គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃអថេរចៃដន្យ

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃអថេរចៃដន្យ

នៅក្នុងស្ថិតិ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ អថេរចៃដន្យគឺជាគោលគំនិតមួយក្នុងចំណោមគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានបំផុត ដែលភ្ជាប់គម្លាតរវាងព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ និងការវិភាគគណិតវិទ្យាដែលអាចវាស់វែងបាន។ តាមរយៈអថេរចៃដន្យ យើងអាច "បកប្រែ" លទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ចៃដន្យ ដែលដំបូងឡើយមានព្រឹត្តិការណ៍ ឬប្រភេទ ទៅជាលេខដែលអាចដំណើរការបាន៖ ការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកវា សង្ខេបវាដោយមធ្យមភាគ វាស់ស្ទង់ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយរបស់ពួកវា និងថែមទាំងធ្វើគំរូពួកវាដោយប្រើការចែកចាយជាក់លាក់។ អត្ថបទនេះពិភាក្សាអំពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃអថេរចៃដន្យ ប្រភេទរបស់វា និងគោលគំនិតសំខាន់ៗដូចជាអនុគមន៍ប្រូបាប៊ីលីតេ អនុគមន៍ចែកចាយកកកុញ តម្លៃរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នា។

១. តើអថេរចៃដន្យជាអ្វី?

និយាយឱ្យសាមញ្ញ អថេរចៃដន្យ គឺជាអនុគមន៍មួយដែលផ្គូផ្គងលទ្ធផលនីមួយៗពីលំហគំរូទៅចំនួនពិត។ លំហគំរូ គឺជាការប្រមូលផ្តុំនៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃការពិសោធន៍ចៃដន្យ។

ឧទាហរណ៍ ឧបមាថាយើងរមៀលគ្រាប់ឡុកឡាក់ដែលមានជ្រុងប្រាំមួយ។ លំហគំរូគឺ {1, 2, 3, 4, 5, 6}។ យើងអាចកំណត់អថេរចៃដន្យ \(X\) ជា "ចំនួនដែលលេចឡើងនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់"។ បន្ទាប់មក \(X\) អាចមានតម្លៃចាប់ពី 1 ដល់ 6 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេស្មើគ្នា ប្រសិនបើគ្រាប់ឡុកឡាក់មានទំហំស្មើ។

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ យើងបោះកាក់ពីរ។ លំហសំណាកគឺ {HH, HT, TH, TT}។ ប្រសិនបើយើងកំណត់អថេរចៃដន្យ \(Y\) ជា "ចំនួនក្បាល (H) ដែលលេចឡើង" នោះ៖
– HH → \(Y = 2\)
– HT → \(Y = 1\)
– TH → \(Y = 1\)
– TT → \(Y = 0\)

នៅទីនេះយើងឃើញថាអថេរចៃដន្យមិនចាំបាច់ "ឆ្លុះបញ្ចាំង" លទ្ធផលដើមដោយផ្ទាល់ទេ។ ពួកវាគឺជាមធ្យោបាយមួយដើម្បីកំណត់តម្លៃលេខទៅលទ្ធផលចៃដន្យតាមតម្រូវការនៃការវិភាគ។

2. ប្រភេទនៃអថេរចៃដន្យ៖ ដាច់ពីគ្នា និងបន្ត

ជាទូទៅ អថេរចៃដន្យត្រូវបានបែងចែកជាពីរប្រភេទសំខាន់ៗ៖

ក) អថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា
អថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា គឺជាអថេរចៃដន្យដែលតម្លៃរបស់វាអាចត្រូវបានរាប់ម្តងមួយ (អាចរាប់បាន) ជាធម្មតាក្នុងទម្រង់ជាចំនួនគត់ ឬសំណុំតម្លៃជាក់លាក់ដាច់ដោយឡែក។

