Үздіксіздік теңдеуінің материалы
Краннан шығып жатқан су ағынын бақылай отырып, су шүмегін баяу ашып көріңіз. Кран айналмай қалғаннан кейін, шүмекті қолыңызбен жартылай жабыңыз. Енді қай су ағыны көп екенін салыстырыңыз. Жартылай бітелген немесе бітелген кезде? Егер сізде әдетте гүлдерді суару үшін қолданылатын шланг болса, ол арқылы су ағызыңыз. Шлангты қолыңызбен немесе саусағыңызбен жартылай жабыңыз. Шлангтың неғұрлым көп бөлігі бітелген болса, су соғұрлым тез ағады. Керісінше, егер шланг бітелген болмаса, су баяу ағады. Неліктен бұлай? Мұны түсіну үшін үздіксіздік теңдеуін зерттеңіз.
Ағынды сызықтар және ағынды түтіктер
Алдымен, ағынды сызықтар мен ағынды түтіктер ұғымдарын түсінейік. Бұл ұғым маңызды, себебі ол сізге үздіксіздік теңдеуін түсінуге көмектеседі.
Ағын желісі
Төмендегі суретке қараңыз, көк сызық - Streamline.
Тұрақты ағын кезінде әрбір сұйық бөлшектің жылдамдығы, мысалы, А нүктесіндегі, тұрақты болып қалады. Ол В нүктесінен өткен кезде сұйық бөлшектердің жылдамдығы өзгеруі мүмкін. Дегенмен, В нүктесіне жеткенде, артынан еретін сұйық бөлшектері олардан бұрынғы сұйық бөлшектермен бірдей жылдамдықпен ағып кете береді. С нүктесіне жеткенде де солай болады. Ағын сызығы - А, В және С нүктелерін қосатын қисық сызық.
Ағын түтігі
Негізінде, біз сұйықтық ағынының әрбір нүктесі арқылы әрбір ағынды жүргізе аламыз. Егер біз тұрақты сұйықтық ағынын қарастырсақ, елестетілген беттік аумақта (елестетілген беттік аумақ) белгілі бір бұрыш арқылы өтетін бірқатар ағындар ағын түтігін құрайды. Ешқандай сұйықтық бөлшектері бір-бірімен қиылыспайды, бірақ әрқашан параллель болады, ал ағын түтігі әрқашан бірдей пішінді құбырға ұқсайды. Түтіктің бір ұшынан кіретін сұйықтық түтіктен екінші ұшынан шығады.
Дебет
Разряд белгілі бір уақыт аралығында белгілі бір көлденең қима арқылы ағатын сұйықтықтың көлемін көрсетеді. Математикалық тұрғыдан оны келесідей өрнектеуге болады:
Түсініктірек түсіну үшін мысал келтірейік. Мысалы, сұйықтық құбыр арқылы ағып жатыр делік. Құбырлар әдетте цилиндрлік пішінді және белгілі бір көлденең қимасының ауданы болады. Құбырдың да ұзындығы бар.
Құбырдағы сұйықтық L-ге дейін ағып жатқанда, құбырдағы сұйықтық көлемі V = AL болады (V = сұйықтық көлемі, A = көлденең қима ауданы және L = құбыр ұзындығы). Құбырдағы ағын кезінде сұйықтық L бойымен белгілі бір уақыт аралығында қозғалатындықтан, сұйықтық шығынының шамасы келесідей деп айтуға болады:
Себебі v = s/t = L/t —> L = vt, жоғарыдағы теңдеу келесідей өзгереді:
Осылайша, сұйықтық белгілі бір уақыт аралығында белгілі бір көлденең қимасы мен ұзындығы бар құбыр арқылы ағып өткенде, сұйықтық шығынының шамасы (Q) көлденең қима бетінің ауданын (A) сұйықтық ағынының жылдамдығына (v) көбейтіндісіне тең болады.
Үздіксіздік теңдеуі
Төмендегі суретте көрсетілгендей, әртүрлі диаметрлі құбырдағы сұйықтық ағынын қарастырыңыз.
Бұл суретте сұйықтықтың солдан оңға қарай ағымы көрсетілген (сұйықтық үлкен диаметрлі құбырдан кіші диаметрлі құбырға ағады). Нүктелі сызықтар ағын сызықтары болып табылады.
