27 Wurfparabel – Probleme und Lösungen
1. Eine Kugel wird unter einem Winkel θ = 60 ° mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s abgefeuert . Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/s² . Wie lange dauert es, bis die Kugel ihre maximale Höhe erreicht?
Bekannt:
Die Anfangsgeschwindigkeit des Geschosses (v o ) = 20 m/s
Winkel (θ) = 60 ° C
Erdbeschleunigung (g) = 10 m /s²
Gesucht: Das Zeitintervall, um die maximale Höhe zu erreichen
Lösung:
Die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung (x-Achse):
v ox = v o cos 60 o = (20)(0.5) = 10 m/s
Die Anfangsgeschwindigkeit in vertikaler Richtung (y-Achse):
v oy = vo sin 60 o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s
Das Zeitintervall bis zum Erreichen der maximalen Höhe, berechnet nach dieser Gleichung:
v ty = v oy + gt
v <sub>ty</sub> = die Endgeschwindigkeit in vertikaler Richtung = die Endgeschwindigkeit am höchsten Punkt = 0 m/s
v oy = die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung = 10√3 m/s
g = Erdbeschleunigung = 10 m/ s²
t = Zeitintervall
Das Zeitintervall:
v ty = v oy + gt
0 = 10√3 – 10 t
10√3 = 10 t
t = 10√3 / 10
t = √3 Sekunden
2. Ein Objekt wird unter einem Winkel geworfen. Die Höhe des Objekts ist gleich, wenn das Zeitintervall 1 Sekunde und 3 Sekunden beträgt. Wie groß ist das Zeitintervall, in dem sich das Objekt in der Luft befindet?
Lösung:
Das Objekt befindet sich 4 Sekunden lang in der Luft.
3. Ein Flugzeug bewegt sich horizontal mit einer Geschwindigkeit von 50 m/s. In einer Höhe von 2 km wird ein Gegenstand aus dem Flugzeug abgeworfen. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/ s². Wie lange dauert es, bis der Gegenstand auf dem Boden aufschlägt?
Bekannt:
Höhe = 2 km = 2000 Meter
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gesucht: Das Zeitintervall (t)
Lösung:
h = 1/2 gt 2
2000 = 1/2 (10) t 2
2000 = 5 t 2
t² = 2000/5 = 400
t = √400 = 20 Sekunden
4. Ein getretener Fußball verlässt den Boden unter einem Winkel θ = 45 ° zur Horizontalen mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 25 m/s. Bestimmen Sie die zurückgelegte Strecke X. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/ s².
Bekannt:
Anfangsgeschwindigkeit (v o ) = 25 m/s
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Winkel (θ) = 45 °
Gesucht: X
Lösung:
Die horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit:
v ox = v o cos θ = (25 m/s)(cos 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Die vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit:
v oy = v o sin θ = (25 m/s)(sin 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Die Wurfparabel lässt sich verstehen, indem man die horizontalen und vertikalen Bewegungskomponenten getrennt analysiert. Die Bewegung in x-Richtung erfolgt mit konstanter Geschwindigkeit, die Bewegung in y-Richtung mit konstanter Erdbeschleunigung.
Zeit in der Luft (t) :
Die Verweildauer in der Luft wird mit der Gleichung der vertikalen Aufwärtsbewegung berechnet.
Wählen Sie die Aufwärtsrichtung als positiv und die Abwärtsrichtung als negativ.
Bekannt:
Die Anfangsgeschwindigkeit (v o ) = 12.5√2 m/s (nach oben gerichtet, positiv)
Erdbeschleunigung (g) = -10 m/s² ( nach unten gerichtet, negativ)
Höhe (h) = 0
Gesucht: Zeitintervall (t)
Lösung:
h = v o t + 1/2 gt 2
0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t 2
0 = 12.5√2 t – 5 t 2
12.5√2 t = 5 t 2
12.5√2 = 5 t
t = 12.5√2 / 5
t = 2.5√2 Sekunden
Der horizontale Abstand (X):
Berechnet unter Verwendung der Gleichung der gleichförmigen linearen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Bekannt:
Geschwindigkeit (v) = 12.5√2 m/s
Zeitintervall (t) = 2.5√2 Sekunden
Gesucht: Entfernung
Lösung:
d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 Meter
5. Ein Objekt wird unter einem Winkel θ = 30 ° zur Horizontalen nach oben geworfen und hat eine Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/s² . Bestimmen Sie die maximale Höhe.
