Бернулли принципі және теңдеуі бойынша материал
Мотоциклді қатты жылдамдықпен жүргізгенде , киетін киімдеріміздің артқы жағы ісіп кетеді. Егер сіз әлі мотоцикл жүргізе алмасаңыз, мотоцикл жүргізетін ата-анаңызға немесе достарыңызға назар аударыңыз. Мотоцикл жылдам жүргенде, олардың киімдерінің артқы жағы әдетте ісіп кетеді. Кейде жел қатты соққанда, үйдің есігі өзінен-өзі жабылып қалуы мүмкін. Жел үйдің сыртында соғып тұрса да, есік үйдің ішінде болады.
Мұны Бернулли принципін қолдана отырып түсіндіруге болады. Даниэль Бернулли (1700–1782) жоғарыда айтылғандардың кейбірін түсіндіру үшін қолданылатын принципті ашты.
Бернулли принципі
Бернулли принципі бойынша сұйықтық ағынының жылдамдығы жоғары болған жерде сұйықтық қысымы да төмен болады. Керісінше, сұйықтық ағынының жылдамдығы төмен болса, қысым жоғары болады. Мотоцикл жылдам қозғалған кезде, денеңіздің алдындағы және жанындағы ауа жылдамдығы жоғары болады. Осылайша, ауа қысымы төмендейді. Денеңіздің артқы жағы денеңіздің алдыңғы бөлігімен жабылады, сондықтан денеңіздің артындағы ауа жылдамдығы жоғарыға өзгермейді (денеңіздің дәл артында). Нәтижесінде, денеңіздің артындағы ауа қысымы жоғарылайды. Денеңіздің артындағы ауа қысымында айырмашылық болғандықтан, денеңіздің артындағы ауа қысымы жоғары болған кезде, ауа көйлегіңізді артқа итеріп, оны артқы жағынан үрленгендей етіп көрсетеді.
Сыртта қатты жел соққанда өздігінен жабылатын есік туралы не деуге болады? Сыртқы ауа ішкі ауаға қарағанда жылдамырақ қозғалады. Нәтижесінде, сыртқы ауа қысымы ішкі ауа қысымынан төмен болады. Осы қысым айырмашылығына байланысты, ішіндегі ауа қысымы жоғары болған жерде есік сыртқа қарай итеріледі. Басқаша айтқанда, есік ауа қысымы жоғары жерден ауа қысымы төмен жерге ауысады.
Бернулли теңдеуі
Бұрын біз Бернулли принципі туралы білгенбіз. Бернулли бұл принципті сандық тұрғыдан да дамытты. Бернулли теңдеуін шығару үшін біз тұрақты, ламинарлы сұйықтық ағынын, сығылмайтындығын және төмен тұтқырлықты қабылдаймыз, оларды ескермеуге болады.
Үздіксіздік теңдеуін талқылауда біз сұйықтық ағынының жылдамдығы ағын түтігінің көлденең қимасының ауданына байланысты да өзгеруі мүмкін екенін білдік. Жоғарыда түсіндірілген Бернулли принципіне сүйене отырып, сұйықтық қысымы сұйықтық ағынының жылдамдығына байланысты да өзгеруі мүмкін. Сұйықтық қысымы сұйықтықтың биіктігіне байланысты да өзгеруі мүмкін. Қысым, ағын жылдамдығы және ағын биіктігі арасындағы байланысты Бернулли теңдеуінен алуға болады.
Бернулли теңдеуі өте маңызды, себебі оны ұшақтардың ұшуын, су электр станцияларын, құбыр жүйелерін және т.б. талдау үшін пайдалануға болады. Біз шығаратын Бернулли теңдеуін жалпы қолдану үшін, сұйықтықтың көлденең қимасы тең емес және биіктігі әртүрлі ағынды түтік арқылы ағатынын болжаймыз (төмендегі суретті қараңыз). Бернулли теңдеуін шығару үшін, ағынды түтік аймағындағы сұйықтыққа жұмыс және энергия теоремасын қолданамыз. Әрі қарай, сұйықтық мөлшерін және сұйықтықты жылжыту үшін жасалған жұмысты есептейміз.
Суреттегі ағын түтігінің күңгірт түсі сұйықтық ағынын, ал ақ түс сұйықтықтың жоқ екенін көрсетеді.
