Contoh Soal dan Pembahasan: Varian dan Simpangan Baku Data Tunggal
Statistik merupakan cabang matematika yang berkaitan dengan pengumpulan, analisis, penafsiran, penyajian, dan pengorganisasian data. Dua konsep penting dalam statistik adalah varian dan simpangan baku. Artikel ini akan membahas secara rinci tentang cara menghitung varian dan simpangan baku data tunggal melalui beberapa contoh soal.
Pengertian Varian dan Simpangan Baku
Varian adalah ukuran yang mengkuantifikasi seberapa jauh angka dalam kumpulan data tersebar dari rata-rata atau mean-nya. Varian dinyatakan dalam satuan kuadrat dari data aslinya sehingga seringkali agak sulit untuk diinterpretasi.
Simpangan baku (standard deviation) adalah akar kuadrat dari varian. Simpangan baku memberikan ukuran yang lebih intuitif tentang seberapa jauh data pada umumnya berada dari rata-rata karena satuannya sama dengan satuan asli data.
Rumus Umum
Untuk data tunggal, rumus varian \( \sigma^2 \) dan simpangan baku \( \sigma \) dari populasi adalah sebagai berikut:
1. Varian (σ²) :
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Simpangan Baku (σ) :
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Di mana:
– \( N \) adalah jumlah data dalam populasi.
– \( x_i \) adalah nilai data ke-i.
– \( \mu \) adalah mean atau rata-rata dari data.
Jika kita menghitung varian dan simpangan baku dari sampel, maka rumus di atas sedikit dimodifikasi:
1. Varian Sampel (s²) :
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Simpangan Baku Sampel (s) :
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Di mana:
– \( n \) adalah jumlah data dalam sampel.
– \( \bar{x} \) adalah mean atau rata-rata sampel.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1:
Diberikan data berikut:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Hitung varian dan simpangan baku data tersebut!
Langkah-Langkah Penyelesaian:
1. Menghitung Rata-Rata (Mean) \( \mu \) :
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Menghitung Selisih Data dengan Rata-Rata, Kemudian Mekuadratkan :
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Menambahkan Semua Hasil Kuadrat :
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Menghitung Varian (σ²) Data Populasi :
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Note : Karena data ini dinyatakan sebagai data populasi, kita membagi dengan 6.
5. Menghitung Simpangan Baku (σ) :
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]
Jadi, varian dari data tersebut adalah 3.559 dan simpangan bakunya adalah 1.886.
Contoh Soal 2:
Diberikan sampel data berikut:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Hitung varian dan simpangan baku dari sampel tersebut!
Langkah-Langkah Penyelesaian:
1. Menghitung Rata-Rata (Mean) \( \bar{x} \) :
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Menghitung Selisih Data dengan Rata-Rata, Kemudian Mekuadratkan :
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Menambahkan Semua Hasil Kuadrat :
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Menghitung Varian (s²) Sampel :
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Note : Karena ini adalah data sampel, kita membagi dengan 5 (n-1).
5. Menghitung Simpangan Baku (s) :
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Jadi, varian dari sampel data tersebut adalah 5.351 dan simpangan bakunya adalah 2.313.
Kesimpulan
Menghitung varian dan simpangan baku adalah vital untuk memahami seberapa tersebar data dalam set tertentu. Sementara varian memberikan gambaran teoretis berupa ukuran dispersi dalam kuadrat satuan asli, simpangan baku menginterprestasikan ukuran sebaran dalam satuan asli data sehingga lebih mudah dimengerti. Dalam analisis data, kedua ukuran ini sering digunakan untuk menilai variabilitas data dan membuat keputusan berdasarkan statistika.
Dengan memahami langkah-langkah dan rumus-rumus yang diperlukan, kita dapat dengan mudah menghitung varian dan simpangan baku untuk berbagai kasus yang kita temui dalam pengumpulan dan analisis data sehari-hari. Semoga artikel ini memberikan pemahaman yang lebih dalam tentang konsep varian dan simpangan baku dalam data tunggal.
