Νόμος του Hooke και ελαστικότητα – προβλήματα και λύσεις

Νόμος του Hooke και ελαστικότητα – προβλήματα και λύσεις

Η αλλαγή στο μήκος

1. Μια ράβδος έχει μήκος L, την οποία έλκει μια δύναμη F. Το μέγεθος της επιμήκυνσης είναι ΔL. Ποιο είναι το μέγεθος της δύναμης αν η μεταβολή του μήκους είναι 4ΔL;

Γνωστό:

Δύναμη 1 (F1 ₎ = F

Η μεταβολή στο μήκος 1 (ΔL ₁ ) = ΔL

Η μεταβολή στο μήκος 2 (ΔL ₂ ) = 4 ΔL

Ζητείται: Αστυνομικός 2 (F ₂ )

Λύση:

Η εξίσωση του νόμου του Hooke

k = F / ΔL

k = σταθερά ελαστικότητας, F = δύναμη F, ΔL = η μεταβολή του μήκους

k1 = _k2​

F1 / _ΔL1 = _F2 / _ΔL2​

F / ΔL = F2 _/ 4ΔL

Φ / 1 = Φ ₂ / 4

Φ = Φ ₂ / 4

F2 = _4F

2. Αυτά τα ελατήρια είναι συνδεδεμένα σε σειρά-παράλληλα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το ελατήριο 1 έχει σταθερά 200 N/m, το ελατήριο 2 έχει σταθερά 200 N/m και το ελατήριο 3 έχει σταθερά 200 N/m. Η μάζα του αντικειμένου είναι 100 γραμμάρια και επιτάχυνση λόγω βαρύτητας είναι 10 m/s²Ποια είναι η μεταβολή στο μήκος του ο ισοδύναμος άνοιξη.

Γνωστό:

Μάζα αντικειμένου (m) = 100 γραμμάρια = 0.1 kg

k1 = k2 ₌ k3 _{= 200} N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Ζητείται: Η μεταβολή στο μήκος του ισοδύναμου ελατηρίου.

Λύση:

Προσδιορίστε το ισοδύναμο σταθερά ελατηρίου:

Το ελατήριο 2 (k2 ₎ και το ελατήριο 3 (k3 ₎ είναι συνδεδεμένα παράλληλα. Η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου:

k _p = k2 ₊ k3 ₌ 200 + 200 = 400 Nm ⁻¹

Το ελατήριο 1 (k1 ₎ και το ελατήριο p (kP ₎ συνδέονται σε σειρά. Η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k _s = 400/3 Nm ⁻¹

Η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου είναι 400/3 Nm ^-1

Προσδιορίστε την μεταβολή στο μήκος του ισοδύναμου ελατηρίου :

Η εξίσωση του νόμου του Hooke:

∆x = F / k = w / k

Η μεταβολή του μήκους του ισοδύναμου ελατηρίου :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

Η σταθερά της άνοιξης

3. Ποια είναι η σταθερά του ελατηρίου σύμφωνα με τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα;

Λύση:

Η εξίσωση του νόμου του Hooke:

k = F / Δx

Σταθερά ελατηρίου:

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Τρία ελατήρια είναι συνδεδεμένα σε σειρά-παράλληλα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι σταθερές του ελατηρίου k1 ₌ k2 ₌ 3 Nm ⁻¹ και k3 ₌ 6 Nm ⁻¹ . Ποια είναι η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου;

Γνωστό:

Σταθερά του ελατηρίου 1 (k1 ₎ = σταθερά του ελατηρίου 2 (k2 ₎ = 3 Nm ⁻¹

Σταθερά ελατηρίου 3 (k3 ₎ = 6 Nm ⁻¹

Ζητείται: σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου (k)

Λύση:

Το ελατήριο 1 (k1 ₎ και το ελατήριο 2 (k2 ₎ είναι συνδεδεμένα παράλληλα. Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου:

k _p = k1 ₊ k2 ₌ 3 + 3 = 6 Nm ⁻¹

Το ελατήριο p (kP ₎ και το ελατήριο 3 (k3 ₎ συνδέονται σε σειρά. Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k _s = 6/2 = 3 Nm ⁻¹

Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου = 3 Nm ⁻¹.

