Principiul Bernoullis și ecuația Bernoullis

Articol despre principiul Bernoullis și ecuația Bernoullis

Când mergem cu motocicleta, hainele pe care le purtăm se umflă pe dos. Uneori, dacă vântul bate puternic, ușa se poate închide singură. Deși vântul bate în afara casei, ușa este înăuntru.

Acest lucru poate fi explicat folosind principiul lui Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700-1782) a descoperit un principiu care putea fi folosit pentru a explica fenomenul de mai sus.

principiul lui Bernoulli

Principiul lui Bernoulli afirmă că, atunci când viteza fluxului de fluid este mare, presiunea fluidului este mică. Invers, dacă viteza fluxului de fluid este mică, presiunea fluidului este mare. Când o motocicletă se mișcă rapid, viteza aerului pe partea din față și laterală a corpului este mare. Astfel, presiunea aerului devine mică. Partea din spate a corpului este obstrucționată de partea din față a corpului, astfel încât viteza aerului pe partea din spate a corpului nu devine mare. Drept urmare, presiunea aerului în partea din spate a corpului devine mai mare. Deoarece există o diferență de presiune a aerului, unde în partea din spate a corpului presiunea aerului este mai mare decât aerul împinge cămașa înapoi, astfel încât hainele par umflate pe spate.

Dar cum rămâne cu ușa casei care se închide singură când bate vântul în exterior? Aerul din exteriorul casei se mișcă mai repede decât aerul din interiorul casei. Drept urmare, presiunea aerului din exteriorul casei este mai mică decât presiunea aerului din interiorul casei. Deoarece există o diferență de presiune, acolo unde presiunea aerului din interiorul casei este mai mare, ușa este împinsă afară. Cu alte cuvinte, foaia ușii se mișcă dintr-un loc în care presiunea aerului este mare către un loc în care presiunea aerului este mică.

ecuația lui Bernoulli

Anterior, am aflat despre principiul lui Bernoulli. Bernoulli a dezvoltat principiul și cantitativ. Pentru a deriva ecuația lui Bernoulli, presupunem că fluxul de fluid este staționar și laminar, necomprimat, vâscozitatea este minimă, astfel încât poate fi ignorată.

În discuția despre ecuația de continuitate, am aflat că debitul fluidului poate varia și în funcție de aria de curgere a tubului de curgere. Pe baza principiului lui Bernoulli descris mai sus, presiunea fluidului poate varia și în funcție de debitul fluidului. Presiunea fluidului poate varia și în funcție de înălțimea fluidului. Relația dintre presiune, debit și înălțimea de curgere poate fi obținută în ecuația Bernoulli.

Ecuația lui Bernoulli este critică deoarece poate fi utilizată pentru a analiza zborurile aeronavelor, centralele hidroelectrice, sistemele de conducte etc. Pentru ca ecuația lui Bernoulli să poată fi derivată în general, presupunem că fluidul curge printr-un tub de curgere cu o secțiune transversală diferită, iar înălțimea este, de asemenea, diferită. Pentru a deriva ecuația lui Bernoulli, aplicăm teorema lucrului mecanic și energiei fluidului din tubul de curgere.

Culoarea opacă din tubul de curgere din figura de mai jos arată curgerea fluidului, în timp ce culoarea albă arată absența fluidului.

Fluidul din aria secțiunii transversale 1 (partea stângă) curge până la L₁ și forțează fluidul din secțiunea 2 (partea dreaptă) să se deplaseze până la L₂Deoarece aria secțiunii transversale 2 din dreapta este mai mică, viteza curgerii fluidului pe partea dreaptă a tubului de curgere este mai mare (Rețineți ecuația de continuitate). Aceasta provoacă o diferență de presiune între secțiunea 2 (partea dreaptă a tubului de curgere) și secțiunea 1 (partea stângă a tubului de curgere) – Rețineți principiul lui Bernoulli. Fluidul care se află în stânga secțiunii 1 dă presiune (P₁) pe fluidul din dreapta și funcționează:

Apoi, W.₁ ecuația poate fi scrisă:

W₁ =p₁ A₁ L₁

În secțiunea 2 (partea dreaptă a tubului de curgere), lucrul mecanic efectuat asupra fluidului este:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

Un semn negativ indică faptul că forța aplicată este opusă direcției de mișcare. Deci, fluidul lucrează la dreapta secțiunii transversale 2. În plus, forța gravitațională lucrează asupra fluidului. În cazul de mai sus, unele mase de fluid sunt transferate din secțiunea 1 până la L.₁ până la secțiunea 2 până la L₂, unde este volumul fluidului din secțiunea 1 (A₁ L₁) = volumul fluidului din secțiunea 2 (A₂ L₂). Lucrul mecanic efectuat de gravitație este:

W₃ = − mg (h₂ - h₁)

W₃ = − mgh₂ + mgh₁)

W₃ = mgh₁ - mgh₂

Un semn negativ este cauzat de curgerea fluidului în sus, spre deosebire de direcția gravitației. Astfel, lucrul mecanic net efectuat asupra fluidului este:

W = W₁ +W₂ +W₃

W = P₁ A₁ L₁ - P.₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Teorema energie-lucru afirmă că lucrul mecanic net efectuat asupra unui sistem este același cu schimbarea energiei cinetice. Astfel, putem înlocui lucrul mecanic (W) cu schimbările energiei cinetice (EK₂ – EK₁).

Ecuația de mai sus poate fi scrisă din nou:

W = P₁ A₁ L₁ - P.₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ ‐ EK₁ = P₁ A₁ L₁ - P.₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2 mV₂² – 1⁄2 mV₁² = P₁ A₁ L₁ - P.₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Masa de fluid care curge până la L₁ în secțiunea transversală A₁ = masa fluidului care curge până la o distanță de L₂ (secțiune transversală A₂). Masa fluidului, să zicem m, are un volum de A₁ L₁ și A₂ L₂ unde un₁ L₁ = A₂ L₂ (L₂ este mai lung decât L₁).

Acum înlocuim m în ecuația de mai sus cu m = ρ AL:

Aceasta este ecuația lui Bernoulli. Ecuația lui Bernoulli este derivată pe baza principiului lucrului mecanic-energie, astfel încât este o formă de conservare a energiei.

P = presiune, ρ = densitate, v = viteza fluidului, g = accelerația gravitațională, h = înălțimea țevii față de sol.

Segmentele stâng și drept ale ecuației lui Bernoulli de mai sus se pot referi la două puncte oriunde de-a lungul tubului de curgere, astfel încât putem rescrie ecuația de mai sus în:

Acum să analizăm ecuația lui Bernoulli pentru câteva cazuri.

Ecuația lui Bernoulli în fluide statice

Cazul special al ecuației lui Bernoulli este pentru fluidul static, unde fluidul nu are viteză. Astfel, v₁ = v₂ = 0. În cazul unui fluid static, putem formula ecuația lui Bernoulli astfel:

Dacă h₂ - h₁ = h, această ecuație poate fi scrisă astfel:

p₁ - p.₂ = ρg (h₂ - h₁)

p₁ - p.₂ = ρ gh

Ecuația lui Bernoulli pe o țeavă de aceeași înălțime

Dacă înălțimea țevii este aceeași, ecuația lui Bernoulli se transformă în: