Arkimedesen Legearen Materiala
Ikusi al duzu inoiz itsasontzi bat? Pertsonalki ikusi ez baduzu, zorionez telebistan edo interneten ikusi duzu. Masa oso handiko itsasontzi bat ez da hondoratzen, arroka txiki eta arin bat, berriz, bai. Zergatik da horrela? Erantzuna nahiko erraza da flotagarritasunaren eta Arkimedesen printzipioaren kontzeptuak ulertzen badituzu.
Eguneroko bizitzan, fluido batean jarritako objektuek, hala nola arroka batek, pisu gutxiago dutela ikusiko dugu objektua fluidoan ez dagoenean baino. Zailtasunak izan ditzakezu arroka bat lurzoruaren gainazaletik altxatzeko, baina arroka bera erraz altxatzen da igerilekuaren hondotik. Hori flotagarritasun-indarraren ondorioz gertatzen da. Flotagarritasuna sakonera desberdinetan fluidoen presio-aldeagatik gertatzen da. Fluidoen presioa sakonerarekin handitzen da, zenbat eta sakonago fluidoa, orduan eta handiagoa da fluidoen presioa. Objektu bat fluido batean jartzen denean, presio-aldea egongo da objektuaren gaineko fluidoaren eta objektuaren azpiko fluidoaren artean. Objektuaren behealdean dagoen fluidoak presio handiagoa du objektuaren goialdean dagoen fluidoak baino.
Flotagarritasuna
Irudian, objektu bat uretan flotatzen ikusten da. Objektuaren azpiko fluidoak presio handiagoa du objektuaren gaineko fluidoak baino. Hau da, objektuaren azpiko fluidoak objektuaren gaineko fluidoak baino sakonera handiagoa duelako (h2 > h1).
F2 = fluidoak objektuaren behealdean egiten duen indarra, F1 = fluidoak objektuaren goialdean egiten duen indarra, A = objektuaren azalera
F2 eta F1 arteko aldea fluidoak objektuari eragiten dion indar osoa da, eta horri flotagarritasun-indar deitzen diogu. Flotagarritasun-indarraren magnitudea hau da:
F flotagarritasuna = F 2 − F 1
F flotagarria = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F flotagarria = ρ g A ( h2 − h1 )
F flotagarritasuna = ρ g A h
F flotagarritasuna = ρ g V
Informazioa:
ρ = fluidoaren dentsitatea
g = grabitatearen azelerazioa
V = fluidoan dagoen objektuaren bolumena
beraz, goiko flotagarritasunaren (F flotagarritasuna) magnitudea adierazten duen ekuazioa honela idatz daiteke:
F flotagarria = ρ F g V → m = ρ V
F flotagarritasuna = m F g
F flotagarritasuna = w F
m F g = w F = murgilduta dagoen objektuaren bolumen bera duen fluidoaren pisua.
Flotagarritasun-indarraren adibidea
Arkimedesen printzipioa
Goiko ekuazioan oinarrituta, esan dezakegu flotazio-indarra desplazatutako fluidoaren pisuaren berdina dela, desplazatutako fluidoaren bolumena fluidoan murgilduta dagoen objektuaren bolumenaren berdina dela.
Objektu bat fluido batean murgilduta badago eta flotatzen badu, objektuaren zati bat bakarrik urperatuta dagoelarik, orduan desplazatutako fluidoaren bolumena fluidoan murgildutako objektuaren zatiaren bolumenaren berdina da. Objektuaren forma edo tamaina edozein dela ere, gauza bera gertatuko zaie guztiei. Arkimedesen (K.a. 287-212) lana da hau, gaur egun Arkimedesen Printzipioa bezala ezagutzen dena.
Arkimedesen printzipioak honako hau dio:
Objektu bat fluido batean guztiz edo partzialki murgilduta dagoenean, fluidoak goranzko indar bat (flotazio-indarra) eragingo dio objektuari, non goranzko indarraren (flotazio-indarra) magnitudea desplazatutako fluidoaren pisuaren berdina den.
Arkimedesen istorioa
K.a. 287 eta 212 artean bizi izan zen Arkimedesi Hieron II.a erregeak enkargatu zion erregearentzat egindako koroa urre puruzkoa zen ikertzea. Hasieran, Arkimedesek ez zuen ulertzen ea koroa urre puruzkoa zen edo beste metal batzuk zituen. Arazoa zen koroa forma irregularrekoa zela eta ezin zela suntsitu urre purua zen zehazteko.
Errege-koroa urre puruzkoa den ala ez zehazteko ideia lehenik koroaren grabitate espezifikoa zehaztea da eta gero urrearen grabitate espezifikoarekin alderatzea. Koroa urre puruzkoa bada, orduan koroaren grabitate espezifikoa = urrearen grabitate espezifikoa da.
Objektu baten grabitate espezifikoa objektuaren aireko pisuaren eta objektuaren bolumen bera duen uraren pisuaren arteko erlazioa da. Matematikoki, honela idazten da:
Nola zehaztu daiteke objektu baten bolumenaren berdina den uraren pisua?
