भौतिक विज्ञान

1. एक फुटबॉल को किक मारकर जमीन से ऊपर उठाने पर उसका प्रारंभिक वेग क्षैतिज से θ = 30 ^{° के कोण पर 14 मीटर/सेकंड होता है। जमीन पर गिरने से पहले गेंद का अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।}

ज्ञात :

कोण ( θ ) = 30 ^°

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 14 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

गेंद के जमीन पर गिरने से पहले का अंतिम वेग ज्ञात करना है।

समाधान:

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक:

v _ox = v _o cos θ = (14 m/s)(cos 30 ^o ) = (14 m/s)(0.5 √ 3 ) = 7 √ 3 m/s

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (14 मी/से)(sin 30 ^o ) = (14 मी/से)(0.5) = 7 मी/से

ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग

ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 7 m/s (धनात्मक दिशा में ऊपर की ओर)

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = – 10 m/s² ⁽ ऋणात्मक नीचे की ओर)

ऊंचाई (h) = 0 (वस्तु अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है)

वांछित : अंतिम वेग (v _t )

समाधान:

v _t ² = v _o ² + 2 gh = 7 ² + 2(-10)(0) = 49 – 0 = 49

v _t = √49 = 7 m/s

क्षैतिज दिशा में अंतिम वेग

क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक वेग 7 √ 3 मीटर/सेकंड है। वेग स्थिर है, इसलिए अंतिम वेग प्रारंभिक वेग के बराबर है।

जमीन पर गिरने से पहले वस्तु का अंतिम वेग

2. एक वस्तु को 5 मीटर ऊँची इमारत से क्षैतिज से 30 ^° के कोण पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है । इसका प्रारंभिक वेग 10 मीटर/सेकंड है। जमीन पर गिरने से पहले वस्तु का अंतिम वेग ज्ञात कीजिए! गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 मीटर/ ^{सेकंड²} है ।

ज्ञात :

कोण ( θ ) = 30 ^°

प्रारंभिक ऊँचाई (h _o ) = 5 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 10 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

आवश्यकता: अंतिम वेग

समाधान:

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक:

v _ox = v _o cos θ = (10 m/s)(cos 30 ^o ) = (10 m/s)(0.5 √ 3 ) = 5 √ 3 m/s

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (10 मी/से)(sin 30 ^o ) = (10 मी/से)(0.5) = 5 मी/से

ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 5 m/s (धनात्मक दिशा में ऊपर की ओर)

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = – 10 m/s² ⁽ ऋणात्मक नीचे की ओर)

ऊंचाई (h) = -5 मीटर ( ऋणात्मक क्योंकि जमीन प्रारंभिक ऊंचाई से नीचे है)

वांछित : अंतिम वेग (v _t )

समाधान:

v _t ² = v _o ² + 2 gh = 5 ² + 2(-10)(-5) = 25 + 100 = 125

v _t = √125 m/s

क्षैतिज दिशा में अंतिम वेग

क्षैतिज दिशा में अंतिम वेग 5 √3 मीटर/सेकंड है।

अंतिम वेग

3. एक छोटी गेंद को 12 मीटर ऊँची इमारत से प्रारंभिक वेग v₀ = 8 मीटर/सेकंड से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। जमीन पर गिरने से पहले गेंद का अंतिम वेग ज्ञात कीजिए _! गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² है ^।

ज्ञात :

ऊँचाई (h) = 12 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 8 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वांछित : अंतिम वेग (v _t )

समाधान:

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक:

v _ox = v _o = 8 m/s

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = 0 m/s

ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग

समीकरण का उपयोग करके गणना की गई मुक्त पतन गति.

ज्ञात :

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ऊँचाई (h) = 12 मीटर

वांछित : अंतिम वेग (v _t )

समाधान:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(12) = 240

v _t = √240 m/s

क्षैतिज दिशा में अंतिम वेग

क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक वेग 8 मीटर/सेकंड है। वेग स्थिर है, इसलिए प्रारंभिक वेग अंतिम वेग के बराबर है। अतः क्षैतिज दिशा में अंतिम वेग 8 मीटर/सेकंड है।

अंतिम वेग

[wpdm_package id = '534 pack]

[wpdm_package id = '536 pack]

1. प्रारंभिक वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करें
2. क्षैतिज विस्थापन ज्ञात कीजिए।
3. अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करें
4. समय अंतराल निर्धारित करें
5. वस्तु की स्थिति निर्धारित करें
6. अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।

अधिक पढ़ें

प्रक्षेप्य गति से संबंधित समस्याओं का समाधान किया – किसी वस्तु की स्थिति का निर्धारण किया

1. एक वस्तु को क्षैतिज से 60 ^° के कोण पर 12 m/s के प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। 1 सेकंड की गति के बाद वस्तु की स्थिति ज्ञात कीजिए! गुरुत्वाकर्षण का त्वरण 10 m/s² ^है ।

ज्ञात :

कोण ( θ ) = 60 ^°

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 12 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 1 सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

1 सेकंड तक हिलने के बाद वस्तु की स्थिति चाहिए

समाधान:

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक:

v _ox = v _o cos θ = (12 m/s)(cos 60 ^o ) = (12 m/s)(0.5) = 6 m/s

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (12 m/s)(sin 60 ^o ) = (12 m/s)(0.5 √ 3 ) = 6 √ 3 m/s

क्षैतिज दिशा में वस्तु की स्थिति:

ज्ञात :

वेग का क्षैतिज घटक (v _x ) = 6 m/s

समय अंतराल (t) = 1 सेकंड

वांछित: क्षैतिज सीमा (x)

समाधान:

6 मीटर/सेकंड का मतलब है कि गेंद हर 1 सेकंड में 6 मीटर की दूरी तय करती है। 1 सेकंड चलने के बाद गेंद की दूरी 6 मीटर होती है। इसलिए क्षैतिज दिशा में गेंद की स्थिति 6 मीटर है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में वस्तु की स्थिति:

ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 6 √ 3 m/s (धनात्मक ऊपर की ओर)

समय अंतराल (t) = 1 सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ नीचे की ओर ऋणात्मक)

आवश्यकता: 1 सेकंड तक हिलने के बाद की ऊंचाई

समाधान:

h = v_o टी + 1/2 जीटी² = (6√3)(1) + 1/2 (-10)(1²) = 6√3 + (-5)(1) = 6√3 – 5 = 6(1.7) – 5 = 10.2 – 5 = 5.2 मीटर.

1 सेकंड तक हिलने के बाद वस्तु की स्थिति:

क्षैतिज विस्थापन (x) = 6 मीटर

ऊर्ध्वाधर विस्थापन (y) = 5.2 मीटर

[आईआरपी]

2. एक वस्तु को 20 मीटर ऊँची इमारत से क्षैतिज से 30 ^° के कोण पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है । इसका प्रारंभिक वेग 50 मीटर/सेकंड है। वस्तु के 1 सेकंड तक चलने के बाद ऊर्ध्वाधर विस्थापन की गणना कीजिए! गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² ^है ।

ज्ञात :

कोण ( θ ) = 30 ^°

प्रारंभिक ऊँचाई (h _o ) = 20 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 50 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 1 सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

आवश्यकता है: ऊँचाई (h)

समाधान:

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (50 m/s)(sin 30 ^o ) = (50 m/s)(0.5) = 25 m/s

ऊंचाई :

ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 25 मीटर/सेकंड (धनात्मक दिशा में ऊपर की ओर)

समय अंतराल (t) = 1 सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ ऋणात्मक नीचे की ओर)

आवश्यकता है: ऊँचाई (h)

समाधान:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2} = (25)(1) + 1/2 (-10)(1 ² ) = 25 + (-5)(1) = 25 – 5 = 20 मीटर.

एक सेकंड तक गति करने के बाद वस्तु की ऊंचाई उस स्थान से 20 मीटर ऊपर या जमीन से 40 मीटर ऊपर होगी जहां से उसे प्रक्षेपित किया गया था।

[आईआरपी]

3. एक छोटी गेंद को 10 मीटर ऊँची इमारत से 10 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग v₀ से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। 1 सेकंड की गति के बाद गेंद का विस्थापन ज्ञात कीजिए _! गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² है ^।

ज्ञात :

प्रारंभिक ऊँचाई (h) = 10 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 10 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 1 सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

1 सेकंड चलने के बाद गेंद की स्थिति चाहिए !

