Nā nīnau hoʻohālike e kūkākūkā ana i nā moʻo geometric
He manaʻo nui nā moʻo geometric i ka makemakika i aʻo pinepine ʻia ma ke kula kiʻekiʻe. Aia kēia mau moʻo i kahi hui o nā helu, ʻo kēlā me kēia he huahana o ka helu ma mua e kahi mau i ʻike ʻia he "ratio." E uhi ana kēia ʻatikala i kekahi mau pilikia hoʻohālike a me nā kūkākūkā ʻana o nā moʻo geometric, me ka manaʻolana e kōkua i ka poʻe heluhelu e hoʻomaopopo maikaʻi i kēia manaʻo.
Ke Hoʻomaopopo ʻana i nā Moʻo Geometric
ʻO kahi moʻo geometric kahi moʻo o nā helu i hoʻokumu ʻia ma ka hoʻonui ʻana i kahi helu mua (a) me kahi lakio paʻa (r). Ma keʻano laulā, ʻo ke ʻano laulā o kahi moʻo geometric penei:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} \]
Maanei:
- ʻO "a" ka hua mua o ka moʻo.
– ʻO “r” ka lakio o hoʻokahi huaʻōlelo i ka huaʻōlelo ma mua.
– ʻO “n” ka huaʻōlelo nth ma ke kaʻina.
Nā Nīnau Laʻana a me ke Kūkākūkā
E kūkākūkā kākou i kekahi mau pilikia hoʻohālike e hoʻomaopopo hou aʻe e pili ana i nā moʻo geometric.
Laʻana Nīnau 1
Nīnau:
Hāʻawi ʻia kahi moʻo geometric me ka huaʻōlelo mua (a) he 3 a ʻo ka lakio (r) he 2. E hoʻoholo:
1. ʻO ka huaʻōlelo 5 o ke kaʻina.
2. ʻO ka huina o nā huaʻōlelo mua 6 o ke kaʻina.
Kūkākūkā:
1. Hiki ke helu ʻia ka huaʻōlelo 5 (U5) me ka hoʻohana ʻana i ke ʻano no ka huaʻōlelo nth o kahi moʻo geometric, ʻo ia hoʻi:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
Ke pani nei iā a = 3, r = 2, a me n = 5 i loko o ke ʻano haʻilula:
\[ U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} \]
\[ U_5 = 3 \cdot 2^4 \]
\[ U_5 = 3 \cdot 16 \]
\[ U_5 = 48 \]
No laila, ʻo ka huaʻōlelo 5 o ka moʻo he 48.
2. Hiki ke helu ʻia ka huina o nā huaʻōlelo mua 6 (S6) o kahi moʻo geometric me ka hoʻohana ʻana i ke ʻano hana no ka huina o nā huaʻōlelo n mua, ʻo ia hoʻi:
\[ S_n = a \left( \frac{r^n – 1}{r – 1} \ʻākau) \]
Ke pani nei iā a = 3, r = 2, a me n = 6 i loko o ke ʻano haʻilula:
\[ S_6 = 3 \left( \frac{2^6 – 1}{2 – 1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \left( \frac{64 – 1}{1} \right) \]
\[ S_6 = 3 \hema( 63 \ʻākau) \]
\[ S_6 = 189 \]
No laila, ʻo ka huina o nā huaʻōlelo mua 6 o ke kaʻina he 189.
Laʻana Nīnau 2
Nīnau:
He 27 ka huaʻōlelo 3 o kahi moʻo geometric a he 243 ka huaʻōlelo 5. E hoʻoholo i ka waiwai o ka huaʻōlelo mua (a) a me ka lakio (r).
