Nā nīnau hoʻohālike e kūkākūkā ana i nā moʻo helu
ʻO nā kaʻina helu he manaʻo nui ia i ka makemakika e ʻike pinepine ʻia ana i nā pilikia like ʻole, ma ke kula kiʻekiʻe a me ke kula kiʻekiʻe. Pili kēia manaʻo i kahi kaʻina o nā helu kahi i loaʻa ai kēlā me kēia huaʻōlelo i ka hopena o ka hoʻohui ʻana a i ʻole ka unuhi ʻana i kahi helu mau mai ka huaʻōlelo ma mua. Ma kēia ʻatikala, e kūkākūkā mākou i kekahi mau pilikia hoʻohālike a me kā lākou mau hoʻonā e hoʻomaopopo hou aku i ke kumumanaʻo o nā kaʻina helu.
Ke Hoʻomaopopo ʻana i nā Moʻo Arithmetic
ʻO kahi moʻo helu he moʻo ia i loaʻa kahi ʻokoʻa mau (ʻokoʻa) ma waena o ʻelua mau huaʻōlelo i ka lālani. No ka laʻana, inā loaʻa i kahi moʻo helu ka huaʻōlelo mua \(a\) a me ka ʻokoʻa \(d\), a laila hiki ke kākau ʻia nā huaʻōlelo penei:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, \ldots \]
Inā makemake mākou e ʻimi i ka huaʻōlelo nth o kēia moʻo, ʻo ke ʻano hana no ka huaʻōlelo nth (\(U_n\)) penei:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
I kēia manawa, hiki ke helu ʻia ka huina o nā huaʻōlelo n mua o kahi moʻo arithmetic (\(S_n\)) me ka hoʻohana ʻana i ke ʻano:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Nā Nīnau Laʻana a me ke Kūkākūkā
Laʻana Nīnau 1
Nīnau: Hāʻawi ʻia kahi moʻo helu me ka hua mua \(a = 5\) a me ka ʻokoʻa maʻamau \(d = 3\). E huli i ka hua 10 o ka moʻo.
Kūkākūkā:
No ka loaʻa ʻana o ka huaʻōlelo 10 (\(U_{10}\)), hiki iā mākou ke hoʻohana i ke ʻano huaʻōlelo nth:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
No laila, ʻo ka huaʻōlelo 10 o ka moʻo he 32.
Laʻana Nīnau 2
Nīnau: E huli i ka huina o nā hua mua he 15 o ka moʻo helu nona ka hua mua ʻo \(a = 4\) a ʻo ka ʻokoʻa maʻamau ʻo \(d = 7\).
Kūkākūkā:
No ka loaʻa ʻana o ka huina o nā huaʻōlelo mua he 15 (\(S_{15}\)), hiki iā mākou ke hoʻohana i ke ʻano hana no ka huina o nā huaʻōlelo n mua:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
No laila, ʻo ka huina o nā huaʻōlelo mua he 15 o ka moʻo he 795.
Laʻana Nīnau 3
Nīnau: Ua ʻike ʻia ʻo ka huaʻōlelo 5 o kahi moʻo helu he 20 a ʻo ka huaʻōlelo 12 he 48. E huli i ka huaʻōlelo mua (\(a\)) a me ka ʻokoʻa maʻamau (\(d\)) o ka moʻo.
Kūkākūkā:
Mai nā kūlana i hāʻawi ʻia:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Loaʻa iā mākou ʻelua mau hoʻohālikelike linear me ʻelua mau loli e hiki ai iā mākou ke hoʻoponopono:
1. \( a + 4d = 20 \)
2. \( a + 11d = 48 \)
Mai ka hoʻohālikelike 1, hiki iā mākou ke hōʻike iā \(a\) ma ke ʻano o \(d\):
\[ a = 20 – 4d \]
I kēia manawa, hoʻololi mākou iā \(a\) i loko o ka hoohalike 2:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
I kēia manawa, hoʻololi mākou i ka waiwai o \(d\) i loko o ka hoohalike \(a = 20 – 4d\):
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
No laila, ʻo ka hua mua o ka moʻo he 4 a ʻo ka ʻokoʻa maʻamau he 4.
Laʻana Nīnau 4
Nīnau: Ehia mau huaʻōlelo e pono ai no kahi moʻo helu me ka huaʻōlelo mua \(a = 2\) a me ka ʻokoʻa maʻamau \(d = 5\) e hoʻohui i 200?
Kūkākūkā:
I kēia hihia, pono mākou e ʻimi i ka huina o nā huaʻōlelo n mua (\(S_n\)) i like me 200. E hoʻohana i ke ʻano hana no ka huina o nā huaʻōlelo n mua:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200 \]
E pani i nā waiwai o \(a\) a me \(d\):
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[ n (5n – 1) = 400 \]
He hoʻohālikelike quadratic kēia. No ka hoʻoponopono ʻana, hoʻololi mākou i kona ʻano:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
E hoʻohana i ke ʻano hana quadratic \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Ma kēia hihia \(a = 5\), \(b = -1\), a me \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
Ua kokoke ka waiwai o \(\sqrt{8001}\) i 89.42, a laila:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Lawe mākou i nā waiwai maikaʻi:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \approx \frac{90.42}{10} \]
\[ n \approx 9.042 \]
No laila, ʻo ka helu o nā huaʻōlelo i koi ʻia he 9 mau huaʻōlelo (inā ua hoʻopuni ʻia).
Ka hopena
He kumuhana koʻikoʻi nā kaʻina helu i ka makemakika. ʻO ka hoʻomaopopo piha ʻana i ka hua mua, ka ʻokoʻa maʻamau, ka hua nth, a me ka huina o nā hua n mua he mea waiwai nui ia no ka hoʻoponopono ʻana i nā pilikia like ʻole. Ma ka hoʻohana ʻana i nā laʻana a me nā kūkākūkā ma luna, manaʻolana ʻia e loaʻa i ka poʻe heluhelu kahi ʻike maikaʻi aʻe i nā manaʻo kumu o nā kaʻina helu.