समाधान:

क्षैतिज विस्थापन:

ज्ञात :

वेग का क्षैतिज घटक (v _x ) = 10 m/s

समय अंतराल (t) = 1 सेकंड

वांछित: वस्तु की स्थिति

समाधान:

10 मीटर/सेकंड का मतलब है कि वस्तु हर 1 सेकंड में 10 मीटर की दूरी तय करती है। 1 सेकंड चलने के बाद विस्थापन 10 मीटर है। अतः क्षैतिज विस्थापन 10 मीटर है।

ऊर्ध्वाधर विस्थापन :

मुक्त पतन गति के रूप में गणना की जाती है ।

ज्ञात :

समय अंतराल (t) = 1 सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

1 सेकंड (घंटे) तक चलने के बाद की ऊँचाई ज्ञात करें।

समाधान:

h = 1/2 gt ^{​​​​2} = 1/2 (10)(1 ² ) = (5)(1) = 5 मीटर.

1 सेकंड के बाद, वस्तु 5 मीटर की दूरी तक गिरती है। जमीन से ऊंचाई = 10 मीटर – 5 मीटर = 5 मीटर।

1 सेकंड चलने के बाद वस्तु की स्थिति:

क्षैतिज दिशा (x) में वस्तु की स्थिति = 10 मीटर

ऊर्ध्वाधर दिशा (y) में वस्तु की स्थिति = 5 मीटर

[आईआरपी]

[wpdm_package id = '532 pack]

[wpdm_package id = '536 pack]

1. प्रारंभिक वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करें
2. क्षैतिज विस्थापन ज्ञात कीजिए।
3. अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करें
4. समय अंतराल निर्धारित करें
5. वस्तु की स्थिति निर्धारित करें
6. अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।

अधिक पढ़ें

प्रक्षेप्य गति से संबंधित समस्याओं का हल – समय अंतराल का निर्धारण करें

1. एक फुटबॉल को किक मारकर जमीन से 30° के कोण पर ¹⁰ मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से उठाया जाता है। अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल ज्ञात कीजिए! गुरुत्वाकर्षण का त्वरण 10 मीटर/सेकंड² ^है ।

ज्ञात :

कोण (θ) = 30 ^°

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 10 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

आवश्यकता है: अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल

समाधान:

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (10 मी/से)(sin 30 ^o ) = (10 मी/से)(0.5) = 5 मी/से

अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल ऊर्ध्वाधर गति के समीकरण द्वारा निर्धारित होता है। ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 5 m/s (धनात्मक दिशा में ऊपर की ओर)

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = – 10 m/s² ⁽ ऋणात्मक नीचे की ओर)

अधिकतम ऊंचाई पर अंतिम वेग (v _t ) = 0

वांछित: समय अंतराल (t)

समाधान:

v _t = v _o + g t

0 = 5 + (-10)t

0 = 5 – 10 t

5 = 10 टी

टी = 5/10 = 0.5 एस

[आईआरपी]

2. एक वस्तु को क्षैतिज से 30 ^° के कोण पर 30 m/s के प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। उड़ान समय की गणना कीजिए! गुरुत्वाकर्षण का त्वरण 10 m/s² ^है ।

ज्ञात :

कोण (θ) = 30 ^°

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 8 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वांछित: शरीर के जमीन पर गिरने से पहले का समय अंतराल

समाधान:

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (8 मी/से)(sin 30 ^o ) = (8 मी/से)(0.5) = 4 मी/से

हम सबसे पहले ऊर्ध्वाधर गति के समीकरण का उपयोग करके अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने के लिए लगने वाले समय अंतराल की गणना करते हैं।

ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 4 m/s (धनात्मक दिशा में ऊपर की ओर)