5. Ένα ελατήριο μήκους L, που έλκεται από το βάρος του w. Σύμφωνα με τα δεδομένα στον παρακάτω πίνακα, ποια είναι η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου;

Λύση:

k = F / Δx

Σταθερά ελατηρίου:

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. Σύμφωνα με τα δεδομένα στον παρακάτω πίνακα, ποια είναι η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου:

Λύση:

k = F / Δx = w / Δx = mg / Δx

k = σταθερά ελαστικότητας, w = βάρος, m = μάζα, g = επιτάχυνση λόγω βαρύτητας, Δx = η μεταβολή του μήκους

Σταθερά ελατηρίου:

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Αν k ₁ = 4k, ποια είναι η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου;

Λύση:

Δύο ελατήρια είναι συνδεδεμένα παράλληλα. Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου:

k _p = k + k = 2k

Δύο ελατήρια συνδέονται σε σειρά. Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1 / 2k + 1 / 4k = 2 / 4k + 1 / 4k = 3 / 4k

k _s = 4k/3

8. Σύμφωνα με τα δεδομένα στον παρακάτω πίνακα, ποια είναι η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου:

Λύση:

Η εξίσωση του νόμου του Hooke:

k = F / ΔL

Σταθερά ελατηρίου:

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm ^-1

9. Η μικρότερη σταθερά είναι…

Λύση

Η εξίσωση του νόμου του Hooke:

k = F / Δx

k = σταθερά ελαστικότητας, F = δύναμη, Δx = η μεταβολή του μήκους

Σταθερά ελαστικότητας:

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

k _B = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/m

k _C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/m

k _D = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Ποια είναι η μεγαλύτερη σταθερά σύμφωνα με τα δεδομένα στον παρακάτω πίνακα;

Λύση:

Η εξίσωση του νόμου του Hooke:

k = F / Δx

k _A = 7 / 0.035 = 200 Nm ^-1

kB = 8 / 0.025 = 320 _Nm ^-1

kC = 6 / 0.020 = 300 _Nm ^-1

k _D = 9 / 0.045 = 200 Nm ^-1

k _E = 10 / 0.033 = 303 Nm ^-1

Η μεγαλύτερη σταθερά είναι 320 Nm ^-1.

11. Το παρακάτω γράφημα δείχνει τη σύνδεση μεταξύ της μεταβολής της δύναμης (ΔF) και της αύξησης του μήκους (Δx). Ποιο είναι το γράφημα που δείχνει τη μικρότερη σταθερά ελαστικότητας ;

Λύση

Η εξίσωση του νόμου του Hooke:

k = F / Δx

Δx = η μεταβολή του μήκους, F = δύναμη, k = σταθερά ελαστικότητας

Σταθερά ελαστικότητας:

k _A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

k _B = F / Δx = 8 / 3 = 2.7

k _C = F / Δx = 6 / 6 = 1

k _D = F / Δx = 3 / 5 = 0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Ποιο γράφημα h έχει τις μεγαλύτερες ελαστικές σταθερές;

Λύση:

Σταθερά ελαστικότητας :

k _A = F / Δx = 50 / 10 = 5

k _B = F / Δx = 50 / 0.1 = 500

k _C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

k _D = F / Δx = 500 / 0.1 = 5000

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

Η δυναμική ενέργεια της άνοιξης:

13. Το παρακάτω γράφημα δείχνει τη σχέση μεταξύ της δύναμης και της μεταβολής του μήκους του ελατηρίου. Ποια είναι η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, σύμφωνα με το παρακάτω γράφημα;

Γνωστό:

F = 40 Ν

x = 0.08 μέτρα

Ζητείται : Η δυναμική ενέργεια της άνοιξης

Λύση:

Σταθερά ελατηρίου:

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

Η δυναμική ενέργεια της άνοιξης:

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 Joules

14. Ένα μπλοκ 2 kg είναι στερεωμένο σε ελατήριο. Αν η αύξηση του μήκους του ελατηρίου είναι 5 cm και η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι 10 m/s ² , ποια είναι η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου;

Γνωστό:

Η αύξηση του μήκους (Δx) = 5 cm = 0.05 μέτρα

Επιτάχυνση λόγω βαρύτητας (g) = 10 m/ ^s²

Μάζα μπλοκ (m) = 2 kg

Βάρος μπλοκ (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtons

Ζητείται: η δυναμική ενέργεια της άνοιξης

Λύση:

Η σταθερά ελαστικότητας:

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Η δυναμική ενέργεια της άνοιξης:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400) (0.05) ² = (200) (0.0025)

PE = 0.5 Joule

15. Η μεταβολή στο μήκος του ελατηρίου είναι 5 cm όταν έλκεται από δύναμη 20 N. Ποια είναι η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου όταν η μεταβολή στο μήκος του ελατηρίου είναι 10 cm;

Γνωστό:

Η μεταβολή του μήκους (Δx) = 5 cm = 0.05 μέτρα

Δύναμη (F) = 20 Newton

Ζητείται : Η δυναμική ενέργεια της άνοιξης

Λύση:

Η σταθερά της άνοιξης:

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου όταν Δx = 10 cm = 0.1 m:

PE = ½ k Δx ² = ½ (400) (0.1) ² = (200) (0.01)

PE = 2 Joule

Βάρος αντικειμένου

16. Τέσσερα ελατήρια όπου η σταθερά κάθε ελατηρίου είναι 800 N/m, συνδεδεμένα σε σειρά-παράλληλα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα μπλοκ είναι στερεωμένο στο ελατήριο. Η μεταβολή στο μήκος όλων των ελατηρίων είναι 5 cm. Ποιο είναι το βάρος των μπλοκ;

Γνωστό:

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 _{= 800} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Ζητείται: βάρος μπλοκ (w)

Λύση:

Προσδιορίστε τη σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου

Άνοιξη 1 (k₁), άνοιξη 2 (k₂) και ελατήριο 3 (k₃) συνδέονται παράλληλα. Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου:

k _p = _k1 + k2 ₊ k3 ₌ 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ⁻¹

Το ελατήριο p (kP ₎ και το ελατήριο 4 (k4 ₎ συνδέονται σε σειρά. Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k _s = 2400/4 = 600 Nm ⁻¹

Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου είναι 600 Nm ^-1

Προσδιορίστε το βάρος του αντικειμένου:

Η εξίσωση του νόμου του Hooke:

F = k Δx ή w = k Δx

Βάρος αντικειμένου:

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 Νιούτον

17. Τέσσερα ελατήρια είναι συνδεδεμένα σε σειρά-παράλληλα. Η σταθερά κάθε ελατηρίου είναι 1600 N/m. Ένα μπλοκ είναι προσαρτημένο στο άκρο του ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η αύξηση του μήκους όλων των ελατηρίων είναι 5 cm. Ποιο είναι το βάρος των μπλοκ;

Γνωστό:

k1 ₌ k2 = k3 ₌ k4 _{= 1600} Nm ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Ζητείται: βάρος μπλοκ

Λύση:

Προσδιορίστε τη σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου

Άνοιξη 1 (k₁), άνοιξη 2 (k₂) και ελατήριο 3 (k₃) συνδέονται παράλληλα. Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου:

kP = k1 ₊ k2 ₊ k3 ₌ 1600 + 1600 + 1600 = 4800 _Nm ⁻¹

Το ελατήριο p (kP ₎ και το ελατήριο 4 (k4 ₎ συνδέονται σε σειρά. Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου:

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k _s = 4800/4 = 1200 Nm ⁻¹

Η σταθερά του ισοδύναμου ελατηρίου είναι 1200 Nm ^-1

Προσδιορίστε το βάρος του αντικειμένου:

Η εξίσωση του νόμου του Hooke:

F = k Δx ή w = k Δx

Βάρος αντικειμένου:

