Contoh Soal dan Pembahasan Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran adalah konsep statistik yang digunakan untuk menggambarkan seberapa tersebar atau bervariasinya data dalam suatu kumpulan data. Skala penyebaran memberikan gambaran yang lebih mendalam tentang distribusi data, mengungkapkan informasi yang tidak bisa dilihat hanya dengan median dan rata-rata. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal terkait ukuran penyebaran dan pembahasannya untuk memperjelas konsep ini. Ada berbagai ukuran penyebaran, termasuk rentang, simpangan baku, varians, dan rentang antar kuartil (IQR).
1. Rentang
Definisi
Rentang adalah selisih antara nilai tertinggi dan nilai terendah dalam kumpulan data.
Contoh Soal
Sebuah tim sepak bola mencatat jumlah gol yang mereka cetak dalam 10 pertandingan terakhir sebagai berikut:
3, 5, 2, 8, 7, 2, 6, 9, 4, dan 1.
Pembahasan
Untuk menghitung rentang, kita perlu mencari nilai maksimum dan minimum dari data tersebut.
– Nilai maksimum: 9
– Nilai minimum: 1
Rentang = Nilai maksimum – Nilai minimum = 9 – 1 = 8
Jadi, rentang jumlah gol yang dicetak dalam 10 pertandingan terakhir adalah 8 gol.
2. Simpangan Baku
Definisi
Simpangan baku adalah ukuran yang menunjukkan seberapa jauh setiap nilai dalam dataset dari rata-ratanya. Simpangan baku adalah akar kuadrat dari varians.
Contoh Soal
Berikut adalah skor ujian matematika dari suatu kelas: 65, 70, 75, 80, dan 85.
Pembahasan
Langkah pertama adalah menghitung rata-rata skor.
\[
\text{Rata-rata} = \frac{65 + 70 + 75 + 80 + 85}{5} = 75
\]
Langkah kedua adalah menghitung selisih antara setiap nilai dengan rata-rata, kemudian mengkuadratkan hasilnya:
– (65 – 75)² = 100
– (70 – 75)² = 25
– (75 – 75)² = 0
– (80 – 75)² = 25
– (85 – 75)² = 100
Langkah ketiga adalah mencari varians dengan menghitung rata-rata dari kuadrat selisih:
\[
\text{Varians} = \frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5} = 50
\]
Simpangan baku adalah akar kuadrat dari varians:
\[
\text{Simpangan baku} = \sqrt{50} \approx 7.07
\]
Jadi simpangan baku dari skor ujian adalah sekitar 7.07.
3. Varians
Definisi
Varians adalah rata-rata dari kuadrat selisih antara setiap nilai dengan rata-ratanya; varians menggambarkan seberapa besar penyebaran data sekitar rata-rata. Varians adalah kuadrat dari simpangan baku.
Contoh Soal
Misalkan kita punya dataset berikut: 10, 20, 30, 40, dan 50.
Pembahasan
Langkah pertama adalah menghitung rata-rata dari data.
\[
\text{Rata-rata} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = 30
\]
Langkah kedua adalah menghitung selisih antara setiap nilai dengan rata-rata, kemudian mengkuadratkan hasilnya:
– (10 – 30)² = 400
– (20 – 30)² = 100
– (30 – 30)² = 0
– (40 – 30)² = 100
– (50 – 30)² = 400
Langkah ketiga adalah mencari varians dengan menghitung rata-rata dari kuadrat selisih:
\[
\text{Varians} = \frac{400 + 100 + 0 + 100 + 400}{5} = 200
\]
Jadi, varians dari dataset adalah 200.
4. Rentang Antar Kuartil (Interquartile Range, IQR)
Definisi
Rentang antar kuartil (IQR) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dan kuartil pertama (Q1). IQR memberikan ukuran penyebaran dari tengah 50% data dalam dataset, yang dapat lebih informatif daripada rentang.
Contoh Soal
Dataset berikut memiliki nilai: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, dan 14.
Pembahasan
Pertama, kita harus mengurutkan data:
1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 14
Untuk menghitung Q1 dan Q3, kita perlu membagi data menjadi quartil.
– Median (Q2) terletak di antara 6 dan 7: \((6+7)/2 = 6.5\)
Untuk Q1, kita ambil median dari nilai bawah:
– 1, 3, 4, 5, 6
– Median dari subset ini adalah 4
Untuk Q3, kita ambil median dari nilai atas:
– 7, 8, 11, 13, 14
– Median dari subset ini adalah 11
Rentang Antar Kuartil (IQR) = Q3 – Q1 = 11 – 4 = 7
Jadi, IQR untuk dataset tersebut adalah 7.
Kesimpulan
Ukuran penyebaran adalah aspek penting dalam statistik yang membantu kita memahami tingkat variasi dalam data. Dalam artikel ini, kita telah membahas dan memberikan contoh soal serta pembahasan untuk beberapa ukuran penyebaran yang umum digunakan: rentang, simpangan baku, varians, dan rentang antar kuartil. Dengan memahami konsep ini dan bagaimana cara menghitungnya, kita mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang karakteristik data yang kita analisis, yang pada gilirannya dapat membantu dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat berdasarkan data tersebut.