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = – 10 m/s² ⁽ ऋणात्मक नीचे की ओर)

अधिकतम ऊंचाई पर अंतिम वेग (v _t ) = 0

वांछित: समय अंतराल (t)

समाधान:

v _t = v _o + g t

0 = 4 + (-10)t

0 = 4 – 10 t

4 = 10 टी

टी = 4/10 = 0,4 एस

अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने का समय अंतराल 0.4 सेकंड है।

हवा में बिताया गया समय 2 x 0.4 सेकंड = 0.8 सेकंड है।

[आईआरपी]

3. एक वस्तु को 10 मीटर ऊँची इमारत से क्षैतिज से 30 ^° के कोण पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है । इसका प्रारंभिक वेग 40 मीटर/सेकंड है। वस्तु को जमीन तक पहुँचने में कितना समय लगेगा? गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 मीटर/ ^{सेकंड²} है ।

ज्ञात :

कोण (θ) = 30 ^°

प्रारंभिक ऊँचाई (h _o ) = 10 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 40 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वांछित: हवाई यात्रा का समय (t)

समाधान:

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (40 मी/से)(sin 30 ^o ) = (40 मी/से)(0.5) = 20 मी/से

हम सबसे पहले ऊर्ध्वाधर गति के समीकरण का उपयोग करके अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने के लिए लगने वाले समय अंतराल की गणना करते हैं।

ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 20 m/s (धनात्मक दिशा में ऊपर की ओर)

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = – 10 m/s² ⁽ ऋणात्मक नीचे की ओर)

शिखर पर अंतिम वेग (v _t ) = 0

वांछित: समय अंतराल (t)

समाधान:

v _t = v _o + g t

0 = 20 + (-10)t

0 = 20 – 10 t

20 = 10 टी

t = 20/10 = 2 सेकंड

हवा में बिताया गया समय = 2 x 2 सेकंड = 4 सेकंड।

वस्तु जमीन से 10 मीटर ऊपर है। प्रारंभिक स्थिति के समानांतर स्थान पर पहुंचने में 4 सेकंड का समय लगता है। गेंद अभी भी नीचे की ओर गति कर रही है।

जमीन तक पहुंचने में लगने वाले समय की गणना मुक्त पतन की गति के समीकरण का उपयोग करके की जाती है ।

ज्ञात :

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ऊँचाई (h) = 10 मीटर

वांछित: समय अंतराल (t)

समाधान:

h = 1/2 gt ^{​​​​2}

10 = 1/2 (10) t ²

10 = 5 t ²

t ² = 10/5 = 2

t = √2 = 1.4 सेकंड

समय अंतराल = 1.4 सेकंड।

कुल समय अंतराल = 4 सेकंड + 1.4 सेकंड = 5.4 सेकंड।

[आईआरपी]

4. एक छोटी गेंद को 5 मीटर ऊँची इमारत से 15 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग v₀ से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है _। हवा में बिताया गया समय ज्ञात कीजिए ! गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² है ^।

ज्ञात :

ऊँचाई (h) = 5 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 15 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

चाहिए: हवाई यात्रा का समय (t)

समाधान:

हवा में बिताया गया समय स्वतंत्र रूप से गिरने की गति के समीकरण का उपयोग करके गणना किया जाता है।

ज्ञात :

ऊँचाई (h) = 5 मीटर

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वांछित: समय अंतराल (t)

समाधान:

h = 1/2 gt ^{​​​​2}

5 = 1/2 (10) t ²

5 = 5 t ²

t ² = 5/5 = 1

t = √1 = 1 सेकंड

[आईआरपी]

[wpdm_package id = '531 pack]

[wpdm_package id = '536 pack]

1. प्रारंभिक वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करें
2. क्षैतिज विस्थापन ज्ञात कीजिए।
3. अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करें
4. समय अंतराल निर्धारित करें
5. वस्तुओं की स्थिति निर्धारित करें
6. अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।

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प्रक्षेप्य गति से संबंधित समस्याओं का समाधान - अधिकतम ऊँचाई का निर्धारण