Kūkākūkā:
Hāʻawi ʻia ʻo U3 = 27 a me U5 = 243. Ke hoʻohana nei i ke ʻano no ka huaʻōlelo nth o kahi moʻo geometric:
\[ U_n = a \cdot r^{n-1} \]
No U3:
\[ U_3 = a \cdot r^2 \]
\[ 27 = a \cdot r^2 \] \[ (1) \]
No U5:
\[ U_5 = a \cdot r^4 \]
\[ 243 = a \cdot r^4 \] \[ (2) \]
Ke hoʻohālikelike nei i nā kaulike (1) a me (2) e hoʻopau i kahi:
\[ \frac{U_5}{U_3} = \frac{a \cdot r^4}{a \cdot r^2} \]
\[ \frac{243}{27} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ a i ʻole } r = -3 \]
E hoʻololi i ka waiwai o r i loko o ka hoohalike (1):
Inā \( r = 3 \):
\[ 27 = a \cdot 3^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
Inā \( r = -3 \):
\[ 27 = a \cdot (-3)^2 \]
\[ 27 = a \cdot 9 \]
\[ a = 3 \]
No laila, ʻo ka huaʻōlelo mua (a) he 3, a hiki i ka lakio (r) ke 3 a i ʻole -3.
Laʻana Nīnau 3
Nīnau:
E huli i ka huina pau ʻole o ka moʻo geometric ma lalo nei inā ʻo ka huaʻōlelo mua (a) he 8 a ʻo ka lakio (r) he 1/2.
Kūkākūkā:
Hiki ke helu ʻia ka huina pau ʻole o kahi moʻo geometric me ka hoʻohana ʻana i ke ʻano hana:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 – r} \]
Ke pani nei iā a = 8 a me r = 1/2 i loko o ke ʻano:
\[ S_{\infty} = \frac{8}{1 – \frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{\infty} = 8 \times 2 \]
\[ S_{\infty} = 16 \]
No laila, ʻo ka huina pau ʻole o ka moʻo geometric he 16.
Laʻana Nīnau 4
Nīnau:
He 12 ka huaʻōlelo ʻelua o kahi moʻo geometric a he 108 ka huaʻōlelo ʻehā. E hoʻoholo i ka lakio a me ka huaʻōlelo mua o ka moʻo.
Kūkākūkā:
Hāʻawi ʻia \( U_2 = 12 \) a me \( U_4 = 108 \). Ke hoʻohana nei i ke ʻano no ka huaʻōlelo nth o kahi moʻo geometric:
No \( U_2 \):
\[ U_2 = a \cdot r \]
\[ 12 = a \cdot r \] \[ (1) \]
No \( U_4 \):
\[ U_4 = a \cdot r^3 \]
\[ 108 = a \cdot r^3 \] \[ (2) \]
Ke hoʻohālikelike nei i nā kaulike (1) a me (2) e hoʻopau i kahi:
\[ \frac{U_4}{U_2} = \frac{a \cdot r^3}{a \cdot r} \]
\[ \frac{108}{12} = r^2 \]
\[ 9 = r^2 \]
\[ r = 3 \text{ a i ʻole } r = -3 \]
E hoʻololi i ka waiwai o r i loko o ka hoohalike (1):
Inā \( r = 3 \):
\[ 12 = a \cdot 3 \]
\[ a = 4 \]
Inā \( r = -3 \):
\[ 12 = a \cdot (-3) \]
\[ a = -4 \]
No laila, hiki i ka huaʻōlelo mua (a) ke 4 a i ʻole -4, a hiki i ka lakio (r) ke 3 a i ʻole -3.
Ka hopena
He manaʻo makemakika koʻikoʻi nā moʻo geometric i hoʻohana pinepine ʻia ma nā ʻano like ʻole. Ma ka hoʻomaopopo ʻana i nā kumu a me ka hoʻomaʻamaʻa ʻana i nā mākau hoʻoponopono pilikia, hiki iā mākou ke mākaukau i ka hoʻomaopopo ʻana a me ka hoʻopili ʻana i ke kumumanaʻo. Aia i loko o kēia ʻatikala kekahi mau pilikia hoʻohālike a me nā kūkākūkā e kōkua i ka poʻe heluhelu e aʻo a hoʻomaopopo hohonu i nā moʻo geometric. Lana ko mākou manaʻo he kōkua kēia!
