30 समआयतनिक ऊष्मागतिकी प्रक्रियाएं – समस्याएं और समाधान
1. नीचे दिए गए PV आरेख में एक आदर्श गैस को समक्रमिक प्रक्रिया से गुजरते हुए दिखाया गया है। प्रक्रिया AB में गैस द्वारा किए गए कार्य की गणना कीजिए।
समाधान:
प्रक्रिया AB एक समआयतनिक प्रक्रिया (स्थिर आयतन) है। आयतन स्थिर है, इसलिए गैस द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है।
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2. 47 ° C तापमान और 2 x 10⁵ Pa दाब पर तीन मोल एकपरमाण्विक गैस समआयतनिक प्रक्रिया से गुजरती है जिससे दाब बढ़कर 3 x 10⁵ Pa हो जाता है । गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन क्या होगा? सार्वभौमिक गैस स्थिरांक (R) = 8.315 J/mol.K
ज्ञात :
प्रारंभिक तापमान (T 1 ) = 47 ° C + 273 = 320 K
प्रारंभिक दाब (P 1 ) = 2 x 10 5 Pa
अंतिम दाब (P 2 ) = 3 x 10 5 Pa
सार्वभौमिक गैस स्थिरांक (R) = 8.315 जूल/मोल.के
मोलों की संख्या (n) = 3
वांछित: गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन।
समाधान:
समआयतनिक प्रक्रिया में, आयतन को स्थिर रखा जाता है ताकि गैस द्वारा कोई कार्य न किया जाए (W = 0)।
ΔU = QW
ΔU = Q-0
ΔU = क्यू
ΔU = आंतरिक ऊर्जा, Q = ऊष्मा
गैस की आंतरिक ऊर्जा:
ΔU = 3/2 n R ΔT = 3/2 n R (T 2 – T 1 )
गे-लुसैक का नियम ( स्थिर आयतन ) :
गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन:
ΔU = 3/2 n R (T 2 – T 1 ) = 3/2 (3)(8.315)(480-320)
ΔU = 3/2 (24.945)(160) = 3/2 (3991.2)
ΔU = 5986.8 जूल
3. 27 ° C तापमान पर 0.2 मोल एकपरमाण्विक गैसें एक बंद पात्र में हैं। गैस में इतनी ऊष्मा डाली जाती है कि गैस का तापमान 400 K हो जाता है… सार्वभौमिक गैस स्थिरांक (R) = 8.315 जूल/मोल.के
ज्ञात :
मोलों की संख्या (n) = 0.2 मोल
प्रारंभिक तापमान (T 1 ) = 27 ° C + 273 = 300 K
अंतिम तापमान (T 2 ) = 400 K
सार्वभौमिक स्थिर गैस (R) = 8.315 जूल/मोल.के
आवश्यकता : ऊष्मा जोड़ी जाती है (Q)
समाधान:
समआयतनिक प्रक्रिया में, आयतन को स्थिर रखा जाता है ताकि गैस द्वारा कोई कार्य न किया जाए (W = 0)।
ऊष्मागतिकी का पहला नियम:
ΔU = QW
ΔU = Q-0
ΔU = क्यू
ΔU = आंतरिक ऊर्जा, Q = ऊष्मा
गैस की आंतरिक ऊर्जा:
ΔU = 3/2 n R ΔT = 3/2 n R (T 2 – T 1 )
ΔU = 3/2 (0.2)(8.315)(400-300)
ΔU = 3/2 (0.2)(8.315)(100)
ΔU = 249.45 जूल
4. एक आदर्श गैस के लिए समआयतनिक प्रक्रिया के दौरान प्रारंभिक तापमान 300 K से अंतिम तापमान 400 K तक ऊष्मा स्थानांतरण की गणना कीजिए। मान लीजिए कि गैस के 2 मोल हैं, और स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा क्षमता (Cᵥ) 20 J/(mol K) है।
हल: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 2 मोल × 20 जूल/(मोल के) × (400 के – 300 के) = 4000 जूल
5. उपरोक्त समस्या के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल: ΔU = ΔQ = 4000 जूल
6. उपरोक्त परिस्थितियों में समआयतनिक प्रक्रिया के दौरान किसी प्रणाली पर किए गए कार्य का निर्धारण कीजिए।
हल: W = 0 जूल (चूंकि आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता, इसलिए कोई कार्य नहीं किया जाता)
7. एक समतापी आदर्श गैस के लिए जो समआयतनिक प्रक्रिया से गुजर रही है, यदि प्रारंभिक दाब 2 atm और अंतिम दाब 3 atm है, तो अंतिम और प्रारंभिक तापमान का अनुपात क्या है?
हल: चूंकि P₁/T₁ = P₂/T₂, इसलिए T₂/T₁ = 3/2
8. समआयतनिक प्रक्रिया में एक आदर्श गैस के लिए एन्ट्रापी परिवर्तन क्या होगा जब तापमान 300 K से 600 K तक बदलता है, और n = 2 मोल, Cᵥ = 20 J/(mol·K) है?
हल: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 2 × 20 × ln(600/300) ≈ 27.73 जूल/किलोग्राम
9. यदि एक द्विपरमाण्विक आदर्श गैस की प्रारंभिक अवस्था V = 2 L, P = 1 atm, और T = 300 K द्वारा परिभाषित की जाती है, तो समआयतनिक प्रक्रिया में तापमान दोगुना होने पर अंतिम दाब ज्ञात कीजिए।
हल: P₂ = 2 × P₁ = 2 atm
10. एक समआयतनिक प्रक्रिया के लिए गिब्स मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल: ΔG = 0 (एक बंद प्रणाली में समआयतनिक प्रक्रिया के लिए, ΔG = 0)
11. समआयतनिक प्रक्रिया से गुजर रही एक आदर्श गैस का अंतिम तापमान ज्ञात कीजिए, यदि प्रारंभिक तापमान 200 K है, और प्रारंभिक और अंतिम दाब क्रमशः 2 atm और 4 atm हैं।
हल: T₂ = 2 × T₁ = 400 K
12. एक आदर्श गैस के लिए, यदि स्थिर आयतन पर ऊष्मा क्षमता (Cᵥ) 30 J/(mol·K) है, तो 3 मोल गैस के साथ तापमान 300 K से 450 K तक बदलने पर ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए।
हल: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 3 × 30 × 150 = 13500 जूल
13. उपरोक्त प्रक्रिया के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: ΔU = ΔQ = 13500 जूल
14. n = 1 मोल, Cᵥ = 25 J/(mol K), T₁ = 200 K, और T₂ = 400 K वाली एक समआयतनिक प्रक्रिया के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 25 × ln(2) ≈ 17.33 J/K
15. 3 मोल गैस की समआयतनिक प्रक्रिया के दौरान सिस्टम द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए, जब तापमान 200 K से 300 K तक परिवर्तित होता है।
हल: W = 0 जूल (चूंकि आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता, इसलिए कोई कार्य नहीं किया जाता)
16. 150 K के प्रारंभिक तापमान, 300 K के अंतिम तापमान और Cᵥ = 15 J/(mol·K) के साथ एक समआयतनिक प्रक्रिया से गुजरने वाली एक आदर्श गैस के लिए ऊष्मा स्थानांतरण की गणना करें, जहाँ गैस के 4 मोल हैं।
हल: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 4 × 15 × 150 = 9000 जूल
17. n = 1 मोल, Cᵥ = 30 J/(mol·K), T₁ = 100 K, और T₂ = 200 K वाली समआयतनिक प्रक्रिया में एक आदर्श गैस के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन क्या है?