Көлденең қима ауданы 1-дегі (сол жақтағы) сұйықтық L 1 қашықтыққа ағады және көлденең қима 2-дегі (оң жақтағы) сұйықтықты L 2 қашықтыққа жылжытуға мәжбүр етеді . Оң жақтағы көлденең қима ауданы 2 кішірек болғандықтан, ағын түтігінің оң жағындағы сұйықтық ағынының жылдамдығы үлкенірек (үздіксіздік теңдеуін есте сақтаңыз). Бұл 2 көлденең қимасы (ағын түтігінің оң жағы) мен 1 көлденең қимасы (ағын түтігінің сол жағы) арасында қысым айырмашылығын тудырады - Бернулли принципін есте сақтаңыз. 1 көлденең қимасының сол жағындағы сұйықтық оң жақтағы сұйықтыққа P 1 қысым жасайды және келесі жұмысты орындайды:
Сонда W1 теңдеуін келесідей жазуға болады:
W 1 = p 1 A 1 L 1
2-ші көлденең қимада (ағынды түтіктің оң жағында) сұйықтыққа жасалатын жұмыс:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Теріс таңба қолданылған күштің қозғалыс бағытына қарама-қарсы екенін көрсетеді. Демек, сұйықтық 2-қиманың оң жағында жұмыс істейді. Сонымен қатар, ауырлық күші де сұйықтыққа әсер етеді. Жоғарыдағы жағдайда сұйықтықтың белгілі бір массасы 1-қимада L1 нүктесіне дейін 2-қимаға L2 нүктесіне дейін жылжытылады , мұндағы 1-қимадағы сұйықтық көлемі (A 1 L 1 ) = 2 -қимадағы сұйықтық көлемі (A 2 L 2 ). Ауырлық күшімен атқарылатын жұмыс:
W 3 = − мг (сағ 2 − сағ 1 )
W 3 = − мг/сағ 2 + мг/сағ 1 )
W 3 = мг/сағ 1 − мг/сағ 2
Теріс белгі сұйықтықтың ауырлық күшінің бағытына қарама-қарсы жоғары қарай ағып кетуіне байланысты. Осылайша, жоғарыдағы суретте көрсетілгендей, сұйықтыққа жасалатын жалпы жұмыс:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + мг/сағ 1 ‐ мг/сағ 2
Жұмыс-энергия теоремасы жүйеде жасалған жалпы жұмыс оның кинетикалық энергиясының өзгеруіне тең екенін айтады. Осылайша, жұмысты (W) кинетикалық энергияның өзгеруімен (EK 2 ‐ EK 1 ) алмастыра аламыз.
Жоғарыдағы теңдеуді келесідей қайта жаза аламыз:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + мг/сағ 1 ‐ мг/сағ 2
EK 2 - EK 1 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
1⁄2 мв 2 2 ‐ 1⁄2 мв 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + мг/сағ 1 ‐ мг/сағ 2
A1 көлденең қимасында L1 қашықтықта ағып жатқан сұйықтықтың массасы = L2 қашықтықта ағып жатқан сұйықтықтың массасы ( A2 қимасы ). Мысалы , m көлеміндегі сұйықтық массасы A1L1 және A2L2 , мұндағы A1L1 = A2L2 ( L2 L1 - ден ұзын ).
Енді жоғарыдағы теңдеудегі m-ді m = ρ AL-мен алмастырамыз немесе ауыстырамыз:
Бұл Бернулли теңдеуі. Біз Бернулли теңдеуін жұмыс-энергия принципіне сүйене отырып шығардық, сондықтан ол энергияның сақталу заңының бір түрі.
Ақпарат :
P = Қысым
ρ = Сұйықтықтың тығыздығы
v = Сұйықтық ағынының жылдамдығы
g = Гравитацияға байланысты үдеу
h = Ағын түтігінің/құбырының жер бетінен биіктігі
Жоғарыдағы Бернулли теңдеуінің сол және оң жақтары ағын түтігінің бойындағы кез келген екі нүктеге қатысты болуы мүмкін, сондықтан жоғарыдағы теңдеуді келесідей қайта жаза аламыз:
Бұл теңдеу теңдеудегі шамалардың жалпы қосындысы ағын түтігі бойынша бірдей мәнге ие екенін айтады.
Енді кейбір жағдайлар үшін Бернулли теңдеуін қарастырайық.
Тыныштықтағы сұйықтықтар үшін Бернулли теңдеуі
Бернулли теңдеуінің ерекше жағдайы тыныштықтағы сұйықтықтар үшін (статикалық сұйықтықтар). Сұйықтық тыныштықта болған кезде оның жылдамдығы болмайды. Осылайша, v 1 = v 2 = 0. Тыныштықтағы сұйықтық жағдайында Бернулли теңдеуін келесідей тұжырымдауға болады:
Егер h2 - h1 = h болса, онда бұл теңдеуді келесідей жазуға болады:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Бірдей биіктіктегі ағынды түтіктер немесе құбырлар үшін Бернулли теңдеуі
Егер ағынды түтіктің немесе құбырдың биіктігі бірдей болса, онда Бернулли теңдеуі келесідей өзгереді:
