Skysčių dinamika – problemos ir sprendimai

Skysčių dinamika – problemos ir sprendimai

Torricelli teorema

1. Vandens pripildytas indas su jame esančia skyle , kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Jei gravitacijos pagreitis yra 10 ms⁻² ^, koks yra vandens greitis per tą skylę?

Žinomas:

Aukštis (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metro

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/ ^s²

Ieškoma: vandens greičio (v)

sprendimas:

Torricelli teorema teigia, kad vanduo iš skylės išeina tokiu pačiu greičiu, kaip ir objektas, laisvai krintantis iš to paties aukščio. Aukštis (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metro

Vandens greitis apskaičiuojamas pagal laisvojo kritimo judėjimo lygtį :

vt2 = ^2gh_​

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

vt = √9 = 3 m/ _s

2. Vandens pripildytas indas su skyle, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Jei gravitacijos pagreitis yra 10 ms⁻² ^, koks yra vandens greitis per tą skylę?

Žinomas:

Aukštis (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metro

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/ ^s²

Ieškoma: vandens greičio (v)

sprendimas:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

vt = √25 = 5 m/ _s

3. Vandens pripildytas indas su skyle, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Jei gravitacijos pagreitis yra 10 ms⁻² ^, koks yra vandens greitis per tą skylę?

Žinomas:

Aukštis (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metro

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/ ^s²

Ieškoma: vandens greičio (v)

sprendimas:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

vt = √16 = 4 m/ _s

4. Vandens pripildytas indas su skyle, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Jei gravitacijos pagreitis yra 10 ms⁻² ^, koks yra vandens greitis per tą skylę?

Žinomas:

Aukštis (h) = 20 cm = 0.2 metro

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/ ^s²

Ieškoma: vandens greičio (v)

sprendimas:

5. Indas, pripildytas vandens, su dviem skylėmis , kaip parodyta paveikslėlyje apačioje. Koks yra x ₁ ir x ₂ santykis?

Sprendimas

Vandens laisvo kritimo iš 1-osios duobutės laiko intervalas:

h = 1/2 ties ²

0.8 = 1/2 (10) ^t²

0.8 = 5 t ²

t2 = 0.8 / 5 = ^0.16

t = 0.4 sekundžių

Vandens laisvo kritimo iš 2-osios duobutės laiko intervalas:

h = 1/2 ties ²

0.5 = 1/2 (10) ^t²

0.5 = 5 t ²

t2 = 0.5 / 5 = ^0.1

t = √0.1 sekundės

Horizontalus atstumas (x):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 metro

x² ₌ v²t² = ( _{√10 )} (√0.1) = (10)(0.1) = 1 metras

_{X 1} ir x ₂ santykis :

x1 _: x2 = _0.8 :1 = 8:10 = 4: ₅

Tęstinumo lygtis

6. Vanduo teka įvairaus skersmens vamzdžiu – A į B, o po to į C. Santykis A ir C yra 8:3. Jei vandens greitis vamzdžiu A yra v, koks yra vandens greitis vamzdžiu C?

Žinomas:

A plotas (A_A) = 8

C plotas (A _C ) = 3

Vandens greitis vamzdyje A (v _A ) = v

Ieškoma: vandens greičio vamzdyje C (v _C )

sprendimas:

Tolydumo lygtis:

A _A v _A = A _C v _C

8 V = 3 V _C

v _C = 8/3 v

7. Jei vandens greitis 12 cm skersmens vamzdyje yra 10 cm/s, tai koks yra vandens greitis 8 cm skersmens vamzdyje?

Žinomas:

Skersmuo 1 (d ₁ ) = 12 cm, spindulys 1 (r ₁ ) = 6 cm

Skersmuo 2 (d ₂ ) = 8 cm, spindulys 2 (r ₂ ) = 4 cm

Vandens greitis 1 (v1 ₎ = 10 cm/s

Ieškoma: Vandens greitis 2 ( _v2 )

sprendimas:

1 plotas (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

2 plotas (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

Tolydumo lygtis:

A1 v1 = _A2 v2_​​​

(36π)(10) = (16π)₂/ _₀

(36)(10) = (16) _v²

360 = (16) _v²

v2 = _360/16

v² = _22.5 cm/s

8. Vanduo teka įvairaus skersmens vamzdžiu, kaip parodyta paveikslėlyje apačioje. Jei 1 plotas (A ₁ ) = 8 cm ² , A ₂ = 2 cm ² ir vandens greitis 2 vamzdžiu = v ₂ = 2 m/s, tai koks yra vandens greitis 1 vamzdžiu = v ₁?

Žinomas:

1 sritis (A₁) = 8 cm²

2 plotas (A ₂ ) = 2 cm ²

Vandens greitis 2 vamzdyje ( _v2 ) = 2 m/s

Ieškoma: vandens greičio 1 vamzdyje ( _v1 )

sprendimas:

Tolydumo lygtis:

A1 v1 = _A2 v2_​​​

8 v ₁ = (2)(2)

8 prieš ₁ = 4

v1 = 4/8 = 0.5 m/ _s

9. Jei didesnio vamzdžio skersmuo yra 2 kartus didesnis už mažesnio vamzdžio skersmenį, koks yra skysčio greitis mažesniame vamzdyje?

Žinomas:

Didesnio vamzdžio skersmuo (d₁) = 2

Didesnio vamzdžio spindulys (r1 ₎ = ½ d1 ₌ ½ (2) = 1

Didesnio vamzdžio plotas ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

Mažesniojo vamzdžio skersmuo (d2 ₎ = 1

Mažesniojo vamzdžio spindulys (r² ₎ = ½ d² ₌ ½ (1) = ½

Mažesnio vamzdžio plotas ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

Skysčio greitis didesniame vamzdyje ( v1 ₎ = 4 m/s

Ieškoma: skysčio greičio mažesniame vamzdyje ( v2 ₎

sprendimas:

Tolydumo lygtis:

A1 v1 = _A2 v2_​​​

π₀ = ¼ π( _v² )

4 = ¼ ( _v² )

v² = ₈ m/s

Bernulio principas ir lygtys

10. Vanduo pumpuojamas 120 kP kompresoriumi, kuris įeina į apatinį vamzdį (1) ir teka aukštyn 1 m/s greičiu . Sunkio pagreitis yra 10 m/ s , o vandens tankis – 1000 kg/m⁻³ ^. Koks yra vandens slėgis viršutiniame vamzdyje (II )?

Žinomas:

Apatinio vamzdžio spindulys (r₁) = 12 cm

Apatinio vamzdžio spindulys (r2 ₎ = 6 cm

Vandens slėgis apatiniame vamzdyje (p1 ₎ = 120 kPa = 120 000 paskalių

Vandens greitis apatiniame vamzdyje (v1 ₎ = 1 ^ms⁻¹

Apatinio vamzdžio aukštis (h1 ₎ = 0 m

Viršutinio vamzdžio aukštis (h2 ₎ = 2 m

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 ^ms⁻²

Vandens tankis = 1000 ^kg.m⁻³

Ieškoma: Vandens slėgis 2 vamzdyje (p ₂ )

sprendimas:

Vandens greitis 2 vamzdyje apskaičiuojamas pagal tęstinumo lygtį:

Vandens slėgis 2 vamzdyje apskaičiuojamas pagal Bernulio lygtį:

11. Didelis vamzdis yra 5 metrų aukštyje virš žemės ir mažas vamzdis 1 metro aukštyje virš žemės. Vandens greitis dideliame vamzdyje yra 36 km/h , o slėgis – 9.1 x 10⁻⁶ ^Pa , o slėgis mažame vamzdyje yra 2.10⁶ ^Pa . Koks yra vandens greitis mažame vamzdyje ? Vandens tankis = 10⁶ ^kg / ^m⁻³

Žinomas:

Vandens slėgis dideliame vamzdyje (p₁) = 9.1 x 10⁵ Paskalis = 910 000 Paskalių

Vandens slėgis mažame vamzdyje (p² ₎ = 2 x 10⁻⁶ ^paskalių = 200 000 paskalių

Vandens greitis dideliame vamzdyje (v1 ₎ = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 = 10 m/s

Didelio vamzdžio aukštis (h1 ₎ = -4 metrai

Mažo vamzdžio aukštis (h2 ₎ = 0 metrų

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 ^ms⁻²

Vandens tankis = 1000 kg/ ^m³

Ieškoma: vandens greičio mažame vamzdyje ( _v2 )

sprendimas:

Vandens greitis mažame vamzdyje (v2 ₎ apskaičiuojamas pagal Bernulio lygtį:

12. 15 cm spindulio vamzdis sujungtas su kitu 5 cm spindulio vamzdžiu . Abu vamzdžiai yra horizontalioje padėtyje. Vandens tekėjimo greitis dideliame vamzdyje yra 1 m/s , o slėgis – 10⁻⁶ N/m⁻². ^Koks yra vandens ^slėgis mažame vamzdyje ( 1 g cm⁻³ ⁾?

Žinomas:

Didelio vamzdžio spindulys (r1 ₎ = 15 cm = 0.15 m

Mažo vamzdžio spindulys (r2 ₎ = 5 cm = 0.05 m

Vandens slėgis dideliame vamzdyje (p1 ₎ = 105 ^N m⁻² ⁼ 100 000 N ^m⁻²

Vandens greitis dideliame vamzdyje (v1 ₎ = 1 ^ms⁻¹

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 ^ms⁻²

Vandens tankis = 1 g cm⁻³ ⁼ 1000 kg ^m⁻³

Aukščio skirtumas (Δh) = 0.

Ieškoma: Slėgis mažame vamzdyje (p ₂ )

sprendimas:

Vandens greitis 2 vamzdyje apskaičiuojamas pagal tęstinumo lygtį:

Vandens slėgis mažame vamzdyje (p2 ₎ apskaičiuojamas pagal Bernulio lygtį:

1. Kas yra skysčių dinamika?
   • Atsakymas: Skysčių dinamika yra fizikos šaka, tirianti skysčių (skysčių ir dujų) judėjimą ir juos veikiančias jėgas. Ji apima principus ir lygtis, apibūdinančias, kaip skysčiai teka, sąveikauja su kietomis kūnų ribomis ir veikia vienas kitą.
2. Kuo skiriasi laminarinis ir turbulentinis srautas?
   • Atsakymas: Laminariniam srautui būdingi lygūs, lygiagretūs skysčio sluoksniai, judantys tvarkingais keliais. Turbulentinis srautas, kita vertus, yra chaotiškas, su sūkuriais, sūkuriais ir greitais svyravimais. Turbulencija paprastai atsiranda esant dideliam greičiui arba netaisyklingos formos kanaluose.
3. Kuo klampumo sąvoka svarbi skysčių dinamikoje?
   • Atsakymas: Klampumas matuoja skysčio atsparumą šlyčiai arba tekėjimui. Didelio klampumo skysčiai (pvz., medus) labiau priešinasi tekėjimui nei mažo klampumo skysčiai (pvz., vanduo). Skysčių dinamikoje klampumas vaidina lemiamą vaidmenį nustatant skysčio tekėjimo pobūdį, energijos išsklaidymą ir pasipriešinimo jėgas.
4. Kas yra Bernulio principas?
   • Atsakymas: Bernulio principas teigia, kad esant pastoviam srautui, slėgio energijos, kinetinės energijos ir potencialinės energijos suma tūrio vienetui išlieka pastovi. Tiksliau, kai skysčio greitis yra didelis, slėgis yra mažas ir atvirkščiai.
5. Kaip aerodinamikos kėlimo principas susijęs su skysčių dinamika?
   • Atsakymas: Keliamoji jėga orlaivio sparne gali būti paaiškinta naudojant Bernulio principą ir trečiąjį Niutono dėsnį. Orui tekant virš sparno, jis juda greičiau per išlenktą viršutinį paviršių nei per apatinį, sukurdamas slėgio skirtumą. Šis slėgio skirtumas kartu su sparno nukreiptu oro srautu žemyn sukuria aukštyn kylančią jėgą arba keliamąją jėgą.
6. Kokia yra skysčių dinamikos tęstinumo lygtis?
   • Atsakymas: Tolydumo lygtis teigia, kad srauto skerspjūvio ploto (A) ir jo greičio (v) sandauga išilgai srovės, esant pastoviam srautui, išlieka pastovi. Matematiškai, A₁​v_1​=A₂​v₂​, Kur A_1​ bei A₂​ yra skerspjūvio plotai ir v₁​ bei v_2​ yra greičiai dviejuose srauto taškuose.
7. Kokį vaidmenį Reinoldso skaičius vaidina skysčių dinamikoje?
   • Atsakymas: Reinoldso skaičius yra bematis dydis, padedantis numatyti tekėjimo režimą (laminarinį, pereinamąjį ar turbulencinį) skysčių dinamikoje. Jis apibrėžiamas kaip inercinių jėgų ir klampiųjų jėgų santykis ir priklauso nuo tokių veiksnių kaip skysčio greitis, būdingas ilgis ir skysčio savybės.
8. Kaip tempimo jėga veikia objektus, judančius skystyje?
   • Atsakymas: Tempimo jėga priešinasi objekto judėjimui skystyje. Ji atsiranda dėl skysčio klampumo pasipriešinimo ir slėgio skirtumų aplink objektą. Tempimo jėga ir pobūdis priklauso nuo tokių veiksnių kaip objekto forma, šiurkštumas, greitis ir skysčio savybės.
9. Kas yra Venturi efektas?
   • Atsakymas: Venturi efektas reiškia skysčio slėgio sumažėjimą, atsirandantį skysčiui tekant per susiaurintą vamzdžio dalį. Didėjant skysčio greičiui susiaurintoje dalyje (dėl masės tvermės dėsnio), jo slėgis mažėja pagal Bernulio principą.
10. Kodėl skystis, tekėdamas siauru vamzdžio ar kanalo ruožu, pagreitėja?

• Atsakymas: Šį elgesį galima paaiškinti masės tvermės principu. Esant pastoviam srautui, į vamzdžio atkarpą įeinančio skysčio tūris turi būti lygus išeinančio tūriui. Jei vamzdis siauras, skysčio greitis turi padidėti, kad per tam tikrą laiką pro jį praeitų toks pat tūris.