Γραμμική κίνηση – προβλήματα και λύσεις

Γραμμική κίνηση – προβλήματα και λύσεις

1. Το γράφημα της ταχύτητας (v) ως προς τον χρόνο (t) φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ποια είναι η επιβράδυνση σύμφωνα με το γράφημα;

Λύση

AB = κίνηση με σταθερή επιτάχυνση , BC = κίνηση με σταθερή ταχύτητα , CD = κίνηση με σταθερή επιβράδυνση.

2. Το γράφημα της γραμμικής κίνησης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ποια είναι η απόσταση που διανύει ένα αντικείμενο από 0 δευτερόλεπτα έως 8 δευτερόλεπτα;

Λύση

Εμβαδόν 1 = εμβαδόν τριγώνου = ½ (4-0)(12-0) = ½ (4)(12) = (2)(12) = 24

Εμβαδόν 2 = εμβαδόν ορθογωνίου = (8-4)(12-0) = (4)(12) = 48

Διανυθείσα απόσταση σε 8 δευτερόλεπτα = 24 μέτρα + 48 μέτρα = 72 μέτρα.

3. Το γράφημα της ταχύτητας (v) ως προς τον χρόνο (t) για γραμμική κίνηση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ποια είναι η διανυθείσα απόσταση σε 12 δευτερόλεπτα;

Λύση

Εμβαδόν 1 = εμβαδόν τριγώνου = ½ (2-0)(4-0) = ½ (2)(4) = 4

Εμβαδόν 2 = εμβαδόν ορθογωνίου = (6-2)(4-0) = (4)(4) = 16

Εμβαδόν 3 = εμβαδόν τριγώνου = ½ (8-6)(4-0) = ½ (2)(4) = 4

Εμβαδόν 4 = εμβαδόν τριγώνου = ½ (10-8)(4-0) = ½ (2)(4) = 4

Εμβαδόν 5 = εμβαδόν τετραγώνου = (12-10)(4-0) = (2)(4) = 8

Η απόσταση που διανύθηκε σε 12 δευτερόλεπτα = 4 + 16 + 4 + 4 + 8 = 36 μέτρα

4. Ένα αντικείμενο ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα 36 km/ώρα για 5 δευτερόλεπτα, στη συνέχεια επιταχύνει κατά 1 m/s ² για 10 δευτερόλεπτα και στη συνέχεια επιβραδύνει κατά 2 m/s ² μέχρι να σταματήσει. Ποιο γράφημα (vt) δείχνει την πορεία του αντικειμένου;

Γνωστό:

Κίνηση 1 = σταθερή ταχύτητα

Σταθερή ταχύτητα (v) = 36 km/h = 36 (1000 m) / 3600 s = 36,000 m / 3600 s = 10 m/s

Χρονικό διάστημα (t) = 5 δευτερόλεπτα

Κίνηση 2 = σταθερή επιτάχυνση

Αρχική ταχύτητα (v _o ) = ταχύτητα εν κινήσει 1 = 10 m/s

Επιτάχυνση (α) = 1 m/ ^s²

Χρονικό διάστημα (t) = 10 δευτερόλεπτα

Κίνηση 3 = σταθερή επιβράδυνση

Επιβράδυνση (α) = -2 m/ ^s²

Τελική ταχύτητα (v _t ) = 0 m/s

Ζητείται: ποιο γράφημα δείχνει την πορεία του αντικειμένου;

Λύση:

Η τελική ταχύτητα κίνησης 2:

v _t = v _o + at

v _t = 10 + (1)(10) = 10 + 10 = 20 m/s

Τελική ταχύτητα κίνησης 2 (v _t ) = αρχική ταχύτητα κίνησης 3 (v _o ) = 20 m/s

Χρονικό διάστημα κίνησης 3:

v _t = v _o + at

0 = 20 + (-2)(t)

0 = 20 – 2t

20 = 2t

t = 20 / 2

t = 10 δευτερόλεπτα

Κίνηση 1: Το αντικείμενο ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα 10 m/s σε 5 δευτερόλεπτα

Κίνηση 2: Το αντικείμενο επιταχύνθηκε σε 10 δευτερόλεπτα μέχρι η ταχύτητά του να φτάσει τα 20 m/s.

