Ինչպես հաշվարկել դիսպերսիան

Ինչպես հաշվարկել շեղումը. ամբողջական ուղեցույց

Վարիացիան հիմնարար վիճակագրություն է, որն օգտագործվում է տարբեր ոլորտներում՝ տնտեսագիտությունից և ճարտարագիտությունից մինչև հոգեբանություն և վիճակագրություն։ Այն տեղեկատվություն է տրամադրում այն ​​մասին, թե որքանով են տվյալների բազմության արժեքները տարածված միջինի շուրջ։ Այս հոդվածում մենք կուսումնասիրենք, թե ինչպես հաշվարկել վարիացիան խորությամբ՝ սահմանումից մինչև գործնական քայլեր։

Պենդահուլուան

Վարիացիան հասկանալու համար մենք պետք է հասկանանք վիճակագրության որոշ հիմնական հասկացություններ: Վարիացիան չափման միավոր է, որը ցույց է տալիս, թե որքանով են տվյալների բազմության արժեքները շեղվում միջինից: Վարիացիան հաշվարկվում է որպես յուրաքանչյուր արժեքի և միջինի միջև եղած տարբերությունների քառակուսային միջին: Վարիացիան ցույց է տալիս տվյալների «վարիացիայի» մասին տեղեկատվությունը:

Շեղման սահմանումը

Մաթեմատիկորեն, դիսպերսիան հետևյալն է.

\[ \text{Վարիանս} ( \sigma^2 ) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \]

Որտեղ՝

– \( \sigma^2 \)-ն բնակչության դիսպերսիան է։
– \( N \)-ն բազմության մեջ արժեքների ընդհանուր թիվն է։
– \(x_i \)-ն i-րդ անհատի արժեքն է։
– \( \mu \)-ն բնակչության միջինն է։

Նմուշների համար շեղման բանաձևը մի փոքր այլ է.

\[ \text{Նմուշի շեղում} (s^2) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]

Որտեղ՝

– \(s^2 \)-ն նմուշի դիսպերսիան է։
– \(n \)-ն նմուշում արժեքների ընդհանուր թիվն է։
– \(x_i \)-ն նմուշում i-րդ անհատի արժեքն է։
– \( \bar{x} \)-ն նմուշի միջինն է։

Քայլեր՝ դիսպերսիան հաշվարկելու համար

Եկեք վերանայենք դիսպերսիայի հաշվարկման գործնական քայլերը կոնկրետ օրինակի միջոցով։

Օրինակ՝ Բնակչության դիսպերսիայի հաշվարկ

Ենթադրենք, որ մենք ունենք փոքր տվյալների հավաքածու, որը բաղկացած է հետևյալ արժեքներից՝ 2, 4, 6, 8, 10:

1. Քայլ 1. Հաշվարկել միջինը (միջին)

\[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]

2. Քայլ 2. Հաշվարկեք յուրաքանչյուր արժեքի տարբերությունը միջինից և քառակուսիացրեք այն

\[
\begin{հավասարեցնել}
(2 – 6)^2 &= (-4)^2 = 16 \\
(4 – 6)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(6 – 6)^2 &= 0^2 = 0 \\
(8 – 6)^2 &= 2^2 = 4 \\
(10 – 6)^2 &= 4^2 = 16 \\
\end{հավասարեցնել}
\]

3. Քայլ 3. Գումարեք տարբերությունների բոլոր քառակուսիները

\[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]

4. Քայլ 4. Տարբերությունների քառակուսիների գումարը բաժանեք արժեքների քանակի (N) վրա

\[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]

Այսպիսով, այս տվյալների բնակչության դիսպերսիան 8 է։

Օրինակ՝ նմուշի շեղման հաշվարկ

Հիմա, ենթադրենք, որ վերը նշված տվյալների բազմությունից վերցնում ենք մի փոքր նմուշ՝ 2, 4, 6:

1. Քայլ 1. Հաշվարկել նմուշի միջին արժեքը

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]