1. एक फुटबॉल को किक मारने पर वह क्षैतिज से θ = 60 ^° के कोण पर 10 m/s की प्रारंभिक गति से उठती है। अधिकतम ऊँचाई की गणना कीजिए! गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 m/s² ^है ।

ज्ञात :

कोण (θ) = 60 ^°

प्रारंभिक गति (v _o ) = 10 मीटर/सेकंड

अधिकतम ऊँचाई (h) चाहिए

समाधान:

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

sin 60 ^o = v _oy / v _o

v _oy = v _o पाप 60 ^o = (10)(sin 60 ^o ) = (10)(0.5 √ 3 ) = 5 √ 3 m/s

ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ नीचे की ओर ऋणात्मक)

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक (v _oy ) = + 5 √ 3 m/s (धनात्मक ऊपर की ओर)

अधिकतम ऊंचाई पर अंतिम वेग (v _ty ) = 0

अधिकतम ऊँचाई (h) चाहिए

समाधान:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = ( 5 √ 3) ² + 2 (-10) h

0 = 2 5 ( 3) – 20 घंटे

0 = 75 – 20 घंटे

75 = 20 घंटे

एच = 75 / 20

h = 3.75 मीटर

अधिकतम ऊंचाई 3.75 मीटर है।

[आईआरपी]

2. एक वस्तु को 20 मीटर ऊँची इमारत से क्षैतिज से 30 ^° के कोण पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है । इसका प्रारंभिक वेग 4 मीटर/सेकंड है। अधिकतम ऊँचाई की गणना कीजिए! गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² ^है ।

ज्ञात :

कोण (θ) = 30 ^°

प्रारंभिक ऊँचाई (h) = 20 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 4 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वांछित: अधिकतम ऊँचाई (h)

समाधान:

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

sin 30 ^o = v _oy / v _o

v _oy = v _o पाप 30 ^o = (4)(sin 30 ^o ) = (4)(0.5) = 2 m/s

ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ नीचे की ओर ऋणात्मक)

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक (v _oy ) = +2 m/s (धनात्मक ऊपर की ओर)

अधिकतम ऊंचाई पर अंतिम वेग (v _ty ) = 0

वांछित: अधिकतम ऊंचाई

समाधान:

अधिकतम ऊंचाई:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 2 ² + 2 (-10) h

0 = 4 – 20 घंटे

4 = 20 घंटे

एच = 4 / 20

h = 0.2 मीटर

अधिकतम ऊंचाई 0.2 मीटर + 20 मीटर = 20.2 मीटर है।

[आईआरपी]

[wpdm_package id = '528 pack]

[wpdm_package id = '536 pack]

1. प्रारंभिक वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करें
2. क्षैतिज विस्थापन ज्ञात कीजिए।
3. अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करें
4. समय अंतराल निर्धारित करें
5. वस्तुओं की स्थिति निर्धारित करें
6. अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।

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प्रक्षेप्य गति से संबंधित समस्याओं का हल – क्षैतिज विस्थापन का निर्धारण

1. एक फुटबॉल को किक मारकर जमीन से ऊपर उठाया जाता है, जिसका कोण क्षैतिज से θ = 60 ^° है और प्रारंभिक गति 16 मीटर/सेकंड है। गेंद को जमीन पर गिरने में कितना समय लगेगा?

ज्ञात :

कोण ( θ ) = 60 ^°

प्रारंभिक गति (v _o ) = 16 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ज्ञात करना है: क्षैतिज विस्थापन (x)

समाधान:

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक:

v _ox = v _o cos θ = (16 m/s)(cos 60 ^o ) = (16 m/s)(0.5) = 8 m/s

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (16 m/s)(sin 60 ^o ) = (16 m/s)(0.5 √ 3 ) = 8 √ 3 m/s

प्रक्षेप्य गति को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों का अलग-अलग विश्लेषण करके समझा जा सकता है। x दिशा में गति स्थिर वेग से होती है और y दिशा में गति स्थिर गुरुत्वाकर्षण त्वरण से होती है।