Arkimedesen arabera, objektuaren bolumenaren bolumen berdina duen uraren pisua = objektua hondoratzen denean (objektu osoa uretan murgilduta dagoenean) flotazio-indarraren magnitudea. Hau uretan pisatzean objektuak galtzen duen pisuaren berdina da. Beraz:
Koroaren grabitate espezifikoa zehazteko, koroa lehenik airean pisatzen da (Koroaren Pisua Airean). Ondoren, koroa uretan sartzen da eta berriro pisatzen da galdutako koroaren pisua lortzeko. Beraz:
Koroaren grabitate espezifikoa lortu ondoren, urrearen grabitate espezifikoarekin alderatzen da. Urrearen grabitate espezifikoa 19,3 da. Koroaren grabitate espezifikoa urrearen grabitate espezifikoaren berdina bada, orduan koroa urre puruzkoa da. Hala ere, koroa ez bada urre puruzkoa, orduan koroaren grabitate espezifikoa ez da urrearen grabitate espezifikoaren berdina izango.
Zergatik ez dira itsasontziak hondoratzen?
Objektu baten dentsitatea uraren dentsitatea baino txikiagoa bada, objektuak flotatuko du. Alderantziz, objektu baten dentsitatea uraren dentsitatea baino handiagoa bada, objektua hondoratu egingo da. Itsasontzi gehienak burdinaz eta altzairuz eginda daude. Burdinaren eta altzairuaren dentsitatea = 7,8 x 10³ kg /m3 da, eta uraren dentsitatea = 1,00 x 10³ kg /m3 . Badirudi burdinaren eta altzairuaren dentsitatea uraren dentsitatea baino handiagoa dela. Kasu honetan, burdinaren eta altzairuaren grabitate espezifikoa = 7,8. Burdinaz eta altzairuz egindako itsasontziek hondoratu egin beharko lukete. Zergatik ez dira hondoratzen itsasontziak? Itsasontziaren dentsitate osoa uraren edo itsasoko uraren dentsitatea baino txikiagoa da.
Arkimedesen legeari buruzko galdera adibideak
1. galderaren adibidea:
40 kg-ko harri bat igerileku baten hondoan dago. Harriaren bolumena 0,2 m3 bada , zein da harria altxatzeko behar den gutxieneko indarra ?
Eztabaida
Jakina da:
Harriaren masa (m) = 40 Kg
Harriaren bolumena (V) = 0,02 m³
Uraren dentsitatea = 1000 Kg/ m³
Grabitatearen azelerazioa (g) = 10 m/ s²
Galdera: F gutxienekoa
Erantzuna:
F flotagarritasuna = w F
F flotagarritasuna = m F g → m = pV
F flotagarritasuna = ρ F g V
F flotagarritasuna = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
F flotagarritasuna = 200 kg m/ s²
F flotagarritasuna = 200 N
Harriaren pisua (w) = mg
Harriaren pisua = (40 kg)(10 m/ s² )
Harriaren pisua = 400 kg m/ s²
Harriaren pisua = 400 N
Harri bat altxatzeko behar den gutxieneko indarra:
Harriaren pisua – Flotagarritasun indarra = 400 N – 200 N = 200 Newton.
2. galderaren adibidea:
Objektu baten pisua airean = 5000 kg m/s 2 eta objektuaren pisua uretan = 4000 kg m/s 2. Objektuaren dentsitatea = 2000 kg/m 3 bada , zein da objektuaren masa eta bolumena? g = 10 m/s 2
Eztabaida
Grabitatearen azelerazioa (g) = 10 m/ s²
Objektuaren dentsitatea = 2000 kg/ m³
Uraren dentsitatea = 1000 kg/ m³
Objektuaren pisua airean = 5000 kg m/ s²
Objektuaren pisua uretan = 4000 kg m/ s²
Flotazio-indarra (F flotazio-indarra) = Objektuaren pisua airean – Objektuaren pisua uretan
F flotagarritasuna = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F flotagarritasuna = 1000 kg m/ s²
F flotagarritasuna = Desplazatutako uraren pisua
F flotagarritasuna = (uraren masa)(g)
F flotagarritasuna = (desplazatutako uraren bolumena)(uraren dentsitatea)(g)
Desplazatutako uraren bolumena = Uretan murgildutako objektuaren bolumena 😉
Beraz, objektuaren bolumena = 0,1 m³
Objektuaren masa = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = (2000 kg / m 3 )( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Objektuaren masa = 200 kg
3. galderaren adibidea:
Zenbat helio behar da puxika batek 500 kg-ko zama altxatu behar badu?
Eztabaida
Helioaren dentsitatea = 0,1786 kg/ m³
Airearen dentsitatea = 1,293 kg/ m³
Flotazio-indarra = Desplazatutako airearen pisua = Kargaren pisua + Helioaren pisua
Flotazio-indarra = Kargaren pisua + helioaren pisua
Flotagarritasun indarra = (kargaren masa)(g) + (helioaren masa)(g)
Flotazio-indarra = (kargaren masa + helioaren masa)g —- 1. ekuazioa
Flotagarritasun indarra = Desplazatutako airearen pisua
Flotagarritasun indarra = (desplazatutako airearen masa)(g) —- 2. ekuazioa
1. eta 2. ekuazioak konbinatzen ditugu:
(kargaren masa + helioaren masa)(g) = (desplazatutako airearen masa)(g)
kargaren masa + helioaren masa = desplazatutako airearen masa
500 kg + (ρ helio)(V helio) = (ρ aire)( V aire)
500 kg = (ρ airea)(V airea) – (ρ helioa)(V helioa)
Desplazatutako airearen bolumena (V aire) = Globoa betetzen duen helioaren bolumena (V helio)
500 kg = (ρ airea – ρ helioa)(V)
Lurraren gainazalean pisu bat altxatzeko behar den helio bolumen minimoa da hau. Globoak gorago flotatzen jarrai dezan, helio bolumena handitu behar da. Hau da, airearen dentsitatea altuerarekin gutxitzen delako.
