Merasionalkan Bentuk Akar: Pembahasan Contoh Soal
Merasionalkan bentuk akar merupakan salah satu keterampilan dasar dalam aljabar yang sangat penting untuk dipelajari. Proses ini mengubah bentuk pecahan yang memiliki bilangan akar di penyebut menjadi bentuk yang lebih ‘rasional’. Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep dasar, manfaat, dan memberikan beberapa contoh soal serta pembahasannya mengenai merasionalkan bentuk akar.
Konsep Dasar Merasionalkan Bentuk Akar
Merasionalkan bentuk akar berarti kita mengubah penyebut dalam bentuk pecahan yang memiliki akar sehingga tidak ada akar dalam penyebut lagi. Alasan utama mengapa kita melakukan ini adalah untuk menyederhanakan perhitungan dan memudahkan membaca serta membandingkan nilai dari ekspresi tersebut.
Manfaat Merasionalkan Bentuk Akar
1. Memudahkan Perhitungan : Pecahan dengan penyebut tanpa akar lebih mudah dievaluasi baik secara manual maupun menggunakan kalkulator.
2. Memastikan Konsistensi : Banyak buku teks serta standar ujian mengharuskan pecahan dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dan rasionalkan.
3. Membandingkan Nilai : Bentuk rasional lebih mudah dibandingkan satu-sama lain karena lebih jelas nilainya.
Langkah-Langkah Merasionalkan Bentuk Akar
Untuk merasionalkan bentuk akar pada penyebut, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk yang sesuai agar penyebut menjadi bilangan rasional. Berikut adalah langkah-langkahnya:
1. Identifikasi Akar pada Penyebut : Pastikan bahwa akar tersebut berada pada bentuk pecahan yang memerlukan rasionalisasi.
2. Kalikan dengan Bentuk yang Sesuai : Cara yang kita gunakan tergantung pada bentuk akar pada penyebut. Ada tiga bentuk umum yang perlu dirasionalkan:
– Bentuk sederhana seperti \(\sqrt{a}\).
– Bentuk binomial seperti \(\sqrt{a} + b\) atau \(\sqrt{a} – b\).
– Akar pangkat lebih tinggi seperti \(\sqrt[3]{a}\).
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1: Merasionalkan Penyebut dengan Akar Sederhana
Soal:
\[ \frac{5}{\sqrt{3}} \]
Pembahasan:
1. Identifikasi Akar pada Penyebut : Penyebutnya adalah \(\sqrt{3}\).
2. Kalikan dengan Bentuk yang Sesuai : Kita ingin menghilangkan akar dari penyebut dengan mengalikan baik pembilang maupun penyebut dengan \(\sqrt{3}\).
\[
\frac{5}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}
\]
Jadi, \(\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\).
Contoh 2: Merasionalkan Penyebut dengan Akar Binomial
Soal:
\[ \frac{4}{\sqrt{2} + 1} \]
Pembahasan:
1. Identifikasi Akar pada Penyebut : Penyebutnya berbentuk binomial yaitu \(\sqrt{2} + 1\).
2. Kalikan dengan Bentuk yang Sesuai : Kita gunakan pasangan konjugat dari \(\sqrt{2} + 1\), yaitu \(\sqrt{2} – 1\).
\[
\frac{4}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} – 1} = \frac{4(\sqrt{2} – 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} – 1)}
\]
3. Simplifikasi Penyebut : Gunakan identitas aljabar untuk menyederhanakan penyebut:
\[
(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} – 1) = (\sqrt{2})^2 – (1)^2 = 2 – 1 = 1
\]
Dengan begitu, pecahan menjadi:
\[
\frac{4(\sqrt{2} – 1)}{1} = 4\sqrt{2} – 4
\]
Jadi, \(\frac{4}{\sqrt{2} + 1} = 4\sqrt{2} – 4\).
Contoh 3: Merasionalkan Penyebut dengan Akar Pangkat Tiga
Soal:
\[ \frac{7}{\sqrt[3]{4}} \]
Pembahasan:
1. Identifikasi Akar pada Penyebut : Penyebutnya adalah \(\sqrt[3]{4}\).
2. Kalikan dengan Bentuk yang Sesuai : Gunakan \((\sqrt[3]{4})^2\) karena \(\sqrt[3]{4} \times (\sqrt[3]{4})^2 = 4\).
\[
\frac{7}{\sqrt[3]{4}} \times \frac{(\sqrt[3]{4})^2}{(\sqrt[3]{4})^2} = \frac{7(\sqrt[3]{4})^2}{4}
\]
Kita biarkan \((\sqrt[3]{4})^2\) dalam bentuk akar pangkat tiga karena ini adalah bentuk yang umum diterima:
\[
\frac{7 \cdot \sqrt[3]{16}}{4}
\]
Jadi, \(\frac{7}{\sqrt[3]{4}} = \frac{7 \sqrt[3]{16}}{4}\).
Contoh 4: Merasionalkan Bentuk Akar dengan Penyederhanaan Tambahan
Soal:
\[ \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \]
Pembahasan:
1. Identifikasi Akar pada Penyebut : Penyebutnya adalah \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\).
2. Kalikan dengan Bentuk yang Sesuai : Gunakan konjugat dari \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\), yaitu \(\sqrt{3} – \sqrt{2}\).
\[
\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} – \sqrt{2}}{\sqrt{3} – \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}(\sqrt{3} – \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 – (\sqrt{2})^2}
\]
3. Simplifikasi Penyebut :
\[
(\sqrt{3})^2 – (\sqrt{2})^2 = 3 – 2 = 1
\]
Jadi, pecahan menjadi:
\[
2\sqrt{5}(\sqrt{3} – \sqrt{2}) = 2\sqrt{15} – 2\sqrt{10}
\]
Jadi, \(\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = 2\sqrt{15} – 2\sqrt{10}\).
Kesimpulan
Merasionalkan bentuk akar adalah keterampilan matematika yang penting untuk dipelajari. Ini tidak hanya membantu dalam menyederhanakan perhitungan tetapi juga membuat evaluasi dan perbandingan nilai menjadi lebih mudah. Melalui contoh-contoh soal dan pembahasan di atas, kita dapat memahami berbagai teknik yang digunakan untuk merasionalkan bentuk akar di penyebut, baik itu bentuk sederhana, binomial, maupun akar pangkat lebih tinggi. Dengan berlatih lebih banyak, kita akan semakin mahir dan cepat dalam merasionalkan bentuk akar.
