Penulisan Turunan Fungsi
Pendahuluan
Dalam bidang matematika, khususnya kalkulus, turunan merupakan konsep fundamental yang memainkan peran penting dalam berbagai aplikasi. Turunan tidak hanya digunakan dalam konteks matematika teoritis tetapi juga dalam sains, teknik, ekonomi, dan banyak disiplin ilmu lainnya. Artikel ini akan membahas penulisan turunan fungsi secara rinci, mencakup dasar-dasarnya, aturan-aturan penting, dan contoh-contoh penerapan.
Dasar-dasar Turunan
Pengertian Turunan
Turunan dari sebuah fungsi menggambarkan tingkat perubahan fungsi tersebut terhadap variabel independennya. Secara intuitif, turunan dapat diartikan sebagai kemiringan garis singgung yang menyentuh grafik fungsi di suatu titik.
Jika \( y = f(x) \), maka turunan pertama dari \( f \) terhadap \( x \) dilambangkan dengan \( f'(x) \) atau \( \frac{dy}{dx} \). Pengertian formal turunan diberikan oleh limit berikut:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Notasi Turunan
Ada beberapa notasi yang umum digunakan dalam penulisan turunan:
1. Notasi Leibniz : \( \frac{dy}{dx} \)
2. Notasi Lagrange : \( f'(x) \)
3. Notasi Newton : \( y’ \)
4. Notasi Euler : \( Df(x) \)
Masing-masing notasi memiliki kegunaan dan konteks spesifik di mana mereka lebih umum digunakan.
Aturan Dasar dalam Diferensiasi
Aturan Penjumlahan dan Pengurangan
Jika \( f(x) \) dan \( g(x) \) adalah dua fungsi yang dapat didiferensiasi, maka:
\[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
Aturan Perkalian
Untuk dua fungsi \( u(x) \) dan \( v(x) \):
\[ \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Aturan Pembagian
Jika \( u(x) \) dan \( v(x) \) adalah dua fungsi, dan \( v(x) \neq 0 \):
\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]
Aturan Rantai
Untuk komposisi dua fungsi \( f(u) \) dan \( u(g) \):
\[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Contoh-contoh Penerapan
Turunan Fungsi Polinomial
Misalkan \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1 \). Untuk menemukan turunan fungsi ini, kita menerapkan aturan dasar diferensiasi.
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (2x) – \frac{d}{dx} (1) \]
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritma
Jika \( f(x) = e^x \), maka turunan fungsi eksponensial adalah:
\[ f'(x) = e^x \]
Untuk fungsi logaritma natural \( f(x) = \ln(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \]
Turunan Fungsi Trigonometri
Untuk fungsi trigonometri dasar:
– Jika \( f(x) = \sin(x) \), maka \( f'(x) = \cos(x) \)
– Jika \( f(x) = \cos(x) \), maka \( f'(x) = -\sin(x) \)
– Jika \( f(x) = \tan(x) \), maka \( f'(x) = \sec^2(x) \)
Turunan Fungsi Komposit
Misalkan \( f(x) = \sin(2x) \). Kita dapat menerapkan aturan rantai:
\[ f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]
Turunan Tingkat Lanjut
Turunan Kedua dan Seterusnya
Turunan kedua adalah turunan dari fungsi turunan pertama. Jika \( y = f(x) \) maka turunan keduanya dilambangkan dengan \( f”(x) \) atau \( \frac{d^2y}{dx^2} \). Demikian seterusnya untuk turunan ketiga \( f”'(x) \) atau \( \frac{d^3y}{dx^3} \).
Misalkan \( f(x) = x^4 \):
\[ f'(x) = 4x^3 \]
\[ f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
\[ f”'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
\[ f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]
Aplikasi Turunan dalam Fisika
Dalam fisika, turunan sering digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan. Misalkan \( s(t) \) adalah fungsi posisi terhadap waktu \( t \). Kecepatan \( v(t) \) adalah turunan pertama dari posisi:
\[ v(t) = s'(t) \]
Percepatan \( a(t) \) adalah turunan pertama dari kecepatan atau turunan kedua dari posisi:
\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]
Kesimpulan
Turunan fungsi adalah konsep dasar dalam kalkulus yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang. Pengertian intuitif turunan sebagai kemiringan garis singgung memberikan wawasan penting tentang sifat dan perilaku suatu fungsi. Memahami dan mampu menerapkan aturan-aturan diferensiasi seperti aturan rantai, aturan produk, dan aturan pembagian sangat penting bagi siapa pun yang belajar kalkulus. Melalui contoh-contoh sederhana hingga penerapan dalam fisika, artikel ini berharap untuk memberikan pemahaman yang komprehensif tentang penulisan turunan fungsi.