ទំនាក់ទំនង៖
– ចំនួនកូនក្នុងគ្រួសារ (០, ១, ២, ៣, …)
- ចំនួនយានយន្តឆ្លងកាត់ប៉ុស្តិ៍បង់ប្រាក់ក្នុងរយៈពេល 1 នាទី
– ចំនួន​ទំនិញ​ដែល​មាន​បញ្ហា​ពី​ផលិតផល​ចំនួន 10 ដែល​បាន​ត្រួតពិនិត្យ

ចំពោះ​អថេរ​ចៃដន្យ​ដាច់​ពី​គ្នា ប្រូបាប៊ីលីតេ​នៃ​តម្លៃ​នីមួយៗ​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​ផ្ទាល់​ក្នុង​ទម្រង់​ជា​អនុគមន៍​ម៉ាស់​ប្រូបាប៊ីលីតេ។

ខ) អថេរចៃដន្យបន្ត
អថេរចៃដន្យបន្ត គឺជាអថេរចៃដន្យដែលអាចយកតម្លៃនៅលើចន្លោះពេលបន្តនៅលើបន្ទាត់ចំនួនពិត (មិនអាចរាប់បាន) ឧទាហរណ៍ តម្លៃទាំងអស់រវាង 0 និង 1 ឬតម្លៃពិតវិជ្ជមានទាំងអស់។

ទំនាក់ទំនង៖
- កម្ពស់មនុស្សម្នាក់
- ពេលវេលារង់ចាំរបស់អតិថិជននៅបញ្ជរ
- សីតុណ្ហភាពខ្យល់នៅម៉ោងជាក់លាក់មួយ

ចំពោះ​អថេរ​ចៃដន្យ​បន្ត​មួយ ប្រូបាប៊ីលីតេ​នៅ​ចំណុច​ណាមួយ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឲ្យ​គឺ​ជា​សូន្យ​ជា​មូលដ្ឋាន។ ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេ​ត្រូវ​បាន​គណនា​លើ​ជួរ​នៃ​តម្លៃ (ឧទាហរណ៍ រវាង 10 និង 12 នាទី) ដោយ​ប្រើ​អនុគមន៍​ដង់ស៊ីតេ​ប្រូបាប៊ីលីតេ។

៣. អនុគមន៍ប្រូបាប៊ីលីតេ៖ PMF និង PDF

គោលគំនិតសំខាន់បន្ទាប់គឺរបៀបដែលប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបាន "ភ្ជាប់" ទៅនឹងតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ។

ក) អនុគមន៍ម៉ាសប្រូបាប៊ីលីតេ (PMF)
ចំពោះអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា \(X\) PMF ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
\[
p(x) = P(X = x)
\]
ជាមួយនឹងការចែងអំពី៖
១. \(p(x) \ge 0\) សម្រាប់ \(x\) ទាំងអស់
២. \(\sum_x p(x) = 1\)

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ៖ គ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រឹមត្រូវ
\[
P(X=k)=\frac{1}{6}, k=1,2,3,4,5,6
\]

ខ) អនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ (PDF)
ចំពោះអថេរចៃដន្យបន្ត \(X\) យើងប្រើ PDF \(f(x)\) ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេលើចន្លោះពេល \([a,b]\) គឺ៖
\[
P(a \le X \le b) = \int_a^bf(x)\,dx
\]
ជាមួយនឹងការចែងអំពី៖
១. \(f(x) \ge 0\)
២. \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1\)

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថា៖ សម្រាប់អថេរចៃដន្យបន្ត \(P(X=x)=0\) សម្រាប់រាល់តម្លៃតែមួយនៃ \(x\)។ ប្រូបាប៊ីលីតេតែងតែមានអត្ថន័យនៅពេលពិភាក្សាអំពីជួរ។

៤. អនុគមន៍ចែកចាយកកកុញ (CDF)

មិនថាអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា ឬបន្តទេ អថេរចៃដន្យអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍ចែកចាយកកកុញ (CDF) ដែលត្រូវបានកំណត់ថា៖
\[
F(x) = P(X \le x)
\]

CDF មានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួន៖
– តម្លៃ​នៃ \(F(x)\) តែងតែ​ស្ថិត​នៅ​ចន្លោះ 0 និង 1
– \(F(x)\) មិនថយចុះ (មិនថយចុះ)
– \(\lim_{x\to\infty}F(x)=0\) និង \(\lim_{x\to\infty}F(x)=1\)