Bekannt:
Die Anfangsgeschwindigkeit (vo) = 20 m/s
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Winkel (θ) = 30 °
Gesucht : Die maximale Höhe
Lösung:
Zuerst wird die vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit (v oy ) bestimmt:
v oy = v o sin 30 o = (20)(sin 30 o ) = (20)(0.5) = 10 m/s
Berechnen Sie die maximale Höhe. Wählen Sie die Aufwärtsrichtung als positiv und die Abwärtsrichtung als negativ.
Bekannt:
Erdbeschleunigung (g) = -10 m/s² ( nach unten gerichtet, negativ )
Die vertikale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit (v oy ) = 10 m/s ( nach oben gerichtet, positiv )
Geschwindigkeit in der maximalen Höhe (v ty ) = 0
Gesucht: Die maximale Höhe (h)
Lösung:
v t 2 = v o 2 + 2 gh
0 2 = 10 2 + 2 (-10) h
0 = 100 – 20 h
100 = 20 h
h = 100 / 20
h = 5 Meter
Die maximale Höhe beträgt 5 Meter.
6. Ein Gegenstand wird unter einem bestimmten Winkel geworfen. Seine Höhe ist nach 1 Sekunde und nach 3 Sekunden gleich. Bestimmen Sie die Flugzeit.
A. 3.6 s
B. 4.0 s
C. 5.6 s
D. 6.4 s
Lösung
Verweildauer in der Luft = 4 Sekunden.
Die richtige Antwort ist B.
7. Ein Flugzeug bewegt sich horizontal mit einer Geschwindigkeit von 50 m/s. In einer Höhe von 2 km kann ein Gegenstand frei aus dem Flugzeug fallen. Um welche Art von Bewegung handelt es sich?
A. Freier Fall
B. Schwebende Bewegung
C. Horizontale Bewegung
D. Wurfparabel
Lösung:
Der Gegenstand wird aus dem fliegenden Flugzeug fallen gelassen, weil er die gleiche Geschwindigkeit wie das Flugzeug hat, also 50 m/s. Die Bewegung des Gegenstands ist keine freie Fallbewegung, sondern eine Parabelbahn. Der Fall ist vergleichbar mit dem Fall, wenn man einen Gegenstand aus einem fahrenden Auto fallen lässt.
Die richtige Antwort ist D.
8. Ein Ball wird von einer 60 Meter hohen Klippe mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s horizontal geworfen. Wie lange braucht er, um auf dem Boden aufzuschlagen?
Lösung: Unter Verwendung von \( h = \frac{1}{2} gt^2 \) ergibt sich die Zeit zu \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).
9. Ein Projektil wird unter einem Winkel von 30° über der Horizontalen mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s abgefeuert. Welche maximale Höhe erreicht es?
Lösung: Mit \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \) ist die maximale Höhe \( h \approx 10.2\ \text{m} \).
10. Ein Stein wird von einem 80 Meter hohen Turm mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s horizontal geworfen. Berechnen Sie die horizontale Strecke, die er zurücklegt, bevor er auf dem Boden aufschlägt.
Lösung: Unter Verwendung der auf ähnliche Weise wie in Aufgabe 1 ermittelten Zeit beträgt die horizontale Entfernung \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).
11. Eine Kanonenkugel wird mit 40 m/s unter einem Winkel von 45° abgefeuert. Berechnen Sie die Flugzeit.
Lösung: Mit \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) ergibt sich eine Flugzeit von \( t \approx 5.8\ \text{s} \).
12. Ein Baseball wird unter einem Winkel von 60° mit einer Geschwindigkeit von 12 m/s geworfen. Berechnen Sie die horizontale Wurfweite.
Lösung: Mit \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \) ergibt sich eine Reichweite von \( R \approx 14.0\ \text{m} \).
13. Ein Projektil wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 50 m/s unter einem Winkel von 37° über der Horizontalen abgeschossen. Wie groß ist die vertikale Geschwindigkeitskomponente?
Lösung: Die vertikale Komponente ist \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).
