integral
He manaʻo nui nā integrals i ka calculus, pili loa i nā derivatives. ʻOiai ʻo nā derivatives e wehewehe ana i ka loli o ka piʻo a i ʻole ka piʻo o kahi piʻo ma kahi kikoʻī, ʻo nā integrals, ma ka ʻaoʻao ʻē aʻe, e hoʻopuni ana i ka ʻāpana holoʻokoʻa ma lalo o ka piʻo ma luna o kahi manawa kikoʻī. He mau mea hana koʻikoʻi nā integrals i ka makemakika, physics, ʻenekinia, a me nā ʻoihana ʻē aʻe he nui. E kūkākūkā kēia ʻatikala i ke kumumanaʻo o nā integrals me nā kikoʻī, me ko lākou mōʻaukala, wehewehe, nā ʻano o nā integrals, nā noi, a me kekahi mau pilikia integral laʻana.
Moʻolelo Hoʻohui
Ua hoʻolauna mua ʻia nā Integrals e nā kānaka ʻepekema Helene kahiko ma o ke ʻano hana hoʻopau i hoʻomohala ʻia e Eudoxus a ma hope ua kaulana ʻia e Archimedes. Eia nō naʻe, hiki ke hoʻihoʻi ʻia ka hoʻomohala ʻana o nā integrals hou i ke kenekulia 17 me ka hana a Isaac Newton lāua ʻo Gottfried Wilhelm Leibniz. ʻOiai ʻo Newton lāua ʻo Leibniz e hana kūʻokoʻa ana, ua hoʻomohala lāua i ka calculus e hoʻopuni ana i nā integrals a me nā derivatives, ʻelua mau manaʻo e pili ana i ka Fundamental Theorem of Calculus. Ke ʻōlelo nei kēia theorem he hana inverse ka hoʻohui a me ka differentiation.
Ua hoʻohana ʻo Newton i nā integrals i loko o ke ʻano o ka physics e helu i ka ʻāpana ma lalo o kahi piʻo e hōʻike ana i ka loli o ka wikiwiki me ka manawa, kahi manaʻo koʻikoʻi i ka mechanics classical. Ma ka ʻaoʻao ʻē aʻe, ua hoʻomohala ʻo Leibniz i ka hōʻailona integral ∫ a mākou e hoʻohana nei i kēia lā, i loaʻa mai ka leka lōʻihi "s," pōkole no summa (Latin no "sum").
Wehewehena o ka Hoʻohui
Hiki ke manaʻo ʻia ka integral o kahi hana he "anti-derivative." Ma ke ʻano maʻamau, aia ʻelua ʻano integral i hoʻohana pinepine ʻia: ka integral indefinite a me ka integral definite.
Hoʻohui palena ʻole
ʻO ka hoʻohui palena ʻole o kahi hana f(x) ʻo ia ka hana F(x) nona ka derivative o F(x) ʻo f(x). Ua kākau ʻia kona hōʻailona penei:
∫ f(x) dx = F(x) + C
kahi ʻo C kahi kūpaʻa o ka hoʻohui ʻana i koi ʻia no ka mea ʻo ka derivative o kahi kūpaʻa he zero. ʻO kahi laʻana maʻalahi o kahi integral indefinite penei:
∫ 2x dx = x² + C
Hoʻohui Paʻa
ʻO ka hoʻohui paʻa o kahi hana f(x) mai a a i b e wehewehe ana i ka ʻāpana ma lalo o ke kūlou mai x = a a i x = b. Ua kākau ʻia penei:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) – F(a)
kahi ʻo F(x) ka antiderivative o f(x). Eia kekahi laʻana:
∫[1,3] 2x dx = (3² – 1²) = 8
Nā ʻAno o nā Hoʻohui
Ma waho aʻe o nā integrals kumu i kūkākūkā ʻia ma luna, aia kekahi mau ʻano integrals like ʻole i hoʻohana ʻia i ka makemakika a me nā noi hana. ʻO kekahi o kēia mau mea:
Hoʻohui pālua
ʻO ka hoʻohui pālua e pili ana i ka hoʻohui ʻana ma luna o ʻelua a ʻoi aku paha mau loli. Hoʻohana pinepine ʻia ia i ka calculus multidimensional e helu i nā leo o lalo o ka ʻilikai a i ʻole nā waiwai helu no nā hana o ʻelua a ʻoi aku paha mau loli. ʻO nā hiʻohiʻona:
∫∫_R f(x,y) dA
Hoʻohuihui ʻo Lebesgue
ʻO ka integral Lebesgue kahi hoʻolaha laulā o ka integral Riemann i hoʻohana ʻia e lawelawe i nā hana i kūlike ʻole loa. He mea nui loa kēia integral i ka loiloi maoli a me ke kumumanaʻo probabili.
Hoʻohui Laina
Hoʻohui ka hoʻohui laina i kahi hana ma kahi piʻo a i ʻole ala i hāʻawi ʻia i loko o kahi mokulele a i ʻole kahi ākea. He mea pono loa ia i ka physics a me ka ʻenekinia no ka helu ʻana i ka hana i hana ʻia e kahi ikaika ma kahi ala i hāʻawi ʻia.
∫_C F · dr
Hoʻohui ʻili
Hoʻololi ka hoʻohui ʻili i ka hoʻohui pālua e pili i nā ʻili ma kahi ākea ʻekolu-dimensional. Hoʻohana pinepine ʻia ia i ka electrodynamics a me ka mechanics fluid.
∫∫_S f(x,y,z) dS
Hoʻopili Hoʻohui
He nui nā noi o nā Integrals ma nā ʻano ʻepekema like ʻole. ʻO kekahi o nā noi koʻikoʻi:
ʻO ke kinoea
I ke ʻano o ka ʻepekema kino, hoʻohana pinepine ʻia nā integrals e helu i ka hana, ka ikehu, a me nā nui kino like ʻole. No ka laʻana, hoʻohana ʻia nā integrals e helu i ka hana i hana ʻia e kahi ikaika i ka neʻe ʻana o kahi ʻāpana:
W = ∫ F(x) dx
He mea nui hoʻi nā hoʻohui i ka loaʻa ʻana o ka nuipa, ke kikowaena o ka nuipa, ka manawa o ka inertia, a me ka hoʻolaha ʻana o ka nuipa i nā mea kino.
Heluhelu
Ma nā helu helu a me ke kumumanaʻo probabilidad, hoʻohana ʻia nā integrals e helu i nā probabilidad a me nā manaʻolana o nā hoʻolaha probabilidad like ʻole. ʻO kahi laʻana ka helu ʻana i ka probabilidad cumulative o kahi loli random hoʻomau:
P(X ≤ x) = ∫_(-∞, x) f(t) dt
hoʻokele waiwai
I loko o ka hoʻokele waiwai, hoʻohana ʻia nā integrals e helu i ka huina o nā loaʻa, nā kumukūʻai, a me ke keu o ka mea kūʻai aku/mea hana. No ka laʻana, e helu i nā kumukūʻai āpau ma ke ʻano o ke kumukūʻai palena:
Huina Kumukūʻai = ∫ MC(q) dq
ʻEnehana
I ke ʻenekinia, hoʻohana pinepine ʻia nā integrals i ka nānā ʻana i ke koʻikoʻi, ka deformation, a me ka hoʻoili wela. Hoʻohana pū ka ʻenekinia hoʻomalu i nā integrals no nā ʻōnaehana hoʻomalu integral i nā mea hoʻokele PID (Proportional-Integral-Derivative).
Nā Laʻana Pilikia Hoʻohui
Eia kekahi mau hiʻohiʻona o nā pilikia hoʻohui a me kā lākou hoʻonā:
Laʻana 1: Hoʻohui palena ʻole
E huli i ka integral palena ʻole o f(x) = 3x²:
∫ 3x² dx
Hoʻoponopono:
Hiki ke hoʻoponopono ʻia kēia integral me ka hoʻohana ʻana i ke kānāwai integral kumu. Hoʻohui mākou i hoʻokahi i ka exponent a laila puʻunaue ʻia e ka exponent hou:
∫ 3x² dx = 3 (1/3)x³ = x³ + C
Laʻana 2: Hoʻohui Paʻa
E huli i ka ʻāpana ma lalo o ke kiʻikuhi f(x) = 2x mai 1 a 4:
∫[1,4] 2x dx
Hoʻoponopono:
ʻO ka mea mua, loaʻa iā mākou ka antiderivative o 2x, ʻo ia hoʻi ʻo x². A laila, hoʻopili mākou i nā palena haʻahaʻa a me nā palena kiʻekiʻe:
∫[1,4] 2x dx = [x²]₁^₄ = 4² – 1² = 16 – 1 = 15
Ka hopena
He mau manaʻo koʻikoʻi nā integrals i ka calculus, e hopu ana i ka manaʻo o ka ʻāpana ma lalo o kahi piʻo a me kāna mau noi he nui. Mai ko lākou mōʻaukala ma Helene kahiko a hiki i nā hoʻomohala koʻikoʻi e Newton lāua ʻo Leibniz, i ko lākou ʻano like ʻole a me nā noi i ka ʻepekema a me ka ʻenekinia, he kuleana koʻikoʻi nā integrals i loko o ke ʻano makemakika hou. ʻO ka hoʻomaopopo ʻana i nā integrals ʻaʻole wale e kōkua iā mākou e hoʻoponopono i nā pilikia makemakika akā wehe pū i nā ʻike i kā lākou mau noi he nui i ke ola o kēlā me kēia lā a me ke ao ʻoihana.