Κίνηση 3: Το αντικείμενο επιβραδύνθηκε σε 10 δευτερόλεπτα μέχρι να σταματήσει.

Το Γράφημα Β δείχνει τις διαδρομές του αντικειμένου.

5. Ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα 5 m/s σε 10 δευτερόλεπτα, στη συνέχεια επιταχύνει κατά 1 m/s² ^σε 5 δευτερόλεπτα. Στη συνέχεια, επιβραδύνει μέχρι να σταματήσει αφού το αυτοκίνητο διανύσει 137.5 μέτρα. Ποιο γράφημα (vt) δείχνει την πορεία του αντικειμένου;

Γνωστό:

Κίνηση 1 = κίνηση με σταθερή ταχύτητα

Σταθερή ταχύτητα (v) = 5 m/s

Χρονικό διάστημα (t) = 10 δευτερόλεπτα

Κίνηση 2 = κίνηση με σταθερή επιτάχυνση

Αρχική ταχύτητα (v _o ) = ταχύτητα εν κινήσει 1 = 5 m/s

Επιτάχυνση (α) = 1 m/ ^s²

Χρονικό διάστημα (t) = 5 δευτερόλεπτα

Τελική ταχύτητα (v _t ) = 0 m/s

Συνολική απόσταση (s) = 137.5 m/s

Ζητείται: Το γράφημα δείχνει την πορεία του αυτοκινήτου

Λύση:

Απόσταση για κίνηση 1:

s = vt = (5)(10) = 50 μέτρα

Απόσταση για κίνηση 2:

s = v _o t + ½ στα ² = (5)(5) + ½ (1)(5) ² = 25 + ½ (25) = 25 + 12.5 = 37.5 μέτρα

Απόσταση για κίνηση 3:

137.5 – (50 + 37.5) = 137.5 – 87.5 = 50 μέτρα

Η τελική ταχύτητα κίνησης 2:

Η τελική ταχύτητα κίνησης 2 υπολογίστηκε χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της κίνησης 2:

v _t = v _o + at

v _t = 5 + (1)(5) = 5 + 5 = 10 m/s

Τελική ταχύτητα για κίνηση 2 (v _t ) = αρχική ταχύτητα για κίνηση 3 (v _o ) = 10 m/s

Χρονικό διάστημα για την κίνηση 3:

Χρονικό διάστημα που υπολογίστηκε μετά την εύρεση της επιβράδυνσης. Επιβράδυνση (a) και χρονικό διάστημα (t) που υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας δεδομένα κίνησης 3.

Επιβράδυνση αντικειμένων σε κίνηση 3:

v _t ² = v _o ² + 2 ad

0 ² = 10 ² + 2 α (50)

0 = 100 + 100 α

100 = -100 α

α = – 100 / 100

a = – 1 m/ ^s²

Χρονικό διάστημα κίνησης 3:

v _t = v _o + at

0 = 10 + (-1) t

0 = 10 – t

t = 10 δευτερόλεπτα

Κίνηση 1: Το αντικείμενο ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα 5 m/s σε 10 δευτερόλεπτα.

Κίνηση 2: Το αντικείμενο ταξιδεύει για 5 δευτερόλεπτα μέχρι η ταχύτητά του να φτάσει τα 10 m/s.

Κίνηση 3: Το αντικείμενο επιβραδύνθηκε για 10 δευτερόλεπτα μέχρι να σταματήσει.

6. Ένα αυτοκίνητο 800 κιλών κινείται σε ευθεία γραμμή με αρχική ταχύτητα 36 χλμ./ώρα. Αφού διανύσει 150 μέτρα, η ταχύτητα του αυτοκινήτου = 72 χλμ./ώρα. Προσδιορίστε το χρονικό διάστημα.

