Տվյալների բաշխման մեջ շեղման և ստանդարտ շեղման վերլուծություն

Տվյալների բաշխման մեջ շեղման և ստանդարտ շեղման վերլուծություն

Վիճակագրության մեջ տվյալների բաշխումը հասկանալը նույնքան կարևոր է, որքան կենտրոնական արժեքների, ինչպիսիք են միջինը կամ միջնարժեքը, հասկանալը: Երկու տվյալների բազմություններ կարող են ունենալ նույն միջինը, բայց դրանց բաշխումները շատ տարբեր են. մեկը կարող է սերտորեն կլաստերացված լինել միջինի շուրջ, մինչդեռ մյուսը կարող է լայնորեն տարածված լինել: Ահա թե որտեղ են գործի դրվում դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը. դրանք հիմնական չափանիշներ են, որոնք ցույց են տալիս, թե որքանով են տվյալները տարբերվում իրենց կենտրոնական արժեքից: Այս հոդվածը քննարկում է դրանց հասկացությունները, բանաձևերը, մեկնաբանությունները և տվյալների վերլուծության մեջ դրանց կիրառման օրինակները:

1. Ինչո՞ւ է տվյալների տարածումը կարևոր։

Տվյալների ցրվածությունը տեղեկատվություն է տրամադրում հետևողականության և ռիսկի մասին: Օրինակ՝ թեստերի միավորների համատեքստում A և B դասերի միջինը կարող է լինել 80: Այնուամենայնիվ, եթե A դասի միավորների տատանումը փոքր է, ուսանողների մեծամասնությունը նմանատիպ արդյունք է ցույց տալիս: Եվ հակառակը, եթե B դասի միավորների տատանումը մեծ է, հավանական է, որ որոշ ուսանողներ ունեն շատ բարձր միավորներ, իսկ մյուսները՝ շատ ցածր: Բիզնեսում վաճառքի տվյալների ցրվածությունը ցույց է տալիս եկամտի կայունությունը, իսկ ֆինանսներում՝ ներդրումային եկամտաբերության ցրվածությունը ցույց է տալիս ռիսկի մակարդակը:

Հասկանալով դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը, որոշում կայացնողները կարող են.
– Գնահատեք, թե արդյոք գործընթացը կայուն է, թե ոչ (օրինակ՝ գործարանային արտադրություն):
– Խմբերի միջև համապատասխանության համեմատություն (օրինակ՝ երկու ուսուցման մեթոդներ):
– Վերանայման արժանի արտառոց տվյալների բացահայտում։
– Կանխատեսումների և մոդելների անորոշության գնահատում։

2. Շեղման հիմնական հասկացությունը

Վարիացիան չափում է յուրաքանչյուր տվյալների բազմության միջինից միջին քառակուսային շեղումը։ Շեղումը տվյալների արժեքների և միջին արժեքի միջև տարբերությունն է։ Եթե շատ արժեքներ հեռու են միջին արժեքից, վարիացիան մեծ կլինի։ Եթե արժեքները մոտ են միջին արժեքին, վարիացիան փոքր կլինի։

Ենթադրենք, որ կան տվյալներ՝ \(x_1, x_2, …, x_n\)՝ \(\bar{x}\ միջինով։ Յուրաքանչյուր տվյալի շեղումը \(x_i – \bar{x}\) է։ Սակայն, եթե շեղումները ուղղակիորեն գումարվեն, արդյունքը միշտ զրո է, քանի որ կան դրական և բացասական շեղումներ, որոնք չեզոքացնում են միմյանց։ Սա հաղթահարելու համար շեղումները քառակուսի են բարձրացվում, որպեսզի դրանք բոլորը դրական լինեն։ Այստեղ է, որ ծնվում է դիսպերսիան։

ա) Բնակչության շեղում
Եթե ​​տվյալները համարվում են ամբողջ բնակչությանը ներկայացնող, ապա բնակչության դիսպերսիան գրվում է հետևյալ կերպ՝
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Որտեղ՝
– \(N\)-ը բնակչության տվյալների քանակն է,
– \(\mu\)-ն բնակչության միջինն է,
– \(\sigma^2\)-ն պոպուլյացիայի դիսպերսիան է։

