Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif
Pengertian fungsi dan kebermanfaatannya dalam matematika seringkali menjadi topik yang menarik untuk dibahas. Dalam konteks ini, kita sering kali menemui istilah seperti fungsi injektif, surjektif, dan bijektif. Memahami tiga jenis fungsi ini sangat penting dalam analisis matematika serta penerapan praktisnya dalam berbagai bidang ilmu seperti ilmu komputer, ekonomi, dan fisika.
Pengertian Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif
Sebelum membahas contoh soal dan pembahasannya, mari kita terlebih dahulu mengingat kembali definisi dari ketiga fungsi tersebut.
1. Fungsi Injektif (One-to-One Function) : Sebuah fungsi f : A → B disebut injektif jika untuk setiap a1 dan a2 di dalam domain A, apabila f(a1) = f(a2), maka a1 harus sama dengan a2. Dengan kata lain, fungsi injektif memastikan bahwa elemen-elemen berbeda di domain A dipetakan ke elemen-elemen berbeda di kodomain B.
2. Fungsi Surjektif (Onto Function) : Sebuah fungsi f : A → B disebut surjektif jika setiap elemen di kodomain B memiliki setidaknya satu elemen di domain A yang dipetakan ke elemen tersebut. Dalam hal ini, kodomain B tidak memiliki elemen yang “kosong” atau tidak memiliki pasangan dari domain A.
3. Fungsi Bijektif (One-to-One Correspondence) : Sebuah fungsi f : A → B disebut bijektif jika fungsi tersebut bersifat injektif sekaligus surjektif. Artinya, setiap elemen di domain A memiliki pasangan unik di kodomain B, dan setiap elemen di kodomain B juga memiliki pasangan unik di domain A.
Contoh Soal dan Pembahasannya
Soal 1: Fungsi Injektif
Soal:
Diberikan fungsi f : ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai f(x) = 2x + 3. Buktikan bahwa fungsi ini merupakan fungsi injektif.
Pembahasan:
Untuk membuktikan bahwa fungsi ini injektif, kita perlu menunjukkan bahwa jika f(a) = f(b) maka a = b.
Misalkan f(a) = f(b), kita katakan bahwa:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
Kurangi dengan 3 di kedua sisi:
\[ 2a = 2b \]
Bagi dengan 2 di kedua sisi:
\[ a = b \]
Karena kita telah menunjukkan bahwa f(a) = f(b) menyebabkan a = b, maka fungsi f(x) = 2x + 3 adalah fungsi injektif.
Soal 2: Fungsi Surjektif
Soal:
Diberikan fungsi g : ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai g(x) = x^3. Buktikan bahwa fungsi ini merupakan fungsi surjektif.
Pembahasan:
Untuk membuktikan bahwa fungsi ini surjektif, kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap elemen y di kodomain ℝ, ada setidaknya satu elemen x di domain ℝ sehingga g(x) = y.
Biarkan y ∈ ℝ. Kita ingin menemukan x sehingga:
\[ x^3 = y \]
Ambil \( x = \sqrt[3]{y} \):
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
Karena untuk setiap y di kodomain ℝ kita bisa menemukan x yaitu \( x = \sqrt[3]{y} \), maka fungsi g(x) = x^3 adalah fungsi surjektif.
Soal 3: Fungsi Bijektif
Soal:
Diberikan fungsi h : ℝ → ℝ yang didefinisikan sebagai h(x) = x – 1. Buktikan bahwa fungsi ini merupakan fungsi bijektif.
Pembahasan:
Injektif:
Untuk membuktikan h(x) adalah injektif, kita perlu menunjukkan bahwa jika h(a) = h(b) maka a = b.
Misalkan h(a) = h(b):
\[ a – 1 = b – 1 \]
Tambah 1 di kedua sisi:
\[ a = b \]
Karena h(a) = h(b) menyebabkan a = b, maka fungsi h(x) = x – 1 adalah fungsi injektif.
Surjektif:
Untuk membuktikan h(x) adalah surjektif, kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap elemen y di kodomain ℝ, ada setidaknya satu elemen x di domain ℝ sehingga h(x) = y.
Biarkan y ∈ ℝ. Kita ingin menemukan x sehingga:
\[ x – 1 = y \]
Tambah 1 di kedua sisi:
\[ x = y + 1 \]
Karena untuk setiap y di kodomain ℝ kita bisa menemukan x yaitu x = y + 1, maka fungsi h(x) = x – 1 adalah fungsi surjektif.
Karena h(x) adalah injektif dan surjektif, maka h(x) adalah fungsi bijektif.
Soal 4: Menentukan Jenis Fungsi
Soal:
Diberikan fungsi f : ℕ → ℕ yang didefinisikan sebagai f(x) = 2x. Tentukan apakah f merupakan fungsi injektif atau surjektif atau bijektif.
Pembahasan:
Injektif:
Untuk membuktikan fungsi ini injektif, kita perlu menunjukkan bahwa jika f(a) = f(b) maka a = b.
Misalkan f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
Bagi dengan 2 di kedua sisi:
\[ a = b \]
Oleh karena itu, f(x) = 2x adalah fungsi injektif.
Surjektif:
Untuk membuktikan fungsi ini surjektif, kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap elemen y di kodomain ℕ, ada setidaknya satu elemen x di domain ℕ sehingga f(x) = y.
Namun perhatikan bahwa kodomain adalah ℕ (bilangan alami), sementara f(x) = 2x menghasilkan hanya bilangan genap. Misalkan y adalah bilangan ganjil, tidak ada x di ℕ sedemikian sehingga 2x = y.
Oleh karena itu, f(x) = 2x bukan fungsi surjektif.
Karena f(x) bukan surjektif, maka f(x) juga bukan bijektif.
Berdasarkan berbagai contoh di atas, kita bisa melihat bagaimana cara membuktikan dan mengidentifikasi jenis-jenis fungsi (injektif, surjektif, bijektif) dari berbagai definisi fungsi. Pemahaman mengenai fungsi ini sangat penting dalam banyak aspek matematika dan aplikasinya dalam kehidupan nyata.