14. Ein Projektil wird aus einer Höhe von 100 Metern horizontal mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s abgeschossen. Wie groß ist seine Vertikalgeschwindigkeit kurz vor dem Aufprall auf dem Boden?
Lösung: Unter Verwendung von \( v_y = \sqrt{2gh} \) ist die Vertikalgeschwindigkeit \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \).
15. Ein Stein wird unter einem Winkel von 25° über der Horizontalen mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 15 m/s geworfen. Wie groß sind die horizontalen und vertikalen Komponenten der Geschwindigkeit?
Lösung: Die horizontale Komponente ist \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), und die vertikale Komponente ist \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \).
16. Ein Fußball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 30 m/s unter einem Winkel von 40° über der Horizontalen getreten. Wie groß ist seine horizontale Geschwindigkeitskomponente?
Lösung: Die horizontale Komponente ist \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).
17. Ein Golfball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 70 m/s unter einem Winkel von 20° abgeschlagen. Wie lange dauert der Flug?
Lösung: Unter Verwendung der Flugzeitgleichung ergibt sich eine Zeit von \( t \approx 4.9\ \text{s} \).
18. Ein Projektil wird vom Boden aus mit einer Geschwindigkeit von 25 m/s unter einem Winkel von 53° über der Horizontalen abgefeuert. Wie groß ist seine anfängliche vertikale Geschwindigkeitskomponente?
Lösung: Die vertikale Komponente ist \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
19. Ein Baseball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s unter einem Winkel von 50° geworfen. Wie hoch fliegt er maximal?
Lösung: Unter Verwendung der Gleichung für die maximale Höhe ergibt sich eine Höhe von \( h \approx 15.3\ \text{m} \).
20. Eine Kugel wird horizontal mit einer Geschwindigkeit von 200 m/s aus einer Höhe von 10 Metern abgefeuert. Wie lange braucht sie, um auf dem Boden aufzuschlagen?
Lösung: Unter Verwendung der Zeitgleichung ergibt sich die Zeit zu \( t \approx 1.4\ \text{s} \).
21. Eine Kanonenkugel wird mit 45 m/s unter einem Winkel von 30° abgefeuert. Berechnen Sie die Reichweite.
Lösung: Unter Verwendung der Reichweitengleichung ergibt sich eine Reichweite von \( R \approx 88.2\ \text{m} \).
22. Ein Basketball wird unter einem Winkel von 75° mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s geworfen. Berechnen Sie die horizontale Wurfweite.
Lösung: Unter Verwendung der Reichweitengleichung ergibt sich eine Reichweite von \( R \approx 5.3\ \text{m} \).
23. Ein Projektil wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 30 m/s unter einem Winkel von 22° über der Horizontalen abgeschossen. Wie groß ist seine Vertikalgeschwindigkeit unmittelbar vor dem Aufprall auf dem Boden?
Lösung: Unter Verwendung der Gleichung für die Vertikalgeschwindigkeit ergibt sich eine Vertikalgeschwindigkeit von \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \).
24. Ein Stein wird von einem 40 Meter hohen Turm mit einer Geschwindigkeit von 8 m/s horizontal geworfen. Welche horizontale Strecke legt er zurück?
Lösung: Unter Verwendung der Gleichung für die horizontale Distanz ergibt sich eine Distanz von \( d \approx 16\ \text{m} \).
25. Ein Fußball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 12 m/s unter einem Winkel von 30° über der Horizontalen getreten. Wie groß sind die horizontale und die vertikale Komponente der Geschwindigkeit?
Lösung: Die horizontale Komponente beträgt \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \), und die vertikale Komponente beträgt \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \).
26. Ein Golfball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 50 m/s unter einem Winkel von 15° abgeschlagen. Wie lange dauert der Flug?
Lösung: Unter Verwendung der Flugzeitgleichung ergibt sich eine Zeit von \( t \approx 2.6\ \text{s} \).
27. Ein Projektil wird vom Boden aus mit einer Geschwindigkeit von 40 m/s unter einem Winkel von 60° über der Horizontalen abgefeuert. Wie groß ist seine anfängliche horizontale Geschwindigkeitskomponente?
Lösung: Die horizontale Komponente ist \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