Γνωστό:

v _o = 36 χλμ/ώρα = 36,000 μέτρα / 3600 s = 10 m/s

v _t = 72 χλμ/ώρα = 72,000 μέτρα / 3600 s = 20 m/s

d = 150 μέτρα

Ζητείται: χρονικό διάστημα (t)

Λύση:

Τρεις εξισώσεις κίνησης με σταθερή επιτάχυνση:

v _t = v _o + at

d = v _o t + ½ στα ²

v _t ² = v _o ² + 2 ad

Επιτάχυνση:

v _t ² = v _o ² + 2 ad

20 ² = 10 ² + 2 α (150)

400 = 100 + 300 α

400 – 100 = 300 a

300 = 300 α

α = 300 / 300

α = 1 m/ ^s²

Χρονικό διάστημα:

v _t = v _o + at

20 = 10 + (1) t

20 – 10 = t

t = 10 δευτερόλεπτα

7. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα 20 m/s. Το αυτοκίνητο ακινητοποιείται σε 5 δευτερόλεπτα μετά την επιβράδυνση. Ποια είναι η απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο;

Γνωστό:

Αρχική ταχύτητα (v _o ) = 20 m/s

Τελική ταχύτητα (v _t ) = 0 m/s

Χρονικό διάστημα (t) = 5 δευτερόλεπτα

Ζητείται: απόσταση (ημέρα)

Λύση:

επιβράδυνση:

v _t = v _o + at

0 = 20 + 5

-20 = 5α

α = -20/5

α = -4 m/ ^s²

Απόσταση που διανύθηκε με αυτοκίνητο:

d = v _o t + 1/2 στα ²

δ = (20)(5) + 1/2 (-4)(5) ² = (20)(5) + (-2)(25)

δ = 100 – 50

d = 50 μέτρα

8. Η απόσταση και το χρονικό διάστημα ενός κινούμενου αντικειμένου εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα.

Προσδιορίστε τους τύπους κίνησης που βιώνουν τα αντικείμενα 1 και 2…

Λύση

Αντικείμενο 1:

v = s / t

v = ταχύτητα , s = απόσταση , t = χρονικό διάστημα

v = 60/15 = 4 cm/s

v = 80/20 = 4 cm/s

v = 100/25 = 4 cm/s

Σταθερή ταχύτητα = ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Αντικείμενο 2:

v = s / t

v = ταχύτητα, s = απόσταση , t = χρονικό διάστημα

v = 4/2 = 2 cm/s

v = 9/3 = 3 cm/s

v = 25/5 = 5 cm/s

Η ταχύτητα αυξάνεται = μη ομοιόμορφη γραμμική κίνηση, επιταχυνόμενη.

