समतापी ऊष्मागतिक प्रक्रियाएँ – समस्याएँ और समाधान

30 समतापी ऊष्मागतिकीय प्रक्रियाएँ – समस्याएँ और समाधान

1. नीचे दिए गए PV आरेख में एक आदर्श गैस समतापी प्रक्रिया से गुजरती है । प्रक्रिया AB में गैस द्वारा किए गए कार्य की गणना कीजिए।

उपाय

काम किसी गैस द्वारा किया गया कार्य PV वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

AB = त्रिभुज का क्षेत्रफल + आयत का क्षेत्रफल

W = [½ (8 x 10 ⁵ –4 x 10 ⁵ )(3-1)] + [4 x 10 ⁵ (3-1)]

W = [½ (4 x 10 ⁵ )(2)] + [4 x 10 ⁵ (2)]

W = [4 x 10 ⁵ ] + [8 x 10 ⁵ ]

W = 12 x ^10⁷ जूल

प्रक्रिया AB में गैस द्वारा किया गया कार्य 12 x 10⁵ ^जूल है।

2. प्रक्रिया ABC में एक आदर्श गैस द्वारा किए गए कार्य की गणना कीजिए।

प्रक्रिया ABC में एक आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य = पीवी वक्र के नीचे का क्षेत्र

AB = त्रिभुज का क्षेत्रफल + आयत का क्षेत्रफल

डब्ल्यू = [½(10×10 ⁵ –5×10 ⁵ )(30-10)]+[5×10 ⁵ (30-10)]

W = [½ (5 x 10 ⁵ )(20)] + [5 x 10 ⁵ (20)]

W = [(5 x 10 ⁵ )(10)] + [100 x 10 ⁵ ]

W = [50 x 10⁵ ^] + [100 x ^10⁵ ]

W = 150 x ^10⁷ जूल

W = 1.5 x ^10⁷ जूल

3. एक आदर्श गैस समतापी प्रक्रियाओं से गुजर रही है। गैस में कितनी ऊष्मा डाली जाती है जिससे वह वातावरण पर 5000 जूल का कार्य करती है?

ज्ञात :

कार्य (W) = 5000 जूल

वांछित: गैस में ऊष्मा (Q) डाली जाती है।

समाधान:

समतापी प्रक्रिया एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जो स्थिर तापमान पर घटित होती है ।

ΔU = 3/2 n R ΔT

ΔU = आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन, n = मोलों की संख्या, R = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक, ΔT = तापमान में परिवर्तन।

उपरोक्त समीकरण के अनुसार, यदि ΔT = 0 तो ΔU = 0.

ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का समीकरण:

ΔU = क्यू - डब्ल्यू

0 = Q – W

क्यू = डब्ल्यू

Q = 5000 जूल।

4. नीचे दिए गए चित्र में समतापी प्रक्रिया से गुजर रही एक आदर्श गैस का PV आरेख दर्शाया गया है। प्रक्रिया AB में गैस द्वारा दी गई ऊष्मा की गणना कीजिए।

ज्ञात :

दाब 1 (P ₁ ) = 5 atm = 5 x 10 ⁵ Pa

दाब 2 (P ₂ ) = 10 atm = 10 x 10 ⁵ Pa

आयतन 1 (V ₁ ) = 2 m ³

आयतन 2 (V ₂ ) = 6 m ³

आवश्यकता : प्रक्रिया AB में ऊष्मा डाली जाती है।

समाधान:

समतापी = स्थिर तापमान। नीचे दिए गए समीकरण के अनुसार, यदि ΔT = 0 है तो ΔU = 0 होगा।

ΔU = 3/2 n R ΔT

ΔU = 3/2 n R (0)

ΔU = 0

ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम पर लागू करें :

ΔU = QW

0 = क्यूडब्ल्यू

Q=W

आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य = PV वक्र के नीचे का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल + आयत का क्षेत्रफल

W = ½ (P ₂ – P ₁ )(V ₂ – V ₁ ) + P ₁ (V ₂ – V ₁ )

W = ½ (10 x 10 ⁵ – 5 x 10 ⁵ )(6-2) + (5 x 10 ⁵ )(6-2)

W = ½ (5 x 10 ⁵ )(4) + (5 x 10 ⁵ )(4)

W = ½ (20 x 10⁵ ⁾ + (20 x ^10⁵ )

W = (10 x 10⁵ ⁾ + (20 x ^10⁵ )

W = 30 x ^10⁵ जूल

5. 300 K तापमान पर समतापीय रूप से 2 लीटर से 4 लीटर तक विस्तारित होने वाली 1 मोल आदर्श गैस पर किए गए कार्य की गणना कीजिए।
हल: \( W = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 1 \times 8.314 \times 300 \times \ln(2) \approx 1724 \, \text{J} \)

6. उपरोक्त समस्या के लिए ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए।
हल: \( Q = W = 1724 \, \text{J} \)

7. उपरोक्त प्रक्रिया के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: \( \Delta U = 0 \, \text{J} \) (क्योंकि प्रक्रिया समतापी है)

8. 300 K पर एक आदर्श गैस के 10 L से 5 L तक समतापी संपीडन के लिए, किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल: \( W = 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{5}{10}\right) \approx -862 \, \text{J} \)

9. समस्या 1 में समतापी प्रसार के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: \( \Delta S = nR\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 8.314 \times \ln(2) \approx 5.76 \, \text{J/K} \)

10. 200 K पर 2 मोल आदर्श गैस के 4 लीटर से 2 लीटर तक समतापी संपीडन के लिए ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए।
हल: \( Q = 2 \times 8.314 \times 200 \times \ln\left(\frac{2}{4}\right) \approx -1152 \, \text{J} \)

11. समतापी प्रक्रिया के लिए गिब्स मुक्त ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: \( \Delta G = 0 \) (एक बंद प्रणाली में उत्क्रमणीय समतापी प्रक्रिया के लिए, \( \Delta G = 0 \))

12. 400 K पर 6 L से 3 L तक 3 मोल आदर्श गैस के समतापी संपीडन के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल: \( \Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{3}{6}\right) \approx -17.29 \, \text{J/K} \)

13. 250 K तापमान पर 3 L से 6 L तक समतापीय रूप से विस्तारित होने वाली एक आदर्श गैस द्वारा 2 मोल के लिए किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल: \( W = 2 \times 8.314 \times 250 \times \ln(2) \approx 2874 \, \text{J} \)

14. उपरोक्त प्रक्रिया के लिए ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए।
हल: \( Q = W = 2874 \, \text{J} \)

15. उपरोक्त समतापी प्रसार के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: \( \Delta U = 0 \, \text{J} \)

16. 500 K पर 5 L से 10 L तक 4 मोल आदर्श गैस के समतापी प्रसार के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: \( \Delta S = 4 \times 8.314 \times \ln(2) \approx 23.03 \, \text{J/K} \)

17. 300 K पर 8 L से 4 L तक 1 मोल आदर्श गैस के समतापी संपीडन के लिए ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए।
हल: \( Q = 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{4}{8}\right) \approx -862 \, \text{J} \)

18. 350 K तापमान पर समतापीय रूप से 3 L से 9 L तक विस्तारित होने वाली 3 मोल आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल: \( W = 3 \times 8.314 \times 350 \times \ln(3) \approx 5362 \, \text{J} \)

19. उपरोक्त प्रक्रिया के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: \( \Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln(3) \approx 14.88 \, \text{J/K} \)

20. 200 K पर 2 मोल आदर्श गैस के 2 लीटर से 8 लीटर तक समतापी प्रसार के लिए ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए।
हल: \( Q = 2 \times 8.314 \times 200 \times \ln(4) \approx 2304 \, \text{J} \)

21. 500 K पर 4 मोल आदर्श गैस के 10 लीटर से 5 लीटर तक समतापी संपीडन के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: \( \Delta U = 0 \, \text{J} \)

22. 300 K पर 5 मोल आदर्श गैस के 5 लीटर से 15 लीटर तक समतापी प्रसार के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल: \( \Delta S = 5 \times 8.314 \times \ln(3) \approx 24.81 \, \text{J/K} \)

23. 400 K पर 6 लीटर से 2 लीटर तक समतापीय रूप से संपीड़ित होने वाली 2 मोल आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल: \( W = 2 \times 8.314 \times 400 \times \ln\left(\frac{2}{6}\right) \approx -2874 \, \text{J} \)

24. 250 K पर 3 मोल आदर्श गैस के 9 लीटर से 3 लीटर तक समतापी संपीडन के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: \( \Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{3}{9}\right) \approx -14.88 \, \text{J/K} \)

25. 350 K पर 1 मोल आदर्श गैस के 4 लीटर से 12 लीटर तक समतापी प्रसार के लिए ऊष्मा स्थानांतरण ज्ञात कीजिए।
हल: \( Q = 8.314 \times 350 \times \ln(3) \approx 1791 \, \text{J} \)

26. 500 K तापमान पर समतापीय रूप से 4 L से 8 L तक विस्तारित होने वाली 4 मोल आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल: \( W = 4 \times 8.314 \times 500 \times \ln(2) \approx 5749 \, \text{J} \)

27. 200 K पर 10 L से 5 L तक 2 मोल आदर्श गैस के समतापी संपीडन के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल: \( \Delta S = 2 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{5}{10}\right) \approx -5.76 \, \text{J/K} \)

24. 450 K पर 9 लीटर से 3 लीटर तक समतापीय रूप से संपीड़ित होने वाली 3 मोल आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल: \( W = 3 \times 8.314 \times 450 \times \ln\left(\frac{3}{9}\right) \approx -4310 \, \text{J} \)

25. 400 K पर 5 मोल आदर्श गैस के 5 लीटर से 10 लीटर तक समतापी प्रसार के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए।
हल: \( \Delta U = 0 \, \text{J} \)

26. 300 K पर 4 मोल आदर्श गैस के 6 लीटर से 18 लीटर तक समतापी प्रसार के लिए एन्ट्रॉपी परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल: \( \Delta S = 4 \times 8.314 \times \ln(3) \approx 19.85 \, \text{J/K} \)

इन समस्याओं में समतापी प्रक्रियाओं के विभिन्न पहलुओं को शामिल किया गया है, जिनमें किया गया कार्य, ऊष्मा स्थानांतरण, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन और एन्ट्रापी में परिवर्तन शामिल हैं।