प्रक्षेप्य गति – समस्याएं और समाधान

27 प्रक्षेप्य गति – समस्याएं और समाधान

1. एक गोली को θ = 60 ^° के कोण पर 20 m/s के वेग से दागा जाता है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² ^है । अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगने वाला समय अंतराल क्या है?

ज्ञात :

गोली का प्रारंभिक वेग (v _o ) = 20 मीटर/सेकंड

कोण (θ) = 60 ^° सेल्सियस

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 ms ^–2

अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाला समय अंतराल चाहिए।

समाधान:

क्षैतिज दिशा (x अक्ष) पर प्रारंभिक वेग:

वी _बैल = वी _ओ कॉस 60 ^ओ = (20)(0.5) = 10 मी/से

ऊर्ध्वाधर दिशा (y अक्ष) पर प्रारंभिक वेग:

v _oy = vo syn 60 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने का समय अंतराल, इस समीकरण का उपयोग करके गणना किया जाता है:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग = उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग = 0 m/s

v _oy = क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक वेग = 10√3 मीटर/सेकंड

g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 m/ ^s²

t = समय अंतराल

समय अंतराल:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 सेकंड

2. एक वस्तु को एक कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। वस्तु की ऊँचाई 1 सेकंड और 3 सेकंड के समय अंतराल पर समान रहती है। हवा में वस्तु का समय अंतराल क्या है?

समाधान:

वस्तु 4 सेकंड तक हवा में रही।

3. एक विमान 50 मीटर/सेकंड की गति से क्षैतिज रूप से चल रहा है। 2 किलोमीटर की ऊंचाई पर विमान से एक वस्तु गिराई जाती है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 10 मीटर/ सेकंड² है। वस्तु के जमीन पर गिरने से पहले का समय अंतराल क्या होगा?

ज्ञात :

ऊंचाई = 2 किमी = 2000 मीटर

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

ज्ञात करना है: समय अंतराल (t)

समाधान:

h = 1/2 gt ^{​​​​2}

2000 = 1/2 (10) t ²

2000 = 5 t ²

t ² = 2000/5 = 400

t = √400 = 20 सेकंड

^{4. एक फुटबॉल को किक मारकर क्षैतिज से θ = 45 °} के कोण पर 25 m/s की प्रारंभिक गति से ऊपर उठाया जाता है। दूरी X ज्ञात कीजिए। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/s² ^है ।

ज्ञात :

प्रारंभिक गति (v _o ) = 25 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

कोण (θ) = 45 ^°

आवश्यकता है: X

समाधान:

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक:

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:

v _oy = v _o पाप θ = (25 मी/से)(sin 45 ^o ) = (25 मी/से)(0.5√2) = 12.5√2 मी/से

प्रक्षेप्य गति को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों का अलग-अलग विश्लेषण करके समझा जा सकता है। x दिशा में गति स्थिर वेग से होती है और y दिशा में गति स्थिर गुरुत्वाकर्षण त्वरण से होती है।

हवा में बिताया गया समय (टी):

हवा में बिताया गया समय ऊर्ध्वाधर गति के समीकरण से गणना किया जाता है।

ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 12.5√2 मीटर/सेकंड (ऊपर की ओर दिशा, धनात्मक)

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ नीचे की ओर दिशा, ऋणात्मक)

ऊँचाई (h) = 0

वांछित: समय अंतराल (t)

समाधान:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t ²

0 = 12.5√2 t – 5 t ²

12.5√2 t = 5 t ²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 सेकंड

क्षैतिज दूरी (X):

स्थिर वेग के साथ एकसमान रैखिक गति के समीकरण का उपयोग करके गणना की गई ।

ज्ञात :

वेग (v) = 12.5√2 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 2.5√2 सेकंड

चाहिए: दूरी

समाधान:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 मीटर

5. क्षैतिज से θ = 30 ^° के कोण पर ऊपर की ओर प्रक्षेपित एक वस्तु का प्रारंभिक वेग 20 m/s है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 m/ ^s² है । अधिकतम ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

ज्ञात :

प्रारंभिक वेग (v)_o) = 20 मीटर/सेकंड

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

कोण (θ) = 30 ^°

वांछित : अधिकतम ऊंचाई

समाधान:

