यांत्रिक ऊर्जेचे संवर्धन – समस्या आणि उपाय
१. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, एक m-किलो वजनाचा ठोकळा एका गुळगुळीत कलत्या सपाटीच्या वरच्या टोकावरून सोडला जातो . M बिंदूवरील ठोकळ्याच्या गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा आणि गतिज ऊर्जा यांची तुलना…
उपाय
M बिंदूवरील गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा:
PE M = mg (1/3h) = 1/3 mgh
M बिंदूवरील गतिज ऊर्जा:
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
ईपी एम : ईके एम
१/३ मिग्रॅ : २/३ मिग्रॅ
७५/१५ : ६०/१५
1: 2
२. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, एक बर्फावर स्कीइंग करणारा खेळाडू A उंचीवरून घसरत आहे. जर सुरुवातीचा वेग = 0 आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण 10 ms⁻² असेल , तर B बिंदूवर त्या खेळाडूचा वेग किती असेल?
ज्ञात :
प्रारंभिक वेग (v o ) = 0
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ s²
उंचीतील बदल = ५० मीटर – १० मीटर = ४० मीटर
B बिंदूवरील स्कीअरचा वेग हवा आहे.
उपाय:
यांत्रिक ऊर्जेच्या संवर्धनाच्या तत्त्वानुसार, प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा.
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = बिंदू B वरील स्थितीज ऊर्जा (उंची = ४० मीटर)
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = बिंदू B वरील गतिज ऊर्जा
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा
½ mv t 2 = mgh
½ v t 2 = gh
½ v t 2 = (10)(50-10)
½ v t 2 = (10)(40)
½ v t 2 = 400
v t 2 = (2)(400) = 800
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s
३. एक वस्तू A या बिंदूपासून सुरुवातीचा वेग न घेता घसरू लागते. जर घर्षण बल नसेल, तर सर्वात खालच्या बिंदूवर वस्तूचा वेग किती असेल?
ज्ञात :
वस्तूचे वस्तुमान = मीटर
प्रारंभिक वेग (v o ) = 0
उंची (h) = ५ मीटर
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ s²
अपेक्षित : अंतिम वेग (v t )
उपाय:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ME 1 ) = बिंदू A वरील गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (PE A ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ME 2 ) = गतिज ऊर्जा (KE) = ½ mv t 2
सर्वात खालच्या बिंदूवर वस्तूचा वेग (v t )?
यांत्रिक ऊर्जेच्या संवर्धनाचे तत्व सांगते की, प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा.
EM1 = EM2
२०० मी = ½ mv t 2
२०० = ½ v t २
५६ = v t २
v t = 20 m/s
४. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, २ किलोग्रॅम वजनाचा एक चेंडू बिंदू A पासून मुक्तपणे खाली पडतो (g = १० ms⁻² ) . बिंदू B वर पोहोचल्यानंतर, गतिज ऊर्जा ही स्थितिज ऊर्जेच्या २ पट असते. पृथ्वीच्या पृष्ठभागापासून बिंदू B ची उंची किती आहे?
ज्ञात :
चेंडूचे वस्तुमान (m) = १ किलोग्रॅम
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms -2
बिंदू A ची उंची (h A ) = ९० मीटर
बिंदू B ची उंची (h B ) हवी आहे.
उपाय:
जेव्हा चेंडू बिंदू B वर पोहोचतो, तेव्हा बिंदू B वरील त्याची गतिज ऊर्जा ही बिंदू B वरील त्याच्या गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेच्या २ पट असते.
EK = 2 EP
½ mv 2 = 2 mgh B
½ v 2 = 2 gh B
v 2 = 2(2)(10) h B
v 2 = 40 h B
बिंदू A पासून मुक्त पतन होऊन बिंदू B वर पोहोचल्यावर चेंडूचा वेग (v):
v 2 = 2 gh = 2(10)(90–h B ) = 20(90–h B )
वरील समीकरणात v 2 ऐवजी या समीकरणात v 2 ठेवा.
v 2 = 40 h B
20(90–h B ) = 40 h B
१८००–२० तास बी = ४० तास बी
१८०० = ४० तास बी + २० तास बी
१८०० = ६० तास बी
h B = १८०० / ६०
h B = ३० मीटर
५. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, १ किलोग्रॅम वजनाचा एक चेंडू सोडला जातो आणि तो बिंदू A पासून बिंदू C पर्यंत खाली घसरतो. जर गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण = १० मी/से² असेल , तर चेंडू बिंदू C वर पोहोचल्यावर त्याची गतिज ऊर्जा किती असेल?
ज्ञात :
चेंडूचे वस्तुमान (m) = १ किलोग्रॅम
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ s²
उंचीतील बदल (h) = ५ मी
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
अंतिम गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
C बिंदूवरील चेंडूची गतिज ऊर्जा हवी आहे.
