Contoh Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi adalah suatu konsep dalam matematika di mana dua fungsi digabungkan menjadi satu. Jika \( f \) dan \( g \) adalah dua fungsi, maka komposisi dari \( f \) dan \( g \) adalah fungsi baru yang didefinisikan sebagai \( (f \circ g)(x) \) yang artinya \( f(g(x)) \). Pada artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal dan cara penyelesaiannya terkait komposisi fungsi.
1. Pengertian Dasar Komposisi Fungsi
Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita pahami secara singkat apa itu komposisi fungsi.
Misalkan terdapat dua fungsi \( f \) dan \( g \):
– Fungsi \( f \) : \( x \mapsto f(x) \)
– Fungsi \( g \) : \( x \mapsto g(x) \)
Komposisi dari \( f \) dan \( g \), yang ditulis sebagai \( f \circ g \), adalah sebuah fungsi yang memenuhi:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Di sini, \( g(x) \) adalah input untuk fungsi \( f \).
2. Contoh Soal 1
Soal:
Diberikan fungsi \( f(x) = 2x + 3 \) dan fungsi \( g(x) = x – 5 \). Tentukan \( (f \circ g)(x) \) dan \( (g \circ f)(x) \).
Pembahasan:
Mari kita hitung komposisi pertama \( (f \circ g)(x) \):
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Step pertama, kita masukkan \( g(x) \) ke dalam \( f(x) \):
\[ g(x) = x – 5 \]
\[ f(g(x)) = f(x – 5) \]
Step kedua, kita masukkan \( x – 5 \) ke dalam fungsi \( f \):
\[ f(x – 5) = 2(x – 5) + 3 \]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
Jadi, \( (f \circ g)(x) = 2x – 7 \).
Sekarang mari kita hitung komposisi kedua \( (g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Step pertama, kita masukkan \( f(x) \) ke dalam \( g(x) \):
\[ f(x) = 2x + 3 \]
\[ g(f(x)) = g(2x + 3) \]
Step kedua, kita masukkan \( 2x + 3 \) ke dalam fungsi \( g \):
\[ g(2x + 3) = (2x + 3) – 5 \]
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
Jadi, \( (g \circ f)(x) = 2x – 2 \).
3. Contoh Soal 2: Komposisi Fungsi dengan Fungsi Kuadrat
Soal:
Diberikan fungsi \( f(x) = x^2 + 1 \) dan fungsi \( g(x) = 3x – 4 \). Tentukan \( (f \circ g)(x) \) dan \( (g \circ f)(x) \).
Pembahasan:
Mari kita hitung komposisi pertama \( (f \circ g)(x) \):
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Step pertama, kita masukkan \( g(x) \) ke dalam \( f(x) \):
\[ g(x) = 3x – 4 \]
\[ f(g(x)) = f(3x – 4) \]
Step kedua, kita masukkan \( 3x – 4 \) ke dalam fungsi \( f \):
\[ f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1 \]
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x \cdot 2 + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
Jadi, \( (f \circ g)(x) = 9x^2 – 24x + 17 \).
Sekarang mari kita hitung komposisi kedua \( (g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Step pertama, kita masukkan \( f(x) \) ke dalam \( g(x) \):
\[ f(x) = x^2 + 1 \]
\[ g(f(x)) = g(x^2 + 1) \]
Step kedua, kita masukkan \( x^2 + 1 \) ke dalam fungsi \( g \):
\[ g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4 \]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
Jadi, \( (g \circ f)(x) = 3x^2 – 1 \).
4. Contoh Soal 3: Komposisi Fungsi Trigonometri
Soal:
Diberikan fungsi \( f(x) = \sin x \) dan fungsi \( g(x) = x^2 \). Tentukan \( (f \circ g)(x) \) dan \( (g \circ f)(x) \).
Pembahasan:
Mari kita hitung komposisi pertama \( (f \circ g)(x) \):
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Step pertama, kita masukkan \( g(x) \) ke dalam \( f(x) \):
\[ g(x) = x^2 \]
\[ f(g(x)) = f(x^2) \]
Step kedua, kita masukkan \( x^2 \) ke dalam fungsi \( f \):
\[ f(x^2) = \sin (x^2) \]
Jadi, \( (f \circ g)(x) = \sin (x^2) \).
Sekarang mari kita hitung komposisi kedua \( (g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Step pertama, kita masukkan \( f(x) \) ke dalam \( g(x) \):
\[ f(x) = \sin x \]
\[ g(f(x)) = g(\sin x) \]
Step kedua, kita masukkan \( \sin x \) ke dalam fungsi \( g \):
\[ g(\sin x) = (\sin x)^2 \]
\[ = \sin^2 x \]
Jadi, \( (g \circ f)(x) = \sin^2 x \).
Kesimpulan
Komposisi fungsi adalah cara menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi baru. Melalui beberapa contoh di atas, kita belajar bahwa proses komposisi fungsi melibatkan substitusi dari satu fungsi ke dalam fungsi lainnya. Hasil akhir dari komposisi fungsi sangat tergantung pada urutan fungsi mana yang diaplikasikan terlebih dahulu.
Penting untuk memahami bahwa \( (f \circ g)(x) \) tidak selalu sama dengan \( (g \circ f)(x) \), dan perbedaan ini bisa sangat signifikan dalam berbagai aplikasi matematika dan sains. Oleh karena itu, memahami dasar-dasar dan cara menghitung komposisi fungsi sangat penting bagi siapa saja yang mempelajari matematika di level menengah maupun lanjut.
Semoga pembahasan dan contoh soal di atas bermanfaat dan membantu pembaca dalam memahami komposisi fungsi.
