प्रक्षेप्य गती – समस्या आणि उपाय

२७ प्रक्षेप्य गती – समस्या आणि उपाय

१. एक गोळी θ = ६० ^° कोनातून २० मी/से वेगाने झाडली जाते . गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० मी/से² ^आहे . कमाल उंची गाठण्यासाठी लागणारा कालावधी किती आहे?

ज्ञात :

गोळीचा सुरुवातीचा वेग (v _o ) = 20 m/s

कोन (θ) = ६० ^° से.

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^–2

अपेक्षित आहे : कमाल उंची गाठण्यासाठी लागणारा कालावधी.

उपाय:

आडव्या दिशेतील (x अक्ष) प्रारंभिक वेग:

v _ox = v _o cos 60 ^o = (20)(0.5) = 10 m/s

उभ्या दिशेतील (y अक्ष) प्रारंभिक वेग:

v _oy = vo sin 60 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

या समीकरणाचा वापर करून मोजलेला, कमाल उंची गाठण्यासाठी लागणारा कालावधी:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = उभ्या दिशेतील अंतिम वेग = सर्वोच्च बिंदूवरील अंतिम वेग = 0 मी/से

v _oy = क्षैतिज दिशेतील आरंभिक वेग = 10√3 m/s

g = गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण = 10 m/ ^s²

t = वेळेचा कालावधी

वेळेचा कालावधी:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

१०√३ = १० टी

t = 10√3 / 10

t = √3 सेकंद

२. एक वस्तू एका विशिष्ट कोनातून प्रक्षेपित केली जाते. जेव्हा वेळेचा कालावधी = १ सेकंद आणि ३ सेकंद असतो, तेव्हा वस्तूची उंची समान असते. तर, वस्तू हवेत किती वेळ राहील?

उपाय:

वस्तू ४ सेकंदांसाठी हवेत.

३. एक विमान ५० मी/से वेगाने क्षैतिज दिशेने जात आहे. २ किमी उंचीवर विमानातून एक वस्तू खाली टाकली जाते. गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण = १० मी/ से² आहे, तर वस्तू जमिनीवर आदळण्यापूर्वी लागणारा वेळ किती असेल?

ज्ञात :

उंची = २ किमी = २००० मीटर

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

हवे आहे : वेळेचा कालावधी (t)

उपाय:

h = 1/2 gt ^​​2

2000 = 1/2 (10) t ²

१० = ५ टी ^२

t ² = 2000/5 = 400

t = √400 = २० सेकंद

^{4. लाथ मारलेला फुटबॉल क्षितिजसमांतर रेषेशी θ = 45 °} कोनातून 25 m/s च्या सुरुवातीच्या वेगाने जमिनीवरून निघतो . X चे अंतर निश्चित करा. गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 m/s² ^आहे.

ज्ञात :

सुरुवातीचा वेग (v _o ) = 25 m/s

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

कोन (θ) = ३० ^°

पाहिजे आहे : एक्स

उपाय:

आरंभिक वेगाचा क्षैतिज घटक :

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

आरंभिक वेगाचा उभ्या दिशेतील घटक:

v _oy = v _o sin θ = (25 m/s)(sin 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

गतीच्या क्षैतिज आणि उभ्या घटकांचे स्वतंत्रपणे विश्लेषण करून प्रक्षेप्य गती समजून घेता येते. x दिशेतील गती स्थिर वेगाने होते आणि y दिशेतील गती गुरुत्वाकर्षणाच्या स्थिर त्वरणाने होते.

हवेतील वेळ (t) :

हवेतील वेळेची गणना वरच्या उभ्या गतीच्या समीकरणाने केली जाते.

वरची दिशा सकारात्मक आणि खालची दिशा नकारात्मक म्हणून निवडा.

ज्ञात :

आरंभिक वेग (v _o ) = 12.5√2 m/s (वरची दिशा, धन)

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ खालील दिशा, ऋण)

उंची (h) = 0

हवे आहे : कालावधी (t)

उपाय:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t ²

0 = 12.5√2 t – 5 t ²

12.5√2 t = 5 t ²

१०√३ = १० टी

t = 12.5√2 / 5

t = २.५√२ सेकंद

आडवे अंतर (X) :

स्थिर वेगासह एकसमान रेषीय गतीच्या समीकरणाचा वापर करून गणना केली आहे .

ज्ञात :

वेग (v) = 12.5√2 मी/से

वेळेचे अंतर (t) = २.५√२ सेकंद

हवे आहे: अंतर

उपाय:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 मीटर

^{5. क्षितिजसमांतर रेषेशी θ = 30 ° चा} कोन करून वर प्रक्षेपित केलेल्या एका वस्तूचा सुरुवातीचा वेग 20 m/s आहे. गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 m/s² आहे ^. कमाल उंची निश्चित करा.

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v_o) = ४० मी/से

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

कोन (θ) = ३० ^°

हवे आहे : कमाल उंची

उपाय:

सर्वप्रथम, आरंभिक वेगाचा उभ्या दिशेतील घटक (v _oy ) शोधा:

v _oy = v _o sin 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0.5) = 10 m/s

कमाल उंचीची गणना करा. वरची दिशा धन आणि खालची दिशा ऋण म्हणून निवडा.

ज्ञात :

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ खालील दिशेने , ऋणात्मक )

आरंभिक वेगाचा उभ्या दिशेतील घटक (v _oy ) = 10 m/s ( वरची दिशा, धन )

कमाल उंचीवरील वेग (v _ty ) = 0

अपेक्षित आहे : कमाल उंची (h)

उपाय:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 10 ² + 2 (-10) h

० = ७५ – २० तास

७५ = २० तास

h = ८०/१०

h = ३० मीटर

कमाल उंची १.२५ मीटर आहे.

६. एक वस्तू एका विशिष्ट उन्नयन कोनातून फेकली जाते. १ सेकंद आणि ३ सेकंदांनंतर वस्तूची उंची सारखीच असते. हवेतील वेळ निश्चित करा.

अ. २० सेकंद

बी. २ सेकंद

सी. ०.५ सेकंद

डी. ०.०५ सेकंद

उपाय

हवेतील वेळ = ४ सेकंद.

योग्य उत्तर B आहे.

७. एक विमान ५० मी/से वेगाने क्षैतिज दिशेने जात आहे. जेव्हा विमान २ किमी उंचीवर असते, तेव्हा त्यातून एक वस्तू मुक्तपणे खाली पडू शकते. गतीचा प्रकार निश्चित करा.

अ. मुक्त पतन गती

ब. तरंगणारी गती

सी. क्षैतिज गती

डी. प्रक्षेप्य गती

उपाय:

गतिमान विमानातून वस्तू खाली टाकली जाते कारण तिचा वेग विमानाच्या वेगाइतकाच, म्हणजेच ५० मीटर/सेकंद असतो. वस्तूंची हालचाल ही मुक्त पतनासारखी नसून लंबवर्तुळाकार गती असते. हे अगदी तुम्ही गतिमान गाडीच्या आतून वस्तू खाली टाकण्यासारखेच आहे.

योग्य उत्तर D आहे.

८. ६० मीटर उंच कड्यावरून एक चेंडू १५ मीटर प्रति सेकंद वेगाने क्षैतिज दिशेने फेकला जातो. त्याला जमिनीवर पोहोचायला किती वेळ लागेल?
उकल: \( h = \frac{1}{2} gt^2 \) हे सूत्र वापरून, आपल्याला वेळ \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \) मिळतो.

९. एक प्रक्षेप्य क्षितिजसमांतर रेषेपासून ३०° च्या कोनातून २० मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने डागले जाते. त्याने गाठलेली कमाल उंची किती असेल?
उत्तर: \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) हे सूत्र वापरल्यास, कमाल उंची \( h \approx 10.2\ \text{m} \) मिळते.

१०. ८० मीटर उंच मनोऱ्यावरून एक दगड १० मी/से वेगाने क्षैतिज दिशेने फेकला जातो. जमिनीवर आदळण्यापूर्वी त्याने कापलेले क्षैतिज अंतर शोधा.
उत्तर: प्रश्न १ प्रमाणेच मिळालेल्या वेळेचा वापर करून, आडवे अंतर \( d = vt \approx 40\ \text{m} \) आहे.

११. एक तोफेचा गोळा ४० मी/से वेगाने ४५° च्या कोनातून डागला जातो. त्याला लागणारा उड्डाणाचा वेळ शोधा.
उत्तर: \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) हे सूत्र वापरून, उड्डाणाचा वेळ \( t \approx 5.8\ \text{s} \) येतो.

१२. एक बेसबॉल ६०° च्या कोनातून १२ मी/से वेगाने फेकला जातो. त्याचे क्षैतिज अंतर काढा.
उत्तर: \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) हे सूत्र वापरल्यास, पल्ला \( R \approx 14.0\ \text{m} \) मिळतो.

१३. एक प्रक्षेप्य क्षितिजसमांतर रेषेपासून ३७° वरच्या कोनात ५० मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने प्रक्षेपित केले जाते. उभ्या वेगाचा घटक काय आहे?
उत्तर: उभ्या दिशेतील घटक \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \) आहे.

१४. एक प्रक्षेप्य १०० मीटर उंचीवरून २० मी/से वेगाने क्षैतिज दिशेने प्रक्षेपित केले जाते. जमिनीवर आदळण्यापूर्वी त्याचा ऊर्ध्व वेग किती असेल?
उत्तर: \( v_y = \sqrt{2gh} \) हे सूत्र वापरून, उभ्या दिशेतील वेग \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \) मिळतो.

१५. एक दगड क्षितिजसमांतर रेषेच्या वर २५° च्या कोनातून १५ मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने फेकला जातो. वेगाचे क्षितिजसमांतर आणि उभे घटक कोणते आहेत?
उत्तर: क्षैतिज घटक \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \) आहे, आणि उभ्या घटक \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \) आहे.

१६. एक फुटबॉल ३० मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने क्षितिज समांतर रेषेच्या वर ४०° च्या कोनात मारला जातो. त्याच्या क्षितिज समांतर वेगाचा घटक काय आहे?
उत्तर: क्षैतिज घटक \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \) आहे.

१७. एक गोल्फ बॉल ७० मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने २०° च्या कोनात मारला जातो. त्याला हवेत उडायला किती वेळ लागेल?
उत्तर: उड्डाण वेळेच्या समीकरणाचा वापर करून, वेळ \( t \approx 4.9\ \text{s} \) आहे.

१८. एक प्रक्षेप्य जमिनीवरून क्षितिजसमांतर रेषेच्या ५३° वर २५ मी/से वेगाने फेकले जाते. त्याच्या सुरुवातीच्या उभ्या वेगाचा घटक काय आहे?
उत्तर: उभ्या दिशेतील घटक \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \) आहे.

१९. एक बेसबॉल २० मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने ५०° च्या कोनात फेकला जातो. त्याची कमाल उंची किती असेल?
उत्तर: कमाल उंचीच्या समीकरणाचा वापर करून, उंची \( h \approx 15.3\ \text{m} \) येते.

२०. एक गोळी १० मीटर उंचीवरून २०० मी/से वेगाने क्षैतिज दिशेने झाडली जाते. तिला जमिनीवर पोहोचायला किती वेळ लागेल?
उत्तर: वेळेच्या समीकरणाचा वापर करून, वेळ \( t \approx 1.4\ \text{s} \) आहे.

२१. एक तोफेचा गोळा ४५ मी/से वेगाने ३०° च्या कोनातून डागला जातो. त्याचा पल्ला काढा.
उत्तर: पल्ला समीकरणाचा वापर करून, पल्ला \( R \approx 88.2\ \text{m} \) मिळतो.

२२. एक बास्केटबॉल ७५° च्या कोनातून १० मी/से वेगाने फेकला जातो. त्याचे क्षैतिज अंतर काढा.
उत्तर: पल्ला समीकरणाचा वापर करून, पल्ला \( R \approx 5.3\ \text{m} \) मिळतो.

२३. एक प्रक्षेप्य क्षितिजसमांतर रेषेपासून २२° कोनात ३० मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने प्रक्षेपित केले जाते. जमिनीवर आदळण्यापूर्वी त्याचा ऊर्ध्व वेग किती असेल?
उत्तर: उभ्या वेगाच्या समीकरणाचा वापर करून, उभा वेग \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \) मिळतो.

२४. ४० मीटर उंच मनोऱ्यावरून एक दगड ८ मी/से वेगाने क्षैतिज दिशेने फेकला जातो. त्याने क्षैतिज दिशेने किती अंतर कापले?
उत्तर: आडव्या अंतराच्या समीकरणाचा वापर करून, अंतर \( d \approx 16\ \text{m} \) आहे.

२५. एक फुटबॉल क्षितिजसमांतर रेषेच्या वर ३०° च्या कोनात १२ मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने मारला जातो. वेगाचे क्षितिजसमांतर आणि उभे घटक कोणते आहेत?
उत्तर: क्षैतिज घटक \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \) आहे आणि उभ्या घटक \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \) आहे.

१७. एक गोल्फ बॉल ७० मी/से च्या सुरुवातीच्या वेगाने २०° च्या कोनात मारला जातो. त्याला हवेत उडायला किती वेळ लागेल?
उत्तर: उड्डाण वेळेच्या समीकरणाचा वापर करून, वेळ \( t \approx 2.6\ \text{s} \) आहे.

२७. एक प्रक्षेप्य जमिनीवरून क्षितिजसमांतर रेषेच्या ६०° वर ४० मी/से वेगाने फेकले जाते. त्याच्या सुरुवातीच्या क्षितिजसमांतर वेगाचा घटक काय आहे?
उत्तर: क्षैतिज घटक \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \) आहे.