हवा में समय

हवा में रहने का समय y दिशा में गति द्वारा निर्धारित होता है। हम पहले y दिशा में गति का उपयोग करके समय ज्ञात करते हैं और फिर इस समय मान का उपयोग x दिशा के समीकरणों ( स्थिर वेग समीकरण) में करते हैं।

ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 8 √ 3 मीटर/सेकंड (v _o ऊपर की ओर)

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ g नीचे की ओर)

ऊंचाई (h) = 0 (गेंद वापस उसी स्थिति में आ गई है)

चाहिए: हवाई यात्रा का समय

समाधान:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

0 = ( 8 √ 3) t + 1/2 (-10) t ²

0 = 8 √ 3 t – 5 t ²

8 √ 3 t = 5 t ²

8 (1.7) = 5 टी

14 = 5 टी

t = 14 / 5 = 2.8 सेकंड

क्षैतिज विस्थापन

ज्ञात :

वेग (v) = 8 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 2.8 सेकंड

वांछित: विस्थापन

समाधान:

x = vt = (8 मीटर/सेकंड)(2.8 सेकंड) = 22.4 मीटर

क्षैतिज विस्थापन 22.4 मीटर है।

[आईआरपी]

^{2. एक वस्तु को 50 मीटर ऊँची इमारत से क्षैतिज से 60 °} के कोण पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है । इसका प्रारंभिक वेग 30 मीटर/सेकंड है। क्षैतिज विस्थापन की गणना कीजिए! गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² ^है ।

ज्ञात :

कोण ( θ ) = 60 ^°

ऊँचाई (h) = 15 मीटर

प्रारंभिक गति (v _o ) = 30 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

आवश्यकता है : x

समाधान:

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक ::

v _ox = v _o cos θ = (30 m/s)(cos 60 ^o ) = (30 m/s)(0.5) = 15 m/s

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (30 m/s)(sin 60 ^o ) = (30 m/s)(0.5 √ 3 ) = 15 √ 3 m/s

हवा में समय

हम पहले y गति का उपयोग करके समय ज्ञात करते हैं और फिर इस समय मान को x समीकरणों (स्थिर वेग समीकरण) में उपयोग करते हैं। ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 15 √ 3 मीटर/सेकंड (धनात्मक ऊपर की ओर)

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ नीचे की ओर ऋणात्मक)

ऊंचाई (h) = -50 (प्रारंभिक स्थिति से 50 मीटर नीचे जमीन)

आवश्यकता है : टी

समाधान:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

-50 = ( 15 √ 3 ) t + 1/2 (-10) t ²

-50 = 15 √ 3 t – 5 t ²

5 t ² – 15 √ 3 t – 50 = 0

समय की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करें:

a = 5, b = – 15 √ 3, c = – 50

हवा में बिताया गया समय 6.7 सेकंड है।

क्षैतिज विस्थापन:

ज्ञात :

वेग (v) = 15 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 6.7 सेकंड

वांछित: विस्थापन

समाधान:

s = vt = (15 मीटर/सेकंड)(6.7 सेकंड) = 100.5 मीटर

क्षैतिज विस्थापन 100.5 मीटर है।

[आईआरपी]

3. एक छोटी गेंद को 10 मीटर ऊँची इमारत से प्रारंभिक वेग v₀ = 10 मीटर/सेकंड से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है _{। क्षैतिज विस्थापन} की गणना कीजिए! गुरुत्वाकर्षण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² है ^।

ज्ञात :

ऊँचाई (h) = 10 मीटर

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 10 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

आवश्यकता है : x

समाधान:

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक = प्रारंभिक वेग = 10 मीटर/सेकंड।

हवा में समय

मुक्त पतन गति के समीकरण का उपयोग करके हवा में बिताए गए समय की गणना की जाती है ।

ज्ञात :

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ऊँचाई (h) = 10 मीटर

आवश्यकता है : टी

समाधान:

h = 1/2 gt ^{​​​​2}

10 = 1/2 (10) t ²

10 = 5 t ²

t ² = 10 / 5 = 2

t = √2 = 1.4 सेकंड

क्षैतिज विस्थापन

स्थिर वेग पर गति के समीकरण का उपयोग करके क्षैतिज विस्थापन की गणना की जाती है ।

ज्ञात :

