Banaketa-funtzio normalaren adibide-galderak eta eztabaida
Banaketa normala, banaketa gaussarra bezala ere ezaguna, estatistikan eta datuen analisian oinarrizko probabilitate-banaketa bat da. Banaketa hau batez bestekoaren inguruko kanpai-kurba simetriko batek ezaugarritzen du, datuen hedapenak inguruko balioen desbideratze estandarra islatzen duelarik. Banaketa normala estatistika inferentzialeko kontzeptu askoren oinarria da eta hainbat arlotan erabiltzen da, besteak beste, ekonomian, psikologian eta gizarte-zientzietan.
Artikulu honetan, banaketa-funtzio normala hobeto ulertzeko zenbait arazo-adibide eta haien irtenbideak aztertuko ditugu.
Banaketa Normalaren Oinarrizko Kontzeptuak
Banaketa normala bi parametro nagusik deskribatzen dute:
1. Batez bestekoa (μ): Datu-multzoaren batez bestekoa.
2. Desbideratze estandarra (σ): Datuak batez bestekoaren inguruan zenbateraino sakabanatuta dauden neurtzen du.
Banaketa normalaren probabilitate-dentsitate funtzioa hau da:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Hona hemen banaketa normala erabiliz problemak ebazteko oinarrizko urrats batzuk:
1. Z balioa zehaztea: Z balioa datuak batez bestekotik zenbateraino dauden neurtzen du desbideratze estandar unitateetan, eta formula hau erabiliz kalkulatzen da:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. Z taula erabiltzea: Z taula edo banaketa normal estandarraren taula erabiltzen da Z balio jakin baten azpitik edo gainetik dauden datuen probabilitatea edo ehunekoa aurkitzeko.
Adibide galderak eta banaketa normalaren eztabaida
1. galdera
Klase batek 70eko batez besteko matematika-probako puntuazioa du, 10eko desbideratze estandarrarekin. Probako puntuazioak banaketa normala badute, ikasleen zein ehunekok lortu du 85 baino puntuazio handiagoa?
Eztabaida:
1. Z puntuazioa zehaztea: Lehenik eta behin, kalkulatu X = 85-erako Z puntuazioa.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. Z taulari begira: Z = 1.5-en probabilitate-balioa Z taulan bilatzen dugu. Z = 1.5-en probabilitate-balioa 0.9332 da. Horrek esan nahi du balioen % 93.32 Z = 1.5-en azpitik daudela.
3. Ehunekoa kalkulatzea: 85 puntu baino gehiago lortu duten ikasleen ehunekoa behar dugunez, 1 – 0.9332 = 0.0668 kalkulatzen dugu.
Beraz, ikasleen % 6.68k 85 baino gehiago lortu zuten.
2. galdera
Herrialde bateko gizon helduen altuerak banaketa normal bat jarraitzen du, 175 cm-ko batez bestekoa eta 6 cm-ko desbideratze estandarra dituena. Zehaztu 170 cm eta 180 cm arteko altuera duten gizonen ehunekoa.
Eztabaida:
1. Zehaztu Z-puntuazioa 170 cm-rako:
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \gutxi gorabehera -0.83 \]
2. Zehaztu Z-puntuazioa 180 cm-rako:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \gutxi gorabehera 0.83 \]
3. Ikusi Z taula:
– Z = -0.83 izateko probabilitatea 0.2033 da.
– Z = 0.83 izateko probabilitatea 0.7967 da.
4. Ehunekoa kalkulatzea:
– 170 cm eta 180 cm arteko altueraren probabilitatea 0.7967 – 0.2033 = 0.5934 da.
– Beraz, gizonen % 59.34k 170 cm eta 180 cm arteko altuera dute.
3. galdera
Adimen-koziente proba batek 100eko batez bestekoa eta 15eko desbideratze estandarra dituen banaketa normala erabiltzen du. Zein puntuazio dago 85. pertzentilean?
Eztabaida:
1. 85. pertzentilaren Z balioa aurkitzea: Z taulatik edo kalkulagailu bat erabiliz, 85. pertzentilak Z = 1.04 balioa du.
2. Adimen-kozientearen puntuazioa kalkulatzea:
X = Z σ + μ
\[ X = 1.04 \t 15 + 100 \]
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
Beraz, 85. pertzentilaren barruan dagoen IQ puntuazioa 115.6 ingurukoa da.
4. galdera
Batxilergoko ikasleen gaitasun kognitiboen emaitzen batez besteko puntuazioa 65 dela eta 12ko desbideratze estandarra duela jakinda, zein puntuazio dago 25. pertzentilean?
Eztabaida:
1. 25. pertzentilaren Z balioa aurkitzea: Z taulatik edo kalkulagailu bat erabiliz, 25. pertzentilaren Z gutxi gorabehera -0.674 da.
2. Probaren puntuazioak kalkulatzea:
X = Z σ + μ
\[ X = -0.674 \times 12 + 65 \]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \gutxi gorabehera 56.912 \]
Beraz, 25. pertzentilean dagoen balioa 56.912 ingurukoa da.
Ondorioa
Banaketa normala estatistikan funtsezko kontzeptua da, datuak probabilitatearen ikuspegitik aztertzeko eta ulertzeko aukera ematen diguna. Banaketa normalaren ikuspegia erabiliz, ehunekoak kalkula ditzakegu, pertzentiletan oinarritutako balio espezifikoak zehaztu eta datuak batez bestekoarekin alderatu.
Banaketa normalarekin arazoak ebaztea ez da soilik azterketetarako eta ikerketa akademikoetarako erabilgarria, baizik eta aplikazio praktikoak ditu bizitza errealeko hainbat arlotan, hala nola psikologian, negozioetan eta gizarte zientzietan. Goiko adibideen eta eztabaiden bidez, espero dugu banaketa normalaren funtzioa hobeto ulertuko duzula eta hainbat testuingurutan nola aplikatu.
