavă cu diametrul de 12 cm este de 10 cm/s, care este viteza apei într-o țeavă cu diametrul de 8 cm?

Cunoscut:

Diametrul 1 (d² ₎ = 12 cm, raza 1 ( _r² ) = 6 cm

Diametrul 2 (d² ₎ = 8 cm, raza 2 ( _r² ) = 4 cm

Viteza apei 1 (v1 ₎ = 10 cm/s

Cautat: Viteza apei 2 ( _v2 )

soluţie:

Aria 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

Aria 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

Ecuația continuității:

A1 vs ₁ = _A2 vs _2​

(36π)(10) = (16π) _v²

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) v ₂

v2 = _360/16

v² = 22.5 cm/ _s

8. Apa curge printr-o țeavă cu diametru variabil, așa cum se arată în figura de mai jos. Dacă aria 1 (A1 ⁾ ₌ 8 cm2 , A2 ₌ 2 cm2 ^și viteza apei în conducta 2 = v2 ₌ 2 m/s, atunci care este viteza apei în conducta 1 = _v1.

Cunoscut:

Zona 1 (A₁) = 8 cm²

Aria 2 (A2 ₎ = 2 ^cm2

Viteza apei în conducta 2 (v² ₎ = 2 m/s

Se caută: viteza apei în conducta 1 ( _v1 )

soluţie:

Ecuația continuității:

A1 vs ₁ = _A2 vs _2​

8 vs ₁ = (2)(2)

8 vs ₁ = 4

v1 = 4 / ₈ = 0.5 m/s

9. Dacă diametrul țevii mai mari este de 2 ori diametrul țevii mai mici, care este viteza fluidului la conducta mai mică?

Cunoscut:

Diametrul țevii mai mari (d₁) = 2

Raza țevii mai mari (r1 ₎ = ½ d1 ₌ ½ (2) = 1

Aria conductei mai mari ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

Diametrul țevii mai mici (d² ₎ = 1

Raza țevii mai mici (r² ₎ = ½ d² ₌ ½ (1) = ½

Aria conductei mai mici ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

Viteza fluidului la conducta mai mare ( _v1 ) = 4 m/s

Cerut: Viteza fluidului la conducta mai mică ₍ v2 )

soluţie:

Ecuația continuității:

A1 vs ₁ = _A2 vs _2​

π⁴ = ¼ π ( _v² )

4 = ¼ ( _v² )

v² = ₈ m/s

Principiul și ecuațiile lui Bernoulli

10. Apa este pompată cu un compresor de 120 kP care intră în conducta inferioară (1) și curge în sus cu o viteză de 1 m/ s. Accelerația gravitațională este de 10 m/ s , iar densitatea apei este de 1000 kg/m⁻³ ^. Care este presiunea apei pe conducta superioară (II )?

Cunoscut:

Raza țevii inferioare (r₁) = 12 cm

Raza țevii inferioare (r² ₎ = 6 cm

Presiunea apei în conducta inferioară (p1 ₎ = 120 kPa = 120,000 Pascali

Viteza apei în conducta inferioară (v1 ₎ = 1 ms ^-1

Înălțimea țevii inferioare (h1 ₎ = 0 m

Înălțimea țevii superioare (h² ₎ = 2 m

Accelerația gravitațională (g) = 10 ms ^-2

Densitatea apei = 1000 kg.m ^-3

Cerere: Presiunea apei în conducta 2 ( _p2 )

soluţie:

Viteza apei în conducta 2 se calculează cu ecuația de continuitate:

Presiunea apei în conducta 2 se calculează folosind ecuația Bernoulli:

11. O țeavă mare la 5 metri deasupra solului și o țeavă mică la 1 metru deasupra solului. Viteza apei într-o țeavă mare este de 36 km/h , cu o presiune de 9.1 x 10⁵ ^Pa , în timp ce presiunea în țeava mică este de 2.10⁵ ^Pa . Care este viteza apei în țeava mică? Densitatea apei = 10⁵ ^kg / ^m⁻³

Cunoscut:

Presiunea apei în conducta mare (p₁) = 9.1 x 10⁵ Pascal = 910,000 Pascali

Presiunea apei în conducta mică (p² ₎ = 2 x 10⁵ ^Pascali = 200,000 Pascali

Viteza apei în conducta mare (v1 ₎ = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 = 10 m/s

Înălțimea țevii mari (h1 ₎ = -4 metri

Înălțimea țevii mici (h² ₎ = 0 metri

Accelerația gravitațională (g) = 10 ms ^-2

Densitatea apei = 1000 kg/ ^m³

Cerut: Viteza apei în conducta mică ( _v² )

soluţie:

Viteza apei în conducta mică (v² ₎ se calculează folosind ecuația lui Bernoulli:

12. O țeavă cu o rază de 15 cm este conectată la o altă țeavă cu o rază de 5 cm. Ambele sunt în poziție orizontală. Viteza curgerii apei în țeava mare este de 1 m/s la o presiune de 10⁵ ^{N /} m² . Care este presiunea apei pe țeava mică (1 g cm⁻³ ⁾?