Сурет тақырыбы: A 1 = үлкен диаметрлі құбыр бөлігінің көлденең қимасының ауданы, A 2 = кіші диаметрлі құбыр бөлігінің көлденең қимасының ауданы, v 1 = үлкен диаметрлі құбыр бөлігіндегі сұйықтық ағынының жылдамдығы, v 2 = кіші диаметрлі құбыр бөлігіндегі сұйықтық ағынының жылдамдығы, L = сұйықтық жүріп өткен қашықтық.
Сұйықтық динамикасына кіріспеде сұйықтық динамикасында сығылмайтын, көрінбейтін, турбулентті емес және тұрақты сұйықтық ағынын талқылайтынымыз түсіндірілді. Тұрақты ағында сұйықтық бөлшектерінің бір нүктедегі жылдамдығы сол нүктеден өтетін басқа сұйықтық бөлшектерінің жылдамдығымен бірдей. Сұйықтық ағындары да бір-бірімен қиылыспайды (ағын сызықтары параллель). Сондықтан құбырдың бір ұшына кіретін сұйықтықтың массасы екінші ұшынан шығатын сұйықтықтың массасына тең болуы керек. Егер белгілі бір массасы бар сұйықтық үлкен диаметрлі құбырға кірсе, онда сұйықтық құбырдан тұрақты массасы бар кіші диаметрмен шығады.
Енді жоғарыдағы құбырдың суретіне қараңыз. Құбырдың үлкен диаметрлі бөлігіне және кіші диаметрлі бөлігіне қараңыз.
Белгілі бір уақыт аралығында үлкен диаметрлі (A) құбыр кесіндісі арқылы белгілі бір мөлшерде сұйықтық ағады.1) L-ге дейін1 (L1 = v1 t). Ағып жатқан сұйықтық көлемі V1 = А.1 L1 = А.1 v1 т. Сол уақыт аралығында диаметрі кішірек (A) құбыр кесіндісі арқылы тағы бір сұйықтық мөлшері ағады.2) L-ге дейін2 (L2 = v2 t). Ағып жатқан сұйықтық көлемі V2 = А.2 L2 = А.2 v2 t.
Сығылмайтын сұйықтықтар үшін үздіксіздік теңдеуі (сығылмайтын)
Алдымен, сығылмайтын сұйықтық жағдайын қарастырайық. Сығылмайтын сұйықтықта сұйықтықтың тығыздығы немесе массасы ол өтетін әрбір нүктеде әрқашан бірдей болады. Белгілі бір уақыт аралығында көлденең қимасының ауданы A1 ( құбырдың үлкен диаметрі) бар құбырда ағатын сұйықтықтың массасы:
Сол сияқты, белгілі бір уақыт аралығында көлденең қимасы А2 (кіші құбыр диаметрі) бар құбырда ағатын сұйықтықтың массасы :
Тұрақты ағын кезінде кіретін сұйықтықтың массасы шығатын сұйықтықтың массасына тең екенін ескерсек, онда:
м 1 = м 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (сұйықтық тығыздығы мен уақыт аралығы бірдей, сондықтан олар жойылады)
A 1 v 1 = A 2 v 2
Сонымен, сығылмайтын сұйықтықтарда үздіксіздік теңдеуі қолданылады:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — 1-теңдеу
Ақпарат :
A 1 = көлденең қима ауданы 1, A 2 = көлденең қима ауданы 2, v 1 = көлденең қимадағы сұйықтық ағынының жылдамдығы 1, v 2 = көлденең қимадағы сұйықтық ағынының жылдамдығы 2, A v = көлемдік ағын жылдамдығы V/t, яғни разряд
1-теңдеу көлемдік ағын жылдамдығы, сондай-ақ разряд деп те аталады, құбыр немесе ағын түтігінің бойындағы әрбір нүктеде әрқашан бірдей екенін көрсетеді. Құбырдың көлденең қимасы азайған сайын сұйықтық ағынының жылдамдығы артады; керісінше, құбырдың көлденең қимасы артқан сайын сұйықтық ағынының жылдамдығы төмендейді.