सबसे पहले, प्रारंभिक वेग (v _oy ) का ऊर्ध्वाधर घटक ज्ञात कीजिए:

v _oy = v _o पाप 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0.5) = 10 m/s

अधिकतम ऊंचाई की गणना करें। ऊपर की दिशा को धनात्मक और नीचे की दिशा को ऋणात्मक मानें।

ज्ञात :

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (g) = -10 m/s² ⁽ नीचे की ओर दिशा, ऋणात्मक )

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक (v _oy ) = 10 m/s ( ऊपर की दिशा, धनात्मक )

अधिकतम ऊंचाई पर वेग (v _ty ) = 0

वांछित: अधिकतम ऊँचाई (h)

समाधान:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 10 ² + 2 (-10) h

0 = 100 – 20 घंटे

100 = 20 घंटे

h = 100/20

h = 5 मीटर

अधिकतम ऊंचाई 5 मीटर है।

6. एक वस्तु को एक निश्चित उन्नयन कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। 1 सेकंड और 3 सेकंड के बाद वस्तु की ऊँचाई समान रहती है। हवा में बिताया गया समय ज्ञात कीजिए।

ए. 3.6 एस

बी. 4.0 एस

सी. 5.6 एस

डी. 6.4 एस

उपाय

हवा में बिताया गया समय = 4 सेकंड।

सही जवाब बी है।

7. एक विमान 50 मीटर/सेकंड की गति से क्षैतिज रूप से चल रहा है। जब विमान 2 किलोमीटर की ऊंचाई पर होता है, तो एक वस्तु विमान से स्वतंत्र रूप से गिर सकती है। गति का प्रकार ज्ञात कीजिए।

ए. मुक्त पतन गति

बी. तैरने की गति

सी. क्षैतिज गति

डी. प्रक्षेप्य गति

समाधान:

वस्तु को चलते हुए विमान से इसलिए गिराया जाता है क्योंकि उसकी गति विमान की गति के बराबर है, यानी 50 मीटर/सेकंड। वस्तुओं की गति मुक्त पतन की तरह नहीं बल्कि परवलयिक गति है। यह स्थिति वैसी ही है जैसे चलती हुई कार के अंदर से कोई वस्तु गिराई जाए।

सही उत्तर है डी.

8. एक गेंद को 60 मीटर ऊँची चट्टान से 15 मीटर/सेकंड की क्षैतिज गति से फेंका जाता है। जमीन पर गिरने में कितना समय लगेगा?
समाधान: \( h = \frac{1}{2} gt^2 \) का उपयोग करके, हम समय \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \) पाते हैं।

9. एक प्रक्षेप्य को क्षैतिज से 30° के कोण पर 20 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से दागा जाता है। अधिकतम ऊँचाई क्या होगी?
समाधान: \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) का उपयोग करके, अधिकतम ऊँचाई \( h \approx 10.2\ \text{m} \) है।

10. एक पत्थर को 80 मीटर ऊंचे टावर से 10 मीटर/सेकंड की गति से क्षैतिज रूप से फेंका जाता है। जमीन पर गिरने से पहले वह जितनी क्षैतिज दूरी तय करता है, ज्ञात कीजिए।
समाधान: समस्या 1 के समान तरीके से पाए गए समय का उपयोग करते हुए, क्षैतिज दूरी \( d = vt \approx 40\ \text{m} \) है।

11. एक तोप का गोला 40 मीटर/सेकंड की गति से 45° के कोण पर दागा जाता है। उड़ान का समय ज्ञात कीजिए।
समाधान: \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) का उपयोग करते हुए, उड़ान का समय \( t \approx 5.8\ \text{s} \) है।

12. एक बेसबॉल को 60° के कोण पर 12 मीटर/सेकंड के वेग से फेंका जाता है। क्षैतिज परास ज्ञात कीजिए।
समाधान: \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) का उपयोग करते हुए, रेंज \( R \approx 14.0\ \text{m} \) है।

13. एक प्रक्षेप्य को क्षैतिज से 37° ऊपर 50 m/s के प्रारंभिक वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। ऊर्ध्वाधर वेग घटक क्या है?
समाधान: ऊर्ध्वाधर घटक \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \) है।

14. एक प्रक्षेप्य को 100 मीटर की ऊंचाई से 20 मीटर/सेकंड के क्षैतिज वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। जमीन से टकराने से ठीक पहले उसका ऊर्ध्वाधर वेग क्या होगा?
समाधान: \( v_y = \sqrt{2gh} \) का उपयोग करते हुए, ऊर्ध्वाधर वेग \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \) है।

15. एक पत्थर को क्षैतिज से 25° के कोण पर 15 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से फेंका जाता है। वेग के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक क्या हैं?
समाधान: क्षैतिज घटक \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \) है, और ऊर्ध्वाधर घटक \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \) है।

16. एक फुटबॉल को क्षैतिज से 40° के कोण पर 30 m/s की प्रारंभिक गति से किक किया जाता है। इसका क्षैतिज वेग घटक क्या है?
समाधान: क्षैतिज घटक \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \) है।

17. एक गोल्फ गेंद को 70 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से 20° के कोण पर मारा जाता है। उड़ान का समय क्या है?
समाधान: उड़ान समय समीकरण का उपयोग करते हुए, समय \( t \approx 4.9\ \text{s} \) है।

18. एक प्रक्षेप्य को जमीन से 25 मीटर/सेकंड की गति से क्षैतिज से 53 डिग्री ऊपर की ओर दागा जाता है। इसका प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक क्या है?
समाधान: ऊर्ध्वाधर घटक \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \) है।

19. एक बेसबॉल को 20 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से 50° के कोण पर फेंका जाता है। अधिकतम ऊँचाई क्या होगी?
समाधान: अधिकतम ऊँचाई के समीकरण का उपयोग करते हुए, ऊँचाई \( h \approx 15.3\ \text{m} \) है।

20. एक गोली को 10 मीटर की ऊंचाई से 200 मीटर/सेकंड के वेग से क्षैतिज रूप से दागा जाता है। जमीन पर गिरने में कितना समय लगेगा?
समाधान: समय समीकरण का उपयोग करते हुए, समय \( t \approx 1.4\ \text{s} \) है।

21. एक तोप का गोला 45 मीटर/सेकंड की गति से 30 डिग्री के कोण पर दागा जाता है। परास ज्ञात कीजिए।
समाधान: रेंज समीकरण का उपयोग करते हुए, रेंज \( R \approx 88.2\ \text{m} \) है।

22. एक बास्केटबॉल को 75° के कोण पर 10 मीटर/सेकंड के वेग से फेंका जाता है। क्षैतिज परास ज्ञात कीजिए।
समाधान: रेंज समीकरण का उपयोग करते हुए, रेंज \( R \approx 5.3\ \text{m} \) है।

23. एक प्रक्षेप्य को क्षैतिज से 22° ऊपर 30 m/s के प्रारंभिक वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। जमीन से टकराने से ठीक पहले उसका ऊर्ध्वाधर वेग क्या होगा?
समाधान: ऊर्ध्वाधर वेग समीकरण का उपयोग करते हुए, ऊर्ध्वाधर वेग \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \) है।

24. एक पत्थर को 40 मीटर ऊंचे टावर से 8 मीटर/सेकंड की गति से क्षैतिज रूप से फेंका जाता है। यह कितनी क्षैतिज दूरी तय करता है?
समाधान: क्षैतिज दूरी समीकरण का उपयोग करते हुए, दूरी \( d \approx 16\ \text{m} \) है।

25. एक फुटबॉल को क्षैतिज से 30° के कोण पर 12 m/s की प्रारंभिक गति से किक किया जाता है। वेग के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक क्या हैं?
समाधान: क्षैतिज घटक \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \) है, और ऊर्ध्वाधर घटक \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \) है।

26. एक गोल्फ गेंद को 50 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से 15° के कोण पर मारा जाता है। उड़ान का समय क्या है?
समाधान: उड़ान समय समीकरण का उपयोग करते हुए, समय \( t \approx 2.6\ \text{s} \) है।

27. एक प्रक्षेप्य को जमीन से 40 मीटर/सेकंड की गति से क्षैतिज से 60 डिग्री ऊपर की ओर दागा जाता है। इसका प्रारंभिक क्षैतिज वेग घटक क्या है?
समाधान: क्षैतिज घटक \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \) है।