ចំពោះអថេរដាច់ពីគ្នា CDF មានរាង "ជណ្តើរ" (កើនឡើងនៅចំណុចជាក់លាក់)។ ចំពោះអថេរបន្ត CDF ជាទូទៅរលោង ហើយជាអាំងតេក្រាលនៃ PDF៖
\[
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt
\]

៥. រង្វាស់នៃទំនោរកណ្តាល៖ តម្លៃដែលរំពឹងទុក (ការរំពឹងទុក)

នៅពេលដែលយើងដឹងពីការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ ជារឿយៗយើងចង់សង្ខេបអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងលេខតែមួយដែលតំណាងឱ្យ "តម្លៃមធ្យមរយៈពេលវែង" របស់វា។ នេះគឺជាតម្លៃដែលរំពឹងទុក ឬការរំពឹងទុក។

ក) ការរំពឹងទុកអថេរដាច់ដោយឡែក
ប្រសិនបើ \(X\) ជា​ដាច់​ពី​គ្នា៖
\[
E[X] = \sum_x x\,p(x)
\]

ខ) ការរំពឹងទុកនៃអថេរបន្ត
ប្រសិនបើ \(X\) ជាបន្ត៖
\[
E[X] = \int_{-\infty} ^{-\infty} x\,f(x)\,dx
\]

ការរំពឹងទុកមិនតែងតែដូចគ្នានឹង "តម្លៃដែលកើតឡើងញឹកញាប់បំផុត" (របៀប) នោះទេ ហើយមិនមែនតែងតែជាតម្លៃដែលទំនងជាកើតឡើងពិតប្រាកដនោះទេ ប៉ុន្តែវាមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការសម្រេចចិត្ត ការព្យាករណ៍ និងការវិភាគហានិភ័យ។

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្ត៖ នៅក្នុងអាជីវកម្ម ការរំពឹងទុកអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាប្រាក់ចំណេញជាមធ្យមដែលរំពឹងទុកនៃយុទ្ធសាស្ត្រមួយ ដោយគិតគូរពីសេណារីយ៉ូផ្សេងៗ និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។

៦. រង្វាស់នៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ៖ ភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារ

អថេរចៃដន្យពីរអាចមានការរំពឹងទុកដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានកម្រិតនៃភាពមិនប្រាកដប្រជាខុសៗគ្នា។ ដូច្នេះ យើងត្រូវការរង្វាស់នៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ ពោលគឺភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារ។

ភាពខុសគ្នានៃ \(X\) ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
\[
វ៉ារ (X) = អ៊ី [(អ៊ី [អ៊ី [អ៊ី ]) ^ ២]
\]
គម្លាតស្តង់ដារគឺជាឫសការ៉េនៃភាពខុសគ្នា៖
\[
\sigma = \sqrt{Var(X)}
\]

រូបមន្តជាក់ស្តែងដែលត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់៖
\[
វ៉ារ(X) = E[X^2] – (E[X])^2
\]

ភាពខុសគ្នាកាន់តែធំ ការរីករាលដាលនៃតម្លៃ \(X\) ពីមធ្យមភាគកាន់តែធំ ដែលមានន័យថាភាពមិនប្រាកដប្រជាកាន់តែខ្ពស់។

៧. ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រើជាញឹកញាប់

នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង អថេរចៃដន្យជាច្រើនធ្វើតាមគំរូចែកចាយជាក់លាក់។ ការចែកចាយដ៏ពេញនិយមមួយចំនួនគឺ៖