բ) Նմուշի շեղում
Եթե ​​տվյալները ավելի մեծ բնակչության նմուշ են, ապա օգտագործվում է նմուշի դիսպերսիան՝
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n-1}
\]
Բաժանարարը \(n-1\) կոչվում է Բեսելի ուղղում և օգտագործվում է ապահովելու համար, որ բնակչության համար դիսպերսիայի գնահատականը անաչառ լինի: Ըստ էության, քանի որ ընտրանքի միջինը հաշվարկվում է հենց տվյալներից, կա «ազատության աստիճանների կորուստ», ուստի բաժանարարը համապատասխանաբար ճշգրտվում է:

3. Ստանդարտ շեղում. Փոփոխության արմատը

Վարիացիան ունի մեկ գործնական թերություն. դրա միավորները տվյալների միավորների քառակուսին են։ Եթե տվյալները «ռուփիով» են, ապա վարիացիան «ռուփի²»-ով է, ինչը դժվար է ուղղակիորեն մեկնաբանել։ Հետևաբար, մենք օգտագործում ենք ստանդարտ շեղումը, որը վարիացիայի քառակուսի արմատն է։

ա) Բնակչության ստանդարտ շեղում
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]

բ) Նմուշի ստանդարտ շեղում
\[
s = \sqrt{s^2}
\]

Ստանդարտ շեղումը նույն միավորներն ունի, ինչ սկզբնական տվյալները, ինչը այն ավելի հեշտ է հասկանալ։ Բարձր ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս ավելի տարածված տվյալներ, իսկ ցածր ստանդարտ շեղումը ցույց է տալիս ավելի խիտ տվյալների հավաքածու։

4. Պարզ հաշվարկի օրինակ

Օրինակ՝ թեստի միավորների տվյալները՝ 70, 75, 80, 85, 90:

1) Հաշվարկեք միջինը։
\[
\bar{x} = \frac{70+75+80+85+90}{5} = 80
\]

2) Հաշվարկեք յուրաքանչյուր արժեքի շեղումը միջինից։
– 70: \(70-80=-10\)
– 75: \(75-80=-5\)
– 80: \(80-80=0\)
– 85: \(85-80=5\)
– 90: \(90-80=10\)

3) Քառակուսի հաշվարկեք շեղումը.
– 100, 25, 0, 25, 100

4) Գումարել՝
\[
\sum (x_i-\bar{x})^2 = 250
\]

5) Նմուշի շեղում.
\[
s^2 = \frac{250}{5-1} = 62.5
\]

6) Նմուշի ստանդարտ շեղում.
\[
s = \sqrt{62.5} \approx 7.91
\]

Մեկնաբանություն՝ միջին միավորը 80 է, և «սովորաբար» միավորները շեղվում են միջինից մոտ 7-8 միավորով։

5. Շեղման և ստանդարտ շեղման մեկնաբանություն

Վարիացիան և ստանդարտ շեղումը պարզապես թվեր չեն. դրանք պետք է մեկնաբանվեն համատեքստում։

– Փոքր ստանդարտ շեղում. բարձր հետևողականություն: Օրինակ՝ արտադրանքի չափի շատ փոքր ստանդարտ շեղումով արտադրական գործընթացը ցույց է տալիս կայուն որակ:
– Մեծ ստանդարտ շեղում. բարձր տատանում։ Ներդրումներում եկամտաբերության բարձր ստանդարտ շեղումը նշանակում է բարձր անկայունություն (ավելի բարձր ռիսկ)։
– Խմբերի միջև համեմատություն. եթե երկու խմբերն ունեն նույն միջինը, բայց տարբեր ստանդարտ շեղումներ, ապա ավելի փոքր շեղում ունեցող խումբն ավելի միատարր է։

Այնուամենայնիվ, կարևոր է հիշել, որ ստանդարտ շեղումը զգայուն է արտառոց արժեքների նկատմամբ: Մեկ ծայրահեղ արժեքը կարող է զգալիորեն մեծացնել դիսպերսիան և ստանդարտ շեղումը: Հետևաբար, բաշխման վերլուծությունը հաճախ լրացվում է վիզուալիզացիաներով (հիստոգրամներ, տուփային գրաֆիկներ) կամ հուսալի չափանիշներով, ինչպիսիք են միջքառորդային տիրույթը (IQR):

