Torricelli teorema – uždaviniai ir sprendimai

Torricelli teorema – uždaviniai ir sprendimai

1. 100 cm aukščio vamzdis, pripildytas vandens. Skylė Q yra 10 cm aukštyje virš žemės. Koks yra horizontalus atstumas (x)?

Žinomas:

Atstumas tarp duobės ir vandens paviršiaus (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Pagreitis dėl gravitacijos (g) = 10 m/s²

Ieškoma: Atstumas x

sprendimas:

Vandens tekėjimo greitis skylėje

v= greitis, g = pagreitis dėl gravitacijos, h = atstumas tarp skylės ir vandens paviršiaus

Vandens tekėjimo greitis šulinyje:

Laikas ore

Vandens judėjimas iš duobės į žemę yra sviedinio judėjimasSviedinio judėjimą galima suprasti atskirai analizuojant horizontaliąją ir vertikaliąją judėjimo dedamąsias. X judėjimas vyksta pastoviu greičiu, o y judėjimas – pastoviu gravitacijos pagreičiu.

Šioje problemoje vertikalus judesys analizuojamas kaip laisvo kritimo judėjimas.

Apskaičiuokite laiką ore, naudodami lygtį laisvo kritimo judesys.

Žinomas:

Skylės aukštis (y) = 10 cm = 0.1 m

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/s²

Ieškoma: Laiko intervalas (t)

sprendimas:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 tonos²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 sekundės

Horizontalus atstumas (x):

Žinomas:

Pradinis greitis (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Laikas ore (t) = √0.02 sekundės

Ieškoma: Horizontalus atstumas (x)

sprendimas:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 metro

2. Vandens talpykla, kurios aukštis yra 1 metras. Taške P yra skylė. Koks vandens tekėjimo greitis per šią skylę? Sunkio pagreitis yra 10 m/s.².

Žinomas:

Atstumas tarp duobės ir vandens paviršiaus (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/s²

Ieškoma: Vandens tekėjimo greitis skylėje (v)

sprendimas:

Vandens tekėjimo greitis šulinyje:

3. Didelise vonia yra vandens ir čiaupas, kaip parodyta paveikslėlyje apačioje. Jei g = 10 ms^-2, tada vandens greitis iš čiaupo yra…

Žinomas:

Aukštis (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 metro

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/s²

Ieškoma: Vandens greitis (v)

sprendimas:

TOrricelli teorema teigia, kad vandens greitis per skylę, esančią h atstumu nuo vandens paviršiaus, yra lygus greitis laisvas kritimasmas vanduo iš h aukščio.

Vandens greitis apskaičiuojamas pagal laisvo kritimo judėjimo formulęa v_t² = 2 g/kv.

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A vonia pripildyta vandens, o sienoje yra skylė (žr. paveikslėlis apačioje). Iš skylės tekančio vandens greitis yra… (g = 10 ms^-2)

Žinomas:

Aukštis (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 metro

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/s²

Ieškoma: Svandens greitis (V)

sprendimas:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. Talpykla, kurioje yra 1 metro aukščio vanduo (g = 10 ms^-2) ir sienoje yra nuotėkio anga (žr. paveikslėlis apačioje). Iš skylės tekančio vandens greitis yra...

Žinomas:

Aukštis (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 metro

Gravitacijos pagreitis (g) = 10 m/s²

Ieškoma: Svandens greitis (V)

sprendimas:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Ką apibūdina Torricelli teorema?
   • Atsakymas: Torricelli teorema susieja iš angos tekančio skysčio greitį su skysčio stulpelio aukščiu virš angos, darant prielaidą, kad srautas yra pastovus, neklampus (be klampumo) ir nesuspaudžiamas.
2. Kaip matematiškai išreiškiama Torricelli teorema?
   • Atsakymas: Teorema išreiškiama kaip v=√2gh​, Kur $v$ yra ištekėjimo greitis, $g$ yra gravitacijos pagreitis, ir $h$ yra skysčio stulpelio aukštis virš angos.
3. Kokiomis prielaidomis remiantis buvo išvesta Torricelli teorema?
   • Atsakymas: Teorema daro prielaidą, kad skystis yra nesuspaudžiamas ir neklampus, srautas yra pastovus ir prie skysčio nepridedama ar iš jo neatimama jokia papildoma energija.
4. Jei talpykloje yra dvi skirtinguose gyliuose esančios skylės, kaip palygins iš skylių kylančių skysčių greičiai?
   • Atsakymas: Iš arčiau pagrindo esančios skylės tekantis skystis turės didesnį greitį nei iš aukštesnės skylės tekantis skystis. Taip yra todėl, kad gilesniuose gyliuose slėgis (taigi ir potencialinė energija) yra didesnis.
5. Kodėl ištekėjimo greitis nepriklauso nuo indo formos ar skerspjūvio ploto?
   • Atsakymas: Torricelli teorema atsižvelgia tik į potencialinę energiją, atsirandančią dėl skysčio stulpelio aukščio virš angos. Talpyklos forma šio aukščio nekeičia, todėl ištekėjimo greitis išlieka tas pats.
6. Kuo realaus pasaulio situacijose iš angos tekančio skysčio tikrasis greitis skiriasi nuo Torricelli teoremos prognozės?
   • Atsakymas: Realiose situacijose tokie veiksniai kaip skysčio klampumas, turbulencija ir angos forma gali turėti įtakos faktiniam greičiui, dažnai sumažindami jį iki mažesnio nei numato Torricelli teorema.
7. Koks yra ryšys tarp Torricelli teoremos ir energijos tvermės dėsnio?
   • Atsakymas: Torricelli teorema yra išvesta iš mechaninės energijos tvermės dėsnio. Ji prilygina potencialinę energiją skysčio paviršiuje kinetinei energijai ties anga.
8. Jei skysčiu pripildyto indo pačiame viršuje yra anga, kaip Torricelli teorema apibūdina ištekėjimo greitį?
   • Atsakymas: Aukštis $h$ virš angos būtų lygus nuliui, taigi pagal Torricelli teoremą ištekėjimo greitis būtų lygus nuliui.
9. Kaip atmosferos slėgio buvimas veikia Torricelli teoremos prognozes?
   • Atsakymas: Torricelli teorema daro prielaidą, kad indas yra atviras atmosferai, todėl atmosferos slėgis vienodai veikia visame skysčio paviršiuje. Šis slėgis panaikinamas, kai atsižvelgiama į slėgio skirtumą visame skysčio aukštyje, todėl teorema lieka galioti.
10. Kas nutinka su ištekėjimo greičiu, kai skysčio kiekis inde mažėja?

• Atsakymas: Mažėjant skysčio lygiui, aukštis $h$ virš angos mažėja. Pagal Torricelli teoremą, ištekėjimo greitis mažėtų, kai v=√2gh​.

Šie klausimai ir atsakymai nagrinėja Torricelli teoremos pagrindus, implikacijas ir taikymą skysčių dinamikoje.