Шүмекті жартылай жапқан кезде, су ағыны шүмекті жартылай жапқан кездегіге қарағанда жылдамырақ болады. Себебі шүмекті жартылай жапқан кезде шүмектін көлденең қимасының ауданы азаяды, бұл су ағынының жылдамдығын арттырады (сұйықтық жылдамырақ ағады). Шлангтарға да қатысты дәл осылай. Дегенмен, шүмекті жартылай жапқанына немесе жаппағанына қарамастан, ағынды судың барлық нүктелерінде ағынды судың немесе көлемдік ағынның жылдамдығы бірдей болып қалатынын ескеру маңызды. Сонымен, өзгеретін нәрсе - сұйықтық ағынының жылдамдығы.
Ал өзендегі су ағыны туралы не деуге болады? Өзеннің терең бөліктерінің көлденең қимасы таяз бөліктерге қарағанда үлкенірек, сондықтан терең бөліктердегі су ағынының жылдамдығы таяз бөліктерге қарағанда төмен. Егер сіз өте тыныш өзен ағынын көрсеңіз, бұл өзеннің терең екенін білдіреді. Бірақ егер өзен кенеттен жылдам ағып кетсе, онда бұл бөлік міндетті түрде таяз болады. Дегенмен, су көлемінің ағынының жылдамдығы өзеннің терең немесе тыныш бөліктерінде болсын, әрқашан бірдей болады.
Сығылатын сұйықтықтар үшін үздіксіздік теңдеуі (сығылатын)
Сығылатын сұйықтықтар жағдайында сұйықтықтың тығыздығы әрқашан бірдей бола бермейді. Басқаша айтқанда, сұйықтықтың тығыздығы сығылған кезде өзгереді. Сығылмайтын сұйықтықтарда сұйықтықтың тығыздығы теңдеуден алынып тасталса да , бұл жағдайда сұйықтықтың тығыздығы әлі де қосылады. Бұрын алынған теңдеуге сүйене отырып, сығылатын сұйықтықтар үшін теңдеуді шығарайық.
Тұрақты ағын кезінде кіретін сұйықтықтың массасы шығатын сұйықтықтың массасына тең екенін ескерсек, онда:
м 1 = м 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Сұйықтық ағынының уақыт аралығы бірдей, сондықтан оны жоюға болады. Теңдеу келесідей өзгереді:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → 2-теңдеу
Бұл сығылатын сұйықтықтың теңдеуі. Жалғыз айырмашылық сұйықтықтың тығыздығында. Сұйықтық сығылған кезде оның тығыздығы өзгереді. Керісінше, сұйықтық сығылмайтын кезде оның тығыздығы тұрақты болып қалады және жойылуы мүмкін.
1-мысал сұрақ:
Су диаметрі 10 см құбыр арқылы 2 м/с жылдамдықпен ағады. Су шығыны қандай?
Талқылау
Белгілі болғандай:
Құбыр диаметрі = 10 см (бұл құбырдың ішкі диаметрі)
Құбырдың радиусы (r) = 5 см = 0,05 м
v су = 2 м/с
Сұрақ қойылды: Дебет
Жауап:
Q = A v
Q = (πr2 ) (2 м/с)
Q = (3,14)(0,05 м) 2 (2 м/с)
Q = (3,14)(0,0025 м² ) (2 м/с)
Q = 0,0157 м 3 / с
2-мысал сұрақ:
Диаметрі 20 см су құбыры диаметрі 10 см басқа құбырға қосылған. Егер диаметрі 20 см құбырдағы су ағынының жылдамдығы 4 м/с болса, диаметрі 10 см құбырдағы су ағынының жылдамдығы қандай?
Талқылау
Белгілі болғандай:
Диаметрі 1 = 20 см (r 1 = 10 см = 0,1 м)
v 1 = 4 м/с
Диаметрі 2 = 10 см (r2 = 5 см = 0,05 м)
Сұрақ қойылды: v 1
Жауап:
1- сұрақ = 2- сұрақ
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 м/с) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 м) 2 (4 м/с) = (0,05 м) 2 (v 2 )
(0,01 м² ) (4 м/с) = (0,0025 м² ) ( v² )
(0,04 м 3 /с) = (0,0025 м 2 )(v 2 )
v 2 = 16 м/с