Cunoscut:

Raza țevii mari (r1 ₎ = 15 cm = 0.15 m

Raza țevii mici (r² ₎ = 5 cm = 0.05 m

Presiunea apei în conducta mare (p1 ₎ = 105 ^N m⁻² ⁼ 100.000 N ^m⁻²

Viteza apei în conducta mare (v1 ₎ = 1 ms ^-1

Accelerația gravitațională (g) = 10 ms ^-2

Densitatea apei = 1 gr cm⁻³ ⁼ 1000 kg ^m⁻³

Diferența de înălțime (Δh) = 0.

Cerut: Presiune în conducta mică ( _p2 )

soluţie:

Viteza apei în conducta 2 se calculează folosind ecuația de continuitate:

Presiunea apei în conducta mică (p² ₎ se calculează folosind ecuația lui Bernoulli:

1. Ce este dinamica fluidelor?
   • Răspuns: Dinamica fluidelor este ramura fizicii care studiază mișcarea fluidelor (lichide și gaze) și forțele care acționează asupra lor. Aceasta cuprinde principiile și ecuațiile care descriu modul în care fluidele curg, interacționează cu limitele solide și se influențează reciproc.
2. Care este diferența dintre fluxul laminar și cel turbulent?
   • Răspuns: Curgerea laminară este caracterizată de straturi de fluid paralele și netede care se mișcă pe traiectorii ordonate. Curgerea turbulentă, pe de altă parte, este haotică, cu vârtejuri, vârtejuri și fluctuații rapide. Turbulența apare, în general, la viteze mari sau în canale de formă neregulată.
3. Care este importanța conceptului de vâscozitate în dinamica fluidelor?
   • Răspuns: Vâscozitatea măsoară rezistența unui fluid la forfecare sau curgere. Fluidele cu vâscozitate ridicată (cum ar fi mierea) rezistă curgerii mai mult decât fluidele cu vâscozitate scăzută (cum ar fi apa). În dinamica fluidelor, vâscozitatea joacă un rol crucial în determinarea naturii curgerii fluidelor, disiparea energiei și forțele de rezistență la înaintare.
4. Ce este principiul lui Bernoulli?
   • Răspuns: Principiul lui Bernoulli afirmă că, într-un flux constant, suma energiei de presiune, energiei cinetice și energiei potențiale pe unitatea de volum rămâne constantă. Mai exact, acolo unde viteza fluidului este mare, presiunea este mică și invers.
5. Cum se leagă principiul portanței în aerodinamică de dinamica fluidelor?
   • Răspuns: Portanța aripii unei aeronave poate fi explicată folosind principiul lui Bernoulli și a treia lege a lui Newton. Pe măsură ce aerul curge peste aripă, acesta se mișcă mai repede peste suprafața superioară curbată decât peste cea inferioară, creând o diferență de presiune. Această diferență de presiune, combinată cu devierea descendentă a aerului de către aripă, are ca rezultat o forță ascendentă sau portanță.
6. Care este ecuația continuității în dinamica fluidelor?
   • Răspuns: Ecuația continuității afirmă că produsul dintre aria secțiunii transversale (A) a unui flux și viteza sa (v) rămâne constant de-a lungul unei linii de curent într-un flux staționar. Matematic, A₁​v_1​=A₂​v₂​, În cazul în care A_1​ și A₂​ sunt arii ale secțiunii transversale și v₁​ și v_2​ sunt vitezele în două puncte de-a lungul liniei de curent.
7. Ce rol joacă numărul Reynolds în dinamica fluidelor?
   • Răspuns: Numărul Reynolds este o mărime adimensională care ajută la prezicerea regimului de curgere (laminar, tranzițional sau turbulent) în dinamica fluidelor. Este definit ca raportul dintre forțele inerțiale și forțele vâscoase și depinde de factori precum viteza fluidului, lungimea caracteristică și proprietățile fluidului.
8. Cum acționează forța de rezistență asupra obiectelor care se mișcă într-un fluid?
   • Răspuns: Forța de rezistență la înaintare (FREN) se opune mișcării unui obiect printr-un fluid. Aceasta apare din cauza rezistenței vâscoase a fluidului și a diferențelor de presiune din jurul obiectului. Magnitudinea și natura rezistenței la înaintare depind de factori precum forma, rugozitatea, viteza și proprietățile fluidului.
9. Ce este efectul Venturi?
   • Răspuns: Efectul Venturi se referă la scăderea presiunii fluidului care are loc atunci când un fluid curge printr-o secțiune îngustată a unei conducte. Pe măsură ce viteza fluidului crește în secțiunea îngustată (datorită conservării masei), presiunea sa scade conform principiului lui Bernoulli.
10. De ce crește viteza fluidului atunci când curge printr-o secțiune îngustă a unei țevi sau a unui canal?

• Răspuns: Acest comportament poate fi explicat prin principiul conservării masei. Într-un flux constant, volumul fluidului care intră într-o secțiune a unei conducte trebuie să fie egal cu volumul care iese. Dacă conducta este îngustă, fluidul trebuie să accelereze pentru a permite trecerea aceluiași volum într-un timp dat.