2. Քայլ 2. Հաշվարկեք յուրաքանչյուր արժեքի տարբերությունը միջինից և քառակուսիացրեք այն

\[
\begin{հավասարեցնել}
(2 – 4)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(4 – 4)^2 &= 0^2 = 0 \\
(6 – 4)^2 &= 2^2 = 4 \\
\end{հավասարեցնել}
\]

3. Քայլ 3. Գումարեք տարբերությունների բոլոր քառակուսիները

\[ 4 + 0 + 4 = 8 \]

4. Քայլ 4. Տարբերությունների քառակուսիների գումարը բաժանեք (n – 1)-ի

\[ s^2 = \frac{8}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]

Այսպիսով, այս տվյալների նմուշային դիսպերսիան 4 է։

Բնակչության և նմուշի տատանումը

Կարևոր է հասկանալ բնակչության դիսպերսիայի և նմուշային դիսպերսիայի միջև եղած տարբերությունը։ Բնակչության դիսպերսիան չափում է տվյալների տարածումը ամբողջ բնակչության շրջանում, մինչդեռ նմուշային դիսպերսիան չափում է տարածումը բնակչության ենթաբազմության (նմուշի) ներսում։ Շատ դեպքերում նմուշային դիսպերսիան օգտագործվում է բնակչության դիսպերսիան գնահատելու համար։ Նմուշային դիսպերսիայի հաշվարկում \((n-1) \)-ի վրա բաժանելը նվազեցնում է բնակչության դիսպերսիայի գնահատման կողմնակալությունը։

Տարբերության կիրառում

Տարբերությունը կիրառվում է տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են՝

1. Ֆինանսական ռիսկի վերլուծություն. ֆինանսների մեջ շեղումը օգտագործվում է ռիսկը չափելու և ներդրումային պորտֆելները կառավարելու համար: Ավելի բարձր շեղումը նշանակում է ավելի ռիսկային ներդրում:

2. Հասարակական գիտություններ. Հոգեբանության կամ սոցիոլոգիայի հետազոտություններում դիսպերսիան օգտագործվում է բնակչության խմբերի միջև տարբերությունները չափելու համար:

3. Որակի վերահսկողություն. Արտադրության մեջ շեղումները օգտագործվում են արտադրանքի որակը վերահսկելու և վերահսկելու համար:

4. Փորձարարական վիճակագրություն. Օգտագործվում է փորձարարական արդյունքները վերլուծելու և տարբերությունների նշանակությունը որոշելու համար։

Վարիացիա և ստանդարտ շեղում

Վարիացիան հաճախ օգտագործվում է ստանդարտ շեղման հետ միասին, որը վարիացիայի քառակուսի արմատն է: Ստանդարտ շեղումը տարածման ավելի ուղղակի և հեշտությամբ մեկնաբանվող չափանիշ է, քան վարիացիան: Երկուսի միջև հավասարումը հետևյալն է.

Ստանդարտ շեղում (sigma) = փոփոխականություն (sigma^2)

Եզրակացություն

Վարիացիայի հաշվարկը վիճակագրական վերլուծության կարևորագույն մասն է, որը տրամադրում է տվյալների բազմության մեջ տարածման կամ ցրման չափանիշ: Հասկանալով հիմնական հասկացությունները և վարիացիայի հաշվարկման եղանակը՝ մենք կարող ենք ավելի լավ վերլուծել տվյալները, գնահատել ռիսկը և կայացնել ավելի տեղեկացված որոշումներ:

Անկախ նրանից՝ ավելի գիտական ​​վերլուծության համար օգտագործվում է բնակչության դիսպերսիա, թե տվյալների ենթաբազմությունից գնահատման համար՝ նմուշային դիսպերսիա, դիսպերսիայի խորը ըմբռնումը մեզ օգնում է հասկանալ տվյալների բազմազանությունը և կիրառել այն իրական աշխարհի բազմազան իրավիճակներում: Հուսով ենք, որ այս հոդվածը գործնական և օգտակար ուղեցույց է դիսպերսիան հասկանալու և հաշվարկելու համար: