Nā nīnau hoʻohālike a me ke kūkākūkā ʻana no ka regression linear
ʻO ka regression linear kahi ʻano helu i hoʻohana ʻia e hoʻoholo i ka pilina ma waena o ʻelua a ʻoi aku paha mau loli. Hoʻohana nui ʻia kēia ʻano hana ma nā ʻano like ʻole, me ka hoʻokele waiwai, ka ʻoihana, nā ʻepekema pili kanaka, a me nā ʻepekema kūlohelohe. Ma kēia ʻatikala, e kūkākūkā mākou i ka regression linear, pehea e helu ai, a hāʻawi i kekahi mau pilikia hoʻohālike me nā wehewehe e kōkua i ka poʻe heluhelu e hoʻomaopopo hohonu i kēia manaʻo.
Ke Hoʻomaopopo ʻana i ka Linear Regression
ʻO ka regression linear kahi ʻano loiloi i hoʻohana ʻia e hoʻohālike i ka pilina ma waena o hoʻokahi a ʻoi aku paha mau loli kūʻokoʻa (nā wānana) a me kahi loli hilinaʻi (pane). Pili ka regression linear maʻalahi i hoʻokahi loli kūʻokoʻa a me hoʻokahi loli hilinaʻi, ʻoiai ʻo ka regression linear lehulehu e pili ana i nā loli kūʻokoʻa he nui.
ʻO ke kaulike o kahi laina regression linear maʻalahi:
\[ Y = a + bX \]
Ma hea:
– ʻO \( Y \) ke loli hilinaʻi.
– ʻO \( X \) ke ʻano loli kūʻokoʻa.
– ʻO \( a \) ka intercept, ʻo ia ka waiwai o Y ke X = 0.
– ʻO \( b \) ke koina regression, ʻo ia hoʻi, ka nui o ka loli ʻana o Y inā loli ʻo X ma hoʻokahi anakahi.
Nā ʻanuʻu hoʻihoʻi laina
1. E hōʻiliʻili i ka ʻikepili: ʻO ka mea mua, e hōʻiliʻili i ka ʻikepili e kālailai ʻia.
2. ʻIkepili Hoʻolālā: E hana i kahi hoʻolālā hoʻopuehu e ʻike ai inā he pilina linear ma waena o nā loli.
3. E helu i ke Koehana Regression: E hoʻohana i ke ʻano hana liʻiliʻi loa e hoʻoholo ai i ka laina maikaʻi loa.
4. Ke hoʻāʻo ʻana i ke kumu hoʻohālike: E hoʻāʻo i ke koʻikoʻi o nā coefficients regression me kahi t-test a hoʻoholo i ka waiwai R-squared e ʻike ai pehea ka kūpono o ke kumu hoʻohālike i ka ʻikepili.
Nā Nīnau Laʻana a me ke Kūkākūkā
Laʻana Nīnau 1: Ka Hoʻihoʻi Laina Maʻalahi
Nīnau:
Makemake kekahi mea noiʻi e ʻike i ka pilina ma waena o ka helu o nā hola aʻo (X) a me nā helu hoʻokolohua o nā haumāna (Y). Penei nā ʻikepili i loaʻa:
| Nā Hola Haʻawina (X) | Ka helu hoʻokolohua (Y) |
|———————–|———————–|
2 | 70 |
3 | 75 |
5 | 80 |
7 | 85 |
8 | 90 |
E hana i kahi hoʻohālikelike regression linear mai kēia ʻikepili!
Kūkākūkā:
1. Ke helu ʻana i ka awelika:
\[
\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 5
\]
\[
\pa{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]
2. Ke helu ʻana i ke Koehana Regression \( b \):
\[
b = \frac{\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
huina (X_i – X})(Y_i – Y}) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
huina (X_i – X})^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = \frac{80}{26} \approx 3.08
\]
3. Ke helu nei i ka Intercept \( a \):
\[
a = \bar{Y} – b\bar{X}
\]
\[
a = 80 – 3.08 \times 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]
4. Hoʻohālikelike Regression:
\[
ʻO Y = 64.6 + 3.08X
\]
No laila, ʻo ke kaulike regression linear no ka ʻikepili ʻo \( Y = 64.6 + 3.08X \). ʻO ke ʻano kēia, ua manaʻo ʻia e hoʻonui kēlā me kēia hola hou o ke aʻo ʻana i ka helu hoʻāʻo ma 3.08 mau helu.
Laʻana Nīnau 2: Hoʻāʻo Hoʻohālike a me ka Wehewehena
Nīnau:
E hoʻomau me ka ʻikepili like, e helu i ka waiwai R-squared (R²) e ana i ke kūpono o ke kumu hoʻohālike i ka ʻikepili. Eia kekahi, e hoʻāʻo i ke koʻikoʻi o ka coefficient regression \( b \).
Kūkākūkā:
1. E helu i ka huina o nā huinahā (SST), ka huina o nā huinahā regression (SSR), a me ka huina hewa o nā huinahā (SSE):
\[
SST = \sum (Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]
\[
SSR = \sum (\hat{Y}_i – \bar{Y})^2
\]
Ma kahi o \( \hat{Y}_i \) ka waiwai i wānana ʻia o ka hoʻohālikelike regression:
\[
\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\kau{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
\bar{Y} = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]
2. Ke helu nei i ka SSE:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]
3. Ke helu ʻana i ka R-squared:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \approx 0.6
\]
ʻO ka waiwai R-squared o 0.6 e hōʻike ana ua wehewehe kēia kumu hoʻohālike ma kahi o 60% o ka loli o ka ʻikepili. Hōʻike kēia ua kūpono ka laina regression i ka ʻikepili.
4. Hoʻāʻo-t no ke koʻikoʻi o ke koʻikoʻi \( b \):
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} / \sqrt{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{33.4} / \sqrt{26} \approx 1.13
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \approx 2.73
\]
Me kahi \(t-statistic \approx 2.73 \), inā mākou e hoʻohana i kahi paepae maʻamau no ke koʻikoʻi (α = 0.05), hoʻohālikelike mākou iā ia me ka papa-t. No ka laʻana, no \(df = 3 \), ʻo ka \(t \) koʻikoʻi ma kahi o 2.353. A laila \(t-observed > t-critical \), e hōʻike ana he koʻikoʻi ke koʻikoʻi.
Ka hopena
Ma kēia ʻatikala, ua uhi mākou i nā kumu o ka regression linear, pehea e helu ai i ka coefficient regression a me ka intercept, a pehea e wehewehe ai i nā hopena me ka hoʻohana ʻana i nā pilikia laʻana. He mea nui ka hoʻomaʻamaʻa pinepine ʻana me nā ʻikepili like ʻole e lilo i akamai i ka hoʻohana ʻana i kēia ʻano hana. He mea hana waiwai nui ka regression linear i ka nānā ʻana i ka ʻikepili a hiki ke hāʻawi i nā ʻike hohonu i nā pilina ma waena o nā loli.
