वक्र पृष्ठभागांवर यांत्रिक ऊर्जेचे संवर्धन – समस्या आणि उपाय

वक्र पृष्ठभागांवर यांत्रिक ऊर्जेचे संवर्धन – समस्या आणि उपाय

१. जर बिंदू A वर चेंडूचा वेग ६ मी/से, बिंदू B वर चेंडूचा वेग √९२ मी/से आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण g = १० मी/से² ^असेल , तर बिंदू B ची उंची (h) किती आहे?

ज्ञात :

बिंदू A वरील चेंडूचा वेग (v_A) = ४० मी/से

बिंदू B वरील चेंडूचा वेग (v _B ) = √92 m/s

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

A ची उंची (h _A ) = ५.६ मीटर

B ची उंची (h _B ) = h

हवे आहे : बिंदू B ची उंची (h)

उपाय:

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा

बिंदू A वर, चेंडूचा वेग = 0, म्हणून चेंडूची गतिज ऊर्जा = 0. KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (0) = 0.

चेंडू ५.६ मीटर उंचीवर आहे, त्यामुळे चेंडूमध्ये गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा आहे. गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा : PE = mgh = m (10)(5.6) = 5.6 m

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = ५६ मी + ० = ५६ मी

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा

बिंदू B वर, चेंडूची उंची h आहे. गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

चेंडूची गतिज ऊर्जा : KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (√92) ² = 1/2 m (92) = 46 m

अंतिम यांत्रिक ऊर्जा = गुरुत्वीय स्थितीज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

यांत्रिक उर्जेच्या संवर्धनाचे तत्व:

प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा = अंतिम यांत्रिक ऊर्जा

56 मी = मी (10 तास + 46)

५६ = १० तास + ४६

५६ – ४६ = १० तास

७५ = २० तास

h = ८०/१०

h = ५५ मीटर

2.

जर सुरुवातीचा वेग = 0, गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण = 10 m/s² असेल ^, तर B उंचीवर वेग किती असेल?

ज्ञात :

सुरुवातीचा वेग (v _o ) = 0

सुरुवातीची उंची (h _o ) = 50 मी – 10 मी = 40 मी

अंतिम उंची (h _t ) = 0

गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे त्वरण (g) = 10 ms ^-2

अपेक्षित आहे : अंतिम वेग (v _t )

उपाय:

गतिज ऊर्जेतील बदल:

ΔKE = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

स्थितिज उर्जेतील बदल:

ΔPE = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

यांत्रिक ऊर्जा अक्षय्यतेच्या तत्त्वाच्या समीकरणाचा वापर करून अंतिम वेग (v _t ) काढा :

0 = ΔKE + ΔPE

0 = 1/2 mv _t ² – 400 m

1/2 mv _t ² = 400 m

1/2 v _t ² = 400

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 m/s

1. “यांत्रिक उर्जेचे संवर्धन” म्हणजे काय?
   • उत्तर: यांत्रिक ऊर्जेच्या संवर्धनाचा अर्थ असा आहे की, जर एखाद्या विलग प्रणालीवर केवळ गुरुत्वाकर्षणासारखी संवर्धक बले कार्य करत असतील, तर त्या प्रणालीची एकूण यांत्रिक ऊर्जा (गतिज आणि स्थितिज ऊर्जेची बेरीज) स्थिर राहते.
2. वक्र पृष्ठभागावर गतिमान असलेली वस्तू (जसे की वक्र उतारावरून घरंगळणारा चेंडू) आपली यांत्रिक ऊर्जा कशी टिकवून ठेवते?
   • उत्तर: वस्तू वक्र पृष्ठभागावरून खाली सरकत असताना, स्थितिज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते, परंतु घर्षणासारखी कोणतीही असंरक्षक बले कार्य करत नाहीत असे गृहीत धरल्यास, एकूण यांत्रिक ऊर्जा स्थिर राहते.
3. जर एखादा चेंडू वक्र उताराच्या वरच्या टोकावरून स्थिर स्थितीतून सोडला, तर तो उतारावरून खाली जाताना त्याच्या गतिज ऊर्जेत कसा बदल होतो?
   • उत्तर: चेंडू उतारावरून खाली जात असताना त्याची स्थितीज ऊर्जा कमी होते आणि तिचे गतिज ऊर्जेमध्ये रूपांतर होते, त्यामुळे त्याची गतिज ऊर्जा वाढते.
4. घर्षण नसताना, वक्र घसरगुंडीच्या तळाशी असलेल्या चेंडूचा वेग आणि तितक्याच उंचीच्या सरळ घसरगुंडीच्या तळाशी असलेल्या चेंडूचा वेग यांची तुलना कशी असेल?
   • उत्तर: वक्र आणि सरळ अशा दोन्ही घसरगुंड्यांवर तळाशी चेंडूचा वेग सारखाच असेल, कारण स्थितीज ऊर्जेचे गतिज ऊर्जेमध्ये होणारे रूपांतर केवळ उभ्या उंचीवर अवलंबून असते, मार्गावर नाही.
5. एका विशिष्ट उंचीवरून खाली आल्यानंतर, चेंडू वक्र उतारावरून वर घरंगळवल्यावर त्याच्या मूळ उंचीपर्यंत का पोहोचत नाही?
   • उत्तर: जर चेंडूवर घर्षणासारखी असंरक्षक बले कार्यरत असतील, तर ती त्याच्या गतीच्या विरुद्ध कार्य करतील आणि चेंडूच्या काही यांत्रिक ऊर्जेचे उष्णतेसारख्या इतर स्वरूपांमध्ये रूपांतर करतील. परिणामी, चेंडूकडे त्याच्या मूळ उंचीपर्यंत पोहोचण्यासाठी पुरेशी ऊर्जा शिल्लक राहणार नाही.
6. जर दोन वेगवेगळ्या आकाराच्या वस्तू (उदा., एक गोल आणि एक घन) एकाच उंचीवरून न घरंगळता एका वक्र उतारावरून खाली घसरल्या, तर तळाशी त्यांचा वेग समान असेल का? का?
   • उत्तर: हो, तळाशी त्यांचा वेग सारखाच असेल. घरंगळणे आणि घर्षण होत नाही असे गृहीत धरल्यास, त्यांचा वेग ठरवणारा एकमेव घटक म्हणजे सुरुवातीच्या उंचीवर आधारित ऊर्जेचे संवर्धन, त्यांचा आकार नव्हे.
7. पृष्ठभागाच्या वक्रतेचा, त्यावरून गतिमान असलेल्या वस्तूवरील अभिलंब बलावर कसा परिणाम होतो?
   • उत्तर: वक्रतेमुळे वस्तूच्या हालचालीनुसार अभिलंब बलाची दिशा बदलते. वरच्या बाजूला अंतर्वक्र असलेल्या पृष्ठभागावर (वाटीच्या आतील भागाप्रमाणे), वक्र गतीसाठी आवश्यक असलेल्या अभिकेंद्री बलामुळे तळाशी अभिलंब बल जास्त असते. याउलट, बहिर्वक्र पृष्ठभागावर, सर्वात वरच्या बिंदूवर अभिलंब बल कमी होऊ शकते किंवा अगदी शून्यही होऊ शकते (वस्तू पृष्ठभाग सोडते).
8. वक्र पृष्ठभागावर यांत्रिक ऊर्जेच्या संवर्धनामध्ये वक्रता त्रिज्येची भूमिका काय असते?
   • उत्तर: वक्रतेची त्रिज्या स्वतः यांत्रिक ऊर्जेच्या संवर्धनावर थेट परिणाम करत नाही. तथापि, ती अभिलंब बलावर आणि, घर्षण असल्यास, असंरक्षक बलांमुळे वाया जाणाऱ्या ऊर्जेच्या प्रमाणावर प्रभाव टाकू शकते.
9. जर एखाद्या मार्गाच्या मध्यभागी उतार असेल (जसे की U-आकाराचे वळण), तर एखादी वस्तू त्या उतारातून आणि पलीकडच्या बाजूला वर जाताना तिच्या यांत्रिक ऊर्जेमध्ये कसा बदल होतो?
   • उत्तर: वस्तू उताराच्या दिशेने आत जाताना तिची स्थितिज ऊर्जा कमी होईल आणि गतिज ऊर्जा वाढेल. ती दुसऱ्या बाजूने वर जाताना, तिची गतिज ऊर्जा कमी होईल आणि स्थितिज ऊर्जा वाढेल. जर केवळ संवर्धक बले कार्यरत असतील, तर संपूर्ण गतीदरम्यान एकूण यांत्रिक ऊर्जा स्थिर राहते.
10. वक्र पृष्ठभागावर गतिमान असताना एखाद्या वस्तूमध्ये स्थानांतरणीय आणि परिभ्रमणीय गतिज ऊर्जा दोन्ही असू शकतात का?

• उत्तर: होय, जर चेंडूसारखी एखादी वस्तू वक्र पृष्ठभागावर (न घसरता) घरंगळली, तर तिच्या वस्तुमान केंद्राच्या हालचालीमुळे तिला स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा आणि स्वतःच्या अक्षाभोवतीच्या परिभ्रमणामुळे परिभ्रमणीय गतिज ऊर्जा मिळेल.