1. Ερώτηση: Τι διακρίνει την γραμμική κίνηση από άλλους τύπους κίνησης; Απάντηση: Η γραμμική κίνηση αναφέρεται στην κίνηση ενός αντικειμένου κατά μήκος μιας ευθύγραμμης διαδρομής προς μία μόνο κατεύθυνση. Σε αντίθεση με την περιστροφική ή την ταλαντωτική κίνηση, δεν υπάρχει αλλαγή στην κατεύθυνση του κινούμενου αντικειμένου στη γραμμική κίνηση.
2. Ερώτηση: Πώς διαφέρει η απόσταση από τη μετατόπιση σε γραμμική κίνηση; Απάντηση: Η απόσταση είναι το συνολικό μήκος της διαδρομής που διανύει ένα αντικείμενο εν κινήσει, ενώ η μετατόπιση είναι η ευθύγραμμη απόσταση μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης, μαζί με την κατεύθυνση. Η μετατόπιση είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, ενώ η απόσταση είναι βαθμωτή.
3. Ερώτηση: Γιατί η ταχύτητα και η ταχύτητα μπορούν να έχουν διαφορετικές τιμές για την ίδια κίνηση; Απάντηση: Η ταχύτητα είναι ένα βαθμωτό μέτρο της ταχύτητας που δείχνει πόσο γρήγορα κινείται κάτι χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η κατεύθυνσή του, ενώ η ταχύτητα είναι μια διανυσματική ποσότητα που περιλαμβάνει τόσο το μέγεθος όσο και την κατεύθυνση. Για γραμμική κίνηση, εάν υπάρχει οποιαδήποτε αλλαγή στην κατεύθυνση, η μέση ταχύτητα μπορεί να διαφέρει από το μέγεθος της μέσης ταχύτητας.
4. Ερώτηση: Τι εννοούμε όταν λέμε ότι ένα αντικείμενο έχει ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση; Απάντηση: Ένα αντικείμενο που κινείται ομοιόμορφα ευθύγραμμα κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα και η κατεύθυνσή του παραμένουν αμετάβλητες με την πάροδο του χρόνου.
5. Ερώτηση: Πώς μπορεί ένα αντικείμενο να έχει σταθερή ταχύτητα αλλά μεταβαλλόμενη ταχύτητα σε γραμμική κίνηση; Απάντηση: Για ένα αντικείμενο που βρίσκεται σε γραμμική κίνηση, ο μόνος τρόπος με τον οποίο μπορεί να συμβεί αυτό είναι αν αλλάξει η κατεύθυνση της κίνησης. Ωστόσο, στην πραγματική γραμμική κίνηση, η κατεύθυνση παραμένει σταθερή. Εάν αλλάξει η κατεύθυνση, τεχνικά δεν πρόκειται πλέον για καθαρά γραμμική κίνηση.
6. Ερώτηση: Ποιος είναι ο ρόλος της επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη κίνηση; Απάντηση: Η επιτάχυνση υποδεικνύει μια αλλαγή στην ταχύτητα με την πάροδο του χρόνου. Στη γραμμική κίνηση, αυτό θα μπορούσε να σημαίνει αύξηση ή μείωση της ταχύτητας ή αλλαγή κατεύθυνσης (εάν η κίνηση δεν είναι καθαρά γραμμική). Μια μη μηδενική επιτάχυνση υποδεικνύει ότι η ταχύτητα του αντικειμένου αλλάζει.
7. Ερώτηση: Πώς εκδηλώνεται η αρνητική επιτάχυνση ή επιβράδυνση στην γραμμική κίνηση; Απάντηση: Στο πλαίσιο της γραμμικής κίνησης, η αρνητική επιτάχυνση (συχνά αποκαλούμενη επιβράδυνση) αναφέρεται σε μείωση της ταχύτητας κατά μήκος της ίδιας ευθύγραμμης διαδρομής. Είναι μια επιτάχυνση προς την αντίθετη κατεύθυνση από την κίνηση.
8. Ερώτηση: Ποια είναι η σχέση μεταξύ της συνισταμένης δύναμης και της επιτάχυνσης σε ευθύγραμμη κίνηση σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα; Απάντηση: Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα αντικείμενο είναι ανάλογη με την επιτάχυνση που υφίσταται και δρα προς την ίδια κατεύθυνση. Συγκεκριμένα, $F=ma$, Όπου $F$ είναι η καθαρή δύναμη, $m$ είναι η μάζα του αντικειμένου, και $a$ είναι η επιτάχυνσή του.
9. Ερώτηση: Αν ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθεία γραμμή και σταματήσει, μπορούμε να πούμε ότι η τελική του μετατόπιση είναι μηδέν; Απάντηση: Όχι. Η μετατόπιση αναφέρεται στην ευθύγραμμη απόσταση μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης με κατεύθυνση. Εάν το αυτοκίνητο έχει μετακινηθεί από την αρχική του θέση πριν σταματήσει, η μετατόπιση δεν είναι μηδέν. Μόνο η τελική του ταχύτητα είναι μηδέν.

10. Ερώτηση: Πώς σχετίζεται η έννοια της αδράνειας με την γραμμική κίνηση; Απάντηση: Η αδράνεια είναι η αντίσταση ενός αντικειμένου σε μια αλλαγή στην κατάσταση κίνησής του. Για ένα αντικείμενο που βρίσκεται σε γραμμική κίνηση, η αδράνεια υποδηλώνει ότι το αντικείμενο θα συνεχίσει να κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα, εκτός εάν ασκηθεί σε αυτό εξωτερική δύναμη.