वेग (v) = 10 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 1.4 सेकंड

आवश्यकता है : x

समाधान:

s = vt = (10 मीटर/सेकंड)(1.4 सेकंड) = 14 मीटर

क्षैतिज विस्थापन 14 मीटर है।

[आईआरपी]

[wpdm_package id = '526 pack]

[wpdm_package id = '536 pack]

1. प्रारंभिक वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करें
2. क्षैतिज विस्थापन ज्ञात कीजिए।
3. अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करें
4. समय अंतराल निर्धारित करें
5. वस्तुओं की स्थिति निर्धारित करें
6. अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।

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प्रक्षेप्य गति से संबंधित समस्याओं का समाधान किया - प्रारंभिक वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित किया।

1. एक किक मारी गई फुटबॉल जमीन से θ = 60 डिग्री के कोण पर उठती है।^o 10 मीटर/सेकंड के वेग से गतिमान वस्तु के प्रारंभिक वेग के घटकों की गणना कीजिए!
ज्ञात :
कोण (θ) = 60^o
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 10 मीटर/सेकंड
वांछित : v_ox और वी_oy
समाधान:
प्रारंभिक वेग को x घटक (क्षैतिज) और y घटक (ऊर्ध्वाधर) में विभाजित करें।
sin θ = v_oy / वी_o —–> v_oy = वी_o पाप θ
cos θ = v_ox / वी_o —–> v_ox = वी_o cos θ

x घटक (क्षैतिज):
v_ox = वी_o cos θ = (10 m/s)(cos 60^o) = (10 मीटर/सेकंड)(0.5) = 5 मीटर/सेकंड

y घटक (ऊर्ध्वाधर):
v_oy = वी_o sin θ = (10 m/s)(sin 60^o) = (10 मीटर/सेकंड)(0.5√3) = 5√3 मीटर/सेकंड

[आईआरपी]

2. एक वस्तु θ = 30° के कोण पर जमीन से उठती है।^o यदि वेग का y घटक 10 m/s है, तो प्रारंभिक वेग की गणना कीजिए!
ज्ञात :
कोण (θ) = 30^o
y घटक (v_oy) = 10 मीटर/सेकंड
वांछित : प्रारंभिक वेग (v)_o)
समाधान:
v_oy = वी_o पाप θ
10 = (v_o)(sin 30^o)
10 = (v_o)(0.5)
v_o = 10/0.5
v_o = 20 मी/से

[आईआरपी]

3. प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक 30 मीटर/सेकंड है और ऊर्ध्वाधर घटक 40 मीटर/सेकंड है। प्रारंभिक वेग की गणना कीजिए।
ज्ञात :
प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक (v)_ox) = 30 मीटर/सेकंड
प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक (v)_oy) = 40 मीटर/सेकंड
वांछित : प्रारंभिक वेग (v)_o)
समाधान:
v_o² = वी_ox² + वी_oy² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500
v_o = √2500
v_o = 50 मी/से

[आईआरपी]

4. एक छोटी गेंद को प्रारंभिक वेग v से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है।_o = 6 मीटर/सेकंड। प्रारंभिक वेग के x घटक और y घटक की गणना कीजिए।
ज्ञात :
प्रारंभिक वेग (v)_o) = 6 मीटर/सेकंड
वांछित : वॉक्स और वी_oy
समाधान:
गेंद क्षैतिज रूप से इस प्रकार गति करती है कि वेग का क्षैतिज घटक (v)_ox) = प्रारंभिक वेग (v_o) = 6 मीटर/सेकंड। वेग का ऊर्ध्वाधर घटक (v)_oy) = 0।

[आईआरपी]

[wpdm_package id = '545 pack]

[wpdm_package id = '536 pack]

1. प्रारंभिक वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करें
2. क्षैतिज विस्थापन ज्ञात कीजिए।
3. अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करें
4. समय अंतराल निर्धारित करें
5. वस्तुओं की स्थिति निर्धारित करें
6. अंतिम वेग ज्ञात कीजिए।

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