हल: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 30 × ln(2) ≈ 20.79 J/K
18. समआयतनिक प्रक्रिया से गुजरने वाली गैस का अंतिम दाब ज्ञात कीजिए, यह देखते हुए कि P₁ = 5 atm, T₁ = 250 K, और T₂ = 500 K है।
हल: P₂ = (T₂/T₁) × P₁ = 2 × 5 atm = 10 atm
19. 300 K से 600 K तक समआयतनिक प्रक्रिया से गुजरने वाली एकपरमाण्विक आदर्श गैस के 5 मोल के लिए ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए। मान लीजिए Cᵥ = 15 J/(mol K)।
हल: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 5 × 15 × 300 = 22500 जूल
20. उपरोक्त समस्या के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन क्या है?
हल: ΔU = ΔQ = 22500 जूल
21. एक समआयतनिक प्रक्रिया के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन ज्ञात कीजिए जहाँ n = 2 मोल, Cᵥ = 25 J/(मोल K), T₁ = 300 K, और T₂ = 600 K है।
हल: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 2 × 25 × ln(2) ≈ 34.66 J/K
22. एक समतापी आदर्श गैस के 1 मोल का अंतिम तापमान ज्ञात कीजिए जो समआयतनिक प्रक्रिया से गुजर रही है, यदि प्रारंभिक तापमान 400 K है, और प्रारंभिक और अंतिम दाब क्रमशः 3 atm और 6 atm हैं।
हल: T₂ = 2 × T₁ = 800 K
23. समआयतनिक प्रक्रिया से गुजरने वाली द्विपरमाण्विक आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना करें जब तापमान 300 K से 600 K तक बदलता है, गैस के 2 मोल के साथ, और Cᵥ = 30 J/(mol·K)।
हल: ΔU = n × Cᵥ × ΔT = 2 × 30 × 300 = 18000 जूल
24. 100 K के प्रारंभिक तापमान, 300 K के अंतिम तापमान और Cᵥ = 20 J/(mol·K) के साथ एक समआयतनिक प्रक्रिया से गुजरने वाली एक आदर्श गैस के लिए ऊष्मा स्थानांतरण की गणना करें, जहाँ गैस के 2 मोल हैं।
हल: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 2 × 20 × 200 = 8000 जूल
25. उपरोक्त परिस्थितियों में समआयतनिक प्रक्रिया के दौरान सिस्टम पर किए गए कार्य का पता लगाएँ।
हल: W = 0 जूल (चूंकि आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता, इसलिए कोई कार्य नहीं किया जाता)
26. समआयतनिक प्रक्रिया में एक आदर्श गैस के लिए एन्ट्रापी परिवर्तन क्या होगा जब तापमान 400 K से 800 K तक बदलता है, और n = 3 मोल, Cᵥ = 20 J/(mol·K) है?
हल: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 3 × 20 × ln(2) ≈ 41.58 J/K
27. एक समआयतनिक प्रक्रिया के लिए गिब्स मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल: ΔG = 0 (एक बंद प्रणाली में समआयतनिक प्रक्रिया के लिए, ΔG = 0)
28. समआयतनिक प्रक्रिया से गुजरने वाली गैस का अंतिम दाब ज्ञात कीजिए, यह देखते हुए कि P₁ = 3 atm, T₁ = 300 K, और T₂ = 450 K है।
हल: P₂ = (T₂/T₁) × P₁ = 1.5 × 3 atm = 4.5 atm
29. 3 मोल गैस, Cᵥ = 20 J/(mol K) वाले एक समआयतनिक प्रक्रिया से गुजरने वाले सिस्टम के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना करें, और तापमान 200 K से 400 K तक बदलता है।
हल: ΔU = n × Cᵥ × ΔT = 3 × 20 × 200 = 12000 जूल
30. एक समआयतनिक प्रक्रिया के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन ज्ञात कीजिए जहाँ n = 4 मोल, Cᵥ = 30 J/(मोल K), T₁ = 150 K, और T₂ = 300 K है।
हल: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 4 × 30 × ln(2) ≈ 55.86 J/K
इन समस्याओं में समआयतनिक प्रक्रियाओं से संबंधित विभिन्न अवधारणाएं शामिल हैं, जैसे कि ऊष्मा स्थानांतरण, आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन, किया गया कार्य, एन्ट्रापी परिवर्तन, आदि।