6. Նորմալ բաշխման և էմպիրիկ կանոնների հետ կապը

Նորմալ բաշխման մեջ (զանգակային կոր) ստանդարտ շեղումն ունի շատ ուժեղ նշանակություն։ Կա մի էմպիրիկ կանոն, որը հաճախ օգտագործվում է.
– Տվյալների մոտ 68%-ը գտնվում է \(\bar{x} \pm 1s\) միջակայքում։
– Տվյալների մոտ 95%-ը գտնվում է \(\bar{x} \pm 2s\) միջակայքում։
– Տվյալների մոտ 99,7%-ը գտնվում է \(\bar{x} \pm 3s\) միջակայքում։

Այս կանոնը օգնում է արագ մեկնաբանություններ անել, օրինակ՝ գնահատել, թե արդյոք արժեքը «անբնական» է, թե դեռ գտնվում է ընդհանուր միջակայքում։

7. Կիրառություններ տարբեր ոլորտներում

1) Կրթություն. Ուսանողների գնահատականների բաշխման մոնիթորինգ: Փոքր շեղումները վկայում են ուսումնառության արդար արդյունքների մասին, մինչդեռ մեծ շեղումները կարող են վկայել ըմբռնման բացերի մասին:
2) Արդյունաբերություն. որակի վերահսկողություն: Շեղումը կիրառվում է արտադրության հետևողականությունը գնահատելու համար:
3) Ֆինանսներ. չափում է բաժնետոմսերի գների անկայունությունը, պորտֆելի եկամտաբերությունը և ներդրումային ռիսկը։
4) Առողջություն. հիվանդների խմբի մոտ արյան ճնշման, շաքարի մակարդակի կամ այլ կլինիկական ցուցանիշների տատանումների դիտարկում:
5) Սոցիալական հետազոտություն. հարցման պատասխանների տարասեռության և հարցվածների բնութագրերի բազմազանության գնահատում։

8. Հաճախակի սխալներ և գործնական խորհուրդներ

Որոշ տարածված սխալներ.
– Օգտագործելով նմուշի դիսպերսիան (բաժանարար \(n-1\)), նույնիսկ եթե տվյալները ամբողջական բազմությունն են, կամ հակառակը։
– Մեկնաբանեք դիսպերսիան՝ առանց դրա քառակուսի միավորները հաշվի առնելու։ Ավելի անվտանգ է մեկնաբանության համար օգտագործել ստանդարտ շեղումը։
– Անտեսեք արտառոց ցուցանիշները. լավագույնն է նախ ստուգել տվյալները։
– Համեմատեք տարբեր սանդղակներով տվյալների միջև ստանդարտ շեղումները առանց նորմալացման։ Որոշ դեպքերում ավելի արդար համեմատության համար օգտագործեք վարիացիայի գործակիցը (CV), այսինքն՝ \(CV = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%\):

Penutup

Վարիացիան և ստանդարտ շեղումը տվյալների բաշխումը հասկանալու հիմնարար գործիքներ են: Վարիացիան ապահովում է ամուր մաթեմատիկական հիմք, մինչդեռ ստանդարտ շեղումը տրամադրում է չափանիշ, որն ավելի հեշտ է մեկնաբանել, քանի որ այն նման է սկզբնական տվյալներին: Այս երկու չափանիշներն օգտագործելով՝ մենք կարող ենք ավելի հստակ գնահատել տվյալների բազմությունների միջև բաշխման բնութագրերի համապատասխանությունը, ռիսկը և տարբերությունները: Տվյալների վերլուծության պրակտիկայում վարիացիան և ստանդարտ շեղումը լավագույնս օգտագործվում են կենտրոնական միտման և վիզուալիզացիայի չափանիշների հետ համատեղ՝ տվյալների ամբողջական պատկերը ստանալու և ավելի տեղեկացված որոշումներ կայացնելու համար:

Եթե ​​ցանկանում եք, կարող եմ ավելացնել ավելի բարդ հաշվարկման օրինակներ (օրինակ՝ խմբավորված տվյալներ) կամ բացատրել ստանդարտ շեղման կապը z-միավորի և արտառոց արժեքների հայտնաբերման հետ։