उपाय:
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ME o ) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ME t )
प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (PE o ) + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE o ) = अंतिम गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (PE t ) + अंतिम गतिज ऊर्जा (KE t )
7.5 जूल + 0 = 0 + KE t
२४ जूल = गतिज ऊर्जा
C बिंदूवर चेंडूची गतिज ऊर्जा = 7.5 जूल.
६. खालील आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, २ किलोग्रॅम वजनाचा एक चेंडू बिंदू A पासून सोडला जातो. वक्र प्रतल सपाट आहे. जर गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण १० ms⁻² असेल , तर बिंदू B येथे चेंडूची गतिज ऊर्जा किती असेल?
ज्ञात :
चेंडूचे वस्तुमान (m) = १ किलोग्रॅम
गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ s²
उंचीतील बदल (h) = 120 सेमी = 1.2 मीटर
प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 जूल
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
अंतिम गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
B बिंदूवरील चेंडूची गतिज ऊर्जा हवी आहे.
उपाय:
बिंदू A वरील यांत्रिक ऊर्जा (प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा) = बिंदू B वरील यांत्रिक ऊर्जा (अंतिम यांत्रिक ऊर्जा)
प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा (ME o ) = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा (ME t )
प्रारंभिक गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (PE o ) + प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE o ) = अंतिम गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा (PE t ) + अंतिम गतिज ऊर्जा (KE t )
24 जूल + 0 = 0 + KE t
२४ जूल = गतिज ऊर्जा
C बिंदूवर चेंडूची गतिज ऊर्जा (KE) = 24 जूल.
७. एका वस्तूमध्ये स्थिर यांत्रिक ऊर्जा, अधिक गतिज ऊर्जा आणि कमी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा असते. ती वस्तू…
अ. विश्रांती घेत असताना
बी. वरच्या दिशेने जा
C. खाली जा
डी. वरच्या दिशेने प्रवेगित
उपाय:
गतिज ऊर्जा वाढत आहे, म्हणजेच वस्तूचा वेग वाढत आहे आणि गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा कमी होत आहे, म्हणजेच जमिनीच्या पृष्ठभागापासून वस्तूची उंची कमी होत आहे. जेव्हा वस्तू एका विशिष्ट उंचीवरून खाली जमिनीकडे येते तेव्हा असे घडते.
वेग आणि गतिज ऊर्जा यांच्यातील संबंध गतिज ऊर्जेच्या सूत्राने दर्शविला जातो:
KE = ½ mv 2
सूत्राचे वर्णन: KE = गतिज ऊर्जा, m = वस्तुमान, v = वेग
उंची आणि गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा यांच्यातील संबंध गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जेच्या सूत्राने दर्शविला जातो:
PE = mgh
सूत्राचे वर्णन: PE = गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, m = वस्तुमान, g = गुरुत्वीय त्वरण, h = उंची
बरोबर उत्तर C आहे.
- यांत्रिक ऊर्जा म्हणजे काय?
- उत्तर: यांत्रिक ऊर्जा ही वस्तूच्या गतिज ऊर्जा आणि स्थितिज ऊर्जेची बेरीज असते. गतिज ऊर्जा वस्तूच्या गतीशी संबंधित असते, तर स्थितिज ऊर्जा तिच्या स्थितीशी किंवा संरचनेशी संबंधित असते.
- यांत्रिक उर्जेच्या अक्षय्यतेचे तत्व काय सांगते?
- उत्तर: हे तत्त्व सांगते की, केवळ संवर्धक बले कार्यरत असलेल्या विलग प्रणालीमध्ये, एकूण यांत्रिक ऊर्जा स्थिर राहते. म्हणजेच, गतिज आणि स्थितिज ऊर्जेची बेरीज वेळेनुसार बदलत नाही.
- संवर्धक आणि असंरक्षक बले यांत्रिक उर्जेच्या संवर्धनावर कसा परिणाम करतात?
- उत्तर: गुरुत्वाकर्षणासारखी संरक्षक बले, प्रणालीच्या एकूण यांत्रिक ऊर्जेत बदल करत नाहीत. ती स्थितीज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेत किंवा उलट रूपांतर करू शकतात, परंतु एकूण बेरीज स्थिर राहते. घर्षणासारखी असंरक्षक बले, यांत्रिक ऊर्जेचा अपव्यय करू शकतात, आणि सामान्यतः तिचे औष्णिक ऊर्जेत रूपांतर करतात.
- घर्षण असलेल्या वास्तविक परिस्थितींमध्ये यांत्रिक ऊर्जेचे संवर्धन का होत नाही?
- उत्तर: घर्षण हे एक असंरक्षक बल आहे. जेव्हा वस्तू एकमेकांकडे सरकतात, तेव्हा घर्षण प्रणालीच्या काही यांत्रिक ऊर्जेचे औष्णिक ऊर्जेमध्ये रूपांतर करते, ज्यामुळे प्रणालीच्या एकूण यांत्रिक ऊर्जेत घट होते.
- दोलकाच्या दोलनामध्ये यांत्रिक ऊर्जेचे संवर्धन कसे दाखवले जाते?
- उत्तर: हवेचा रोध (एक असंरक्षक बल) नसताना, लोलक वरच्या दिशेने झुलत असताना, त्याच्या गतिज ऊर्जेचे रूपांतर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जेमध्ये होते. झुलण्याच्या सर्वोच्च बिंदूवर, त्याच्याकडे कमाल स्थितिज ऊर्जा आणि किमान गतिज ऊर्जा असते. तो खाली झुलत असताना, या स्थितिज ऊर्जेचे पुन्हा गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते. ऊर्जेच्या स्वरूपांची अदलाबदल होत असली तरी, एकूण यांत्रिक ऊर्जा स्थिर राहते.
- बाह्य शक्तींचा अभाव असतानाही, उसळणारा चेंडू अखेरीस स्थिर का होतो?
- उत्तर: जेव्हा चेंडू उसळतो, तेव्हा त्याची सर्व गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जेमध्ये परत रूपांतरित होत नाही. काही ऊर्जा वाया जाते, जी अनेकदा ध्वनीच्या स्वरूपात किंवा चेंडूच्या विरूपणाच्या रूपात, आणि विशेषतः चेंडूच्या पदार्थातील अंतर्गत घर्षणामुळे होते. ही असंरक्षक बलांची रूपे आहेत, जी चेंडू स्थिर होईपर्यंत प्रत्येक उसळीसोबत त्याची यांत्रिक ऊर्जा कमी करतात.
- रोलर कोस्टरमध्ये सर्वात जास्त आणि सर्वात कमी यांत्रिक ऊर्जा कोठे असते?
- उत्तर: हवेचा रोध आणि घर्षण दुर्लक्षित केल्यास रोलर कोस्टरची एकूण यांत्रिक ऊर्जा स्थिर राहते. तथापि, सर्वोच्च बिंदूवर स्थितिज ऊर्जा सर्वाधिक असते, तर गतिज ऊर्जा किमान असते. खाली उतरताना, स्थितिज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेत रूपांतर होते, त्यामुळे सर्वात खालच्या बिंदूवर गतिज ऊर्जा सर्वाधिक आणि स्थितिज ऊर्जा किमान असते.
- यांत्रिक ऊर्जेचे संवर्धन ग्रहांच्या कक्षा समजून घेण्यास कसे मदत करते?
- उत्तर: सूर्यासारख्या ताऱ्याभोवती फिरणाऱ्या ग्रहांमध्ये त्यांच्या गतीमुळे निर्माण होणारी गतिज ऊर्जा आणि सूर्याच्या सापेक्ष त्यांच्या स्थितीमुळे निर्माण होणारी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, या दोन्ही असतात. जसा एखादा ग्रह सूर्याच्या जवळ जातो, तसा त्याचा वेग वाढतो, ज्यामुळे त्याची गतिज ऊर्जा वाढते आणि गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा कमी होते, आणि याउलट घडते. इतर ग्रहांकडून येणाऱ्या इतर शक्ती नगण्य मानल्यास, ग्रहाची एकूण यांत्रिक ऊर्जा कालांतराने स्थिर राहते.
- स्थिर कक्षेत असलेला उपग्रह पृथ्वीवर का कोसळत नाही?
- उत्तर: गुरुत्वाकर्षणामुळे उपग्रह पृथ्वीकडे खेचला जात असला तरी, त्याची पुढची गतिज ऊर्जा त्याला त्याच्या कक्षेत गतिमान ठेवते. या गतिज ऊर्जेचा आणि गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जेचा समतोल उपग्रहाला स्थिर यांत्रिक ऊर्जेसह एका स्थिर कक्षेत ठेवतो.
- जर एखादी स्कीअर घर्षणरहित टेकडीच्या माथ्यावर स्थिर अवस्थेतून खाली स्की करत आली, तर टेकडीच्या मध्यातून सुरुवात केली असती तर तिच्या वेगाच्या तुलनेत तळाशी तिचा वेग कसा असेल?
- उत्तर: घर्षणरहित उतारावर, स्कीअरची एकूण यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित राहते. जर तिने अगदी शिखरावरून सुरुवात केली, तर तिच्याकडे मधूनच खाली उतरण्यापेक्षा सुरुवातीला अधिक स्थितिज ऊर्जा असेल. ही स्थितिज ऊर्जा खाली उतरताना पूर्णपणे गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतरित होईल. त्यामुळे, मधूनच खाली उतरण्याऐवजी शिखरावरून सुरुवात केल्यास ती खाली अधिक वेगाने पोहोचेल.