– ប៊ែរនូលី៖ លទ្ធផលពីរ (ជោគជ័យ/បរាជ័យ) ឧទាហរណ៍ ពិត-មិនពិត រស់-ស្លាប់។
– ទ្វេធា៖ ចំនួន​នៃ​ភាពជោគជ័យ​ពី​ការសាកល្បង Bernoulli \(n\) ឧទាហរណ៍ ចំនួន​និស្សិត​ដែល​បាន​បញ្ចប់​ការសិក្សា​ពី 20 នាក់។
– ព័រសុង៖ ចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ក្នុងចន្លោះពេល/លំហ ឧទាហរណ៍ ចំនួនការហៅចូលក្នុងមួយនាទី។
– ឯកសណ្ឋានបន្ត៖ តម្លៃទាំងអស់នៅក្នុងចន្លោះពេលគឺទំនងជាស្មើគ្នា។
– ធម្មតា (ហ្គោសៀន)៖ បាតុភូតធម្មជាតិ និងសង្គមជាច្រើនខិតជិតការចែកចាយនេះ ដូចជាកម្ពស់ ឬកំហុសវាស់វែង។

ការជ្រើសរើសការចែកចាយត្រឹមត្រូវជួយឱ្យការធ្វើគំរូ និងការវិភាគកាន់តែត្រឹមត្រូវ។

៨. ហេតុអ្វីបានជាអថេរចៃដន្យមានសារៈសំខាន់?

អថេរចៃដន្យគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់៖
– ស្ថិតិ​សន្និដ្ឋាន៖ ការប៉ាន់ប្រមាណ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ចំនួនប្រជាជន​ដោយផ្អែកលើ​គំរូ
– ការធ្វើតេស្តសម្មតិកម្ម៖ ការសម្រេចចិត្តថាតើការអះអាងមួយត្រូវបានគាំទ្រដោយទិន្នន័យឬអត់
– ការរៀនដោយម៉ាស៊ីន៖ ការធ្វើគំរូនៃភាពមិនប្រាកដប្រជា និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការព្យាករណ៍
– ការគ្រប់គ្រងហានិភ័យ៖ ការវាស់វែងលទ្ធភាពនៃការខាតបង់ និងសេណារីយ៉ូធ្ងន់ធ្ងរ
– វិស្វកម្ម និងវិទ្យាសាស្ត្រ៖ ដំណើរការសញ្ញា ភាពជឿជាក់នៃប្រព័ន្ធ ទ្រឹស្តីជួរ

ជាមួយនឹងអថេរចៃដន្យ យើងមានភាសាគណិតវិទ្យាដើម្បីនិយាយអំពីភាពមិនប្រាកដប្រជាជាប្រព័ន្ធ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អថេរចៃដន្យ គឺជាគោលគំនិតស្នូលមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលគូសផែនទីលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ចៃដន្យទៅនឹងតម្លៃលេខ។ អថេរចៃដន្យអាចមានលក្ខណៈដាច់ពីគ្នា ឬបន្ត ហើយអថេរនីមួយៗមានវិធីផ្សេងៗគ្នាក្នុងការតំណាងឱ្យប្រូបាប៊ីលីតេតាមរយៈ PMF ឬ PDF។ លើសពីនេះ CDF ផ្តល់នូវវិធីទូទៅមួយដើម្បីមើលការប្រមូលផ្តុំនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ ដើម្បីសង្ខេបការចែកចាយ ការរំពឹងទុកត្រូវបានប្រើជារង្វាស់នៃទំនោរកណ្តាល និងភាពខុសគ្នា/គម្លាតស្តង់ដារជារង្វាស់នៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ។ ការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានទាំងនេះនឹងជួយសម្រួលដល់ការរៀនប្រធានបទកម្រិតខ្ពស់ជាងមុន ដូចជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ ការប៉ាន់ស្មានស្ថិតិ ការវិភាគតំរែតំរង់ និងការធ្វើគំរូហានិភ័យ និងការវិភាគទិន្នន័យទំនើប។

ប្រសិនបើអ្នកចង់បាន ខ្ញុំក៏អាចបន្ថែមសំណួរឧទាហរណ៍ និងការពិភាក្សារបស់ពួកវា (ដាច់ពីគ្នា និងបន្ត) ដើម្បីធ្វើឱ្យគោលគំនិតនៃអថេរចៃដន្យងាយស្រួលយល់ជាង។