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 Νιούτον

1. Τι είναι ο νόμος του Χουκ;
   • Απάντηση: Ο νόμος του Hooke περιγράφει τη σχέση μεταξύ της δύναμης που ασκείται σε ένα ελαστικό αντικείμενο και της προκύπτουσας παραμόρφωσης (συνήθως επιμήκυνσης ή συμπίεσης). Συγκεκριμένα, δηλώνει ότι η δύναμη που απαιτείται για τη συμπίεση ή την επέκταση ενός ελατηρίου είναι άμεσα ανάλογη με την απόσταση που αυτό τεντώνεται ή συμπιέζεται, υπό την προϋπόθεση ότι δεν υπερβαίνεται το όριο ελαστικότητας.
2. Τι εννοούμε όταν λέμε ότι ένα υλικό έχει φτάσει στο όριο ελαστικότητάς του;
   • Απάντηση: Όταν ένα υλικό έχει φτάσει στο όριο ελαστικότητάς του, αυτό σημαίνει ότι δεν θα επιστρέψει πλέον στο αρχικό του σχήμα ή μέγεθος μετά την εξάλειψη της παραμορφωτικής δύναμης. Πέρα από αυτό το σημείο, το υλικό συμπεριφέρεται πλαστικά και μπορεί να παραμορφωθεί μόνιμα.
3. Πώς σχετίζεται η σταθερά του ελατηρίου (k) με την ακαμψία ενός ελατηρίου;
   • Απάντηση: Η σταθερά ελατηρίου (k) είναι ένα μέτρο της ακαμψίας ενός ελατηρίου. Μια μεγαλύτερη τιμή του k υποδεικνύει ένα πιο άκαμπτο ελατήριο, που σημαίνει ότι απαιτείται περισσότερη δύναμη για να παραμορφωθεί σε ένα δεδομένο βαθμό, ενώ ένα μικρότερο k υποδεικνύει ένα πιο εύκαμπτο ή μαλακότερο ελατήριο.
4. Ποιες είναι οι μονάδες της σταθεράς του ελατηρίου στο σύστημα SI;
   • Απάντηση: Στο σύστημα SI, οι μονάδες για τη σταθερά του ελατηρίου (k) είναι Newtons ανά μέτρο (N/m).
5. Γιατί η συμπεριφορά που περιγράφεται από τον νόμο του Hooke θεωρείται γραμμική;
   • Απάντηση: Η συμπεριφορά θεωρείται γραμμική επειδή η σχέση μεταξύ της ασκούμενης δύναμης (F) και της μετατόπισης (x) είναι μια ευθεία γραμμή, με τη σχέση να δίνεται ως $F=kx$, όπου k είναι μια σταθερά για ένα δεδομένο υλικό ή ελατήριο.
6. Ισχύει ο νόμος του Hooke μόνο για τα ελατήρια;
   • Απάντηση: Όχι, ο νόμος του Hooke εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε ελαστικό υλικό που παραμορφώνεται γραμμικά με την εφαρμοζόμενη δύναμη, μέχρι το όριο ελαστικότητάς του. Ενώ τα ελατήρια αποτελούν ένα συνηθισμένο παράδειγμα, άλλα υλικά όπως οι ταινίες από καουτσούκ, τα μέταλλα υπό μικρές παραμορφώσεις και ορισμένοι βιολογικοί ιστοί μπορούν επίσης να εμφανίσουν συμπεριφορά που περιγράφεται από τον νόμο του Hooke.
7. Τι συμβαίνει εάν ένα υλικό τεντωθεί πέρα ​​από το όριο ελαστικότητάς του, αλλά όχι αρκετά ώστε να σπάσει;
   • Απάντηση: Εάν ένα υλικό τεντωθεί πέρα ​​από το όριο ελαστικότητάς του αλλά όχι σε σημείο θραύσης, θα υποστεί πλαστική παραμόρφωση. Αυτό σημαίνει ότι όταν η δύναμη αφαιρεθεί, το υλικό δεν θα επιστρέψει πλήρως στο αρχικό του σχήμα και θα παραμείνει κάποια μόνιμη παραμόρφωση.
8. Πώς σχετίζονται οι έννοιες της τάσης και της παραμόρφωσης με τον νόμο του Hooke;
   • Απάντηση: Η τάση είναι η δύναμη που ασκείται ανά μονάδα επιφάνειας και η παραμόρφωση είναι η σχετική παραμόρφωση ενός υλικού. Ο νόμος του Hooke όσον αφορά την τάση και την παραμόρφωση δηλώνει ότι η τάση είναι άμεσα ανάλογη με την παραμόρφωση, με τη σταθερά αναλογίας να είναι το μέτρο ελαστικότητας Young του υλικού. Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος έκφρασης της γραμμικής σχέσης μεταξύ δύναμης και παραμόρφωσης, αλλά για ογκώδη υλικά και όχι μόνο για ελατήρια.
9. Τι είναι το μέτρο ελαστικότητας του Young και πώς σχετίζεται με την ελαστικότητα;
   • Απάντηση: Το μέτρο ελαστικότητας του Young, που συνήθως αντιπροσωπεύεται από το γράμμα $E$, είναι ένα μέτρο της ακαμψίας ενός υλικού όσον αφορά την εφελκυσμό ή τη συμπίεση. Περιγράφει την ικανότητα του υλικού να αντιστέκεται στην παραμόρφωση υπό την εφαρμογή μιας δύναμης. Ένα υψηλότερο μέτρο ελαστικότητας Young υποδηλώνει ένα πιο άκαμπτο υλικό και ορίζεται ως ο λόγος της τάσης προς την παραμόρφωση.
10. Μπορούν όλα τα υλικά να περιγραφούν από τον νόμο του Hooke;

• Απάντηση: Όχι, δεν συμπεριφέρονται όλα τα υλικά σύμφωνα με τον νόμο του Hooke. Πολλά υλικά, ειδικά εκείνα που δεν είναι γραμμικά, ιξωδοελαστικά ή πλαστικά, δεν εμφανίζουν γραμμική σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης. Ο νόμος του Hooke είναι μια ιδανική περιγραφή και είναι πιο ακριβής για μικρές παραμορφώσεις ελαστικών υλικών.