Contoh Soal Pembahasan Nilai Harapan Distribusi Normal
Distribusi normal, juga dikenal sebagai distribusi Gauss, adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu yang paling sering digunakan dalam statistik dan probabilitas. Distribusi ini sering dijadikan asumsi dasar dalam berbagai inferensi statistik karena sifat-sifat matematisnya yang baik, seperti simetri dan keunikannya dalam parameterisasi dengan mean (µ) dan standar deviasi (σ). Artikel ini akan membahas contoh soal dan pembahasan mengenai nilai harapan dari distribusi normal untuk memberikan pemahaman lebih lanjut tentang konsep ini.
Pengertian Distribusi Normal
Distribusi normal digambarkan oleh kurva lonceng yang simetris, dengan sebagian besar nilai terkonsentrasi di sekitar nilai tengah atau mean. Di dalam distribusi ini, mean (µ) dan standar deviasi (σ) adalah dua parameter penting yang menentukan lokasi dan jumlah penyebaran data.
Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari distribusi normal adalah:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
di mana:
– \( \mu \) adalah mean atau rata-rata
– \( \sigma \) adalah standar deviasi
– \( x \) adalah variabel acak
Nilai Harapan dalam Distribusi Normal
Nilai harapan (expected value) dari sebuah variabel acak yang distribusinya normal adalah sama dengan mean dari distribusi tersebut. Jika \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), maka nilai harapan \( E(X) \) adalah:
\[ E(X) = \mu \]
Mari kita lanjutkan dengan beberapa contoh soal mengenai nilai harapan dalam distribusi normal untuk memperkuat pemahaman kita.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1:
Misalkan \( X \) merupakan variabel acak yang berdistribusi normal dengan \( \mu = 50 \) dan \( \sigma = 10 \). Hitung nilai harapan dari \( X \).
Pembahasan:
Seperti disebutkan sebelumnya, dalam distribusi normal, nilai harapan \( E(X) \) adalah sama dengan \( \mu \). Jadi,
\[ E(X) = \mu = 50 \]
Contoh Soal 2:
Diketahui variabel acak \( Y \) berdistribusi normal dengan \( \mu = 120 \) dan \( \sigma = 15 \). Temukan nilai harapan dari \( Y \).
Pembahasan:
Sama halnya dengan contoh soal pertama, nilai harapan dari \( Y \) adalah nilai tengah atau mean dari distribusi normal tersebut, yaitu:
\[ E(Y) = \mu = 120 \]
Contoh Soal 3:
Jika variabel acak \( Z \) mengikuti distribusi normal dengan \( \mu = 0 \) dan \( \sigma = 1 \) (distribusi normal standar), berapa nilai harapan dari \( Z \)?
Pembahasan:
Distribusi normal standar memiliki mean \( \mu = 0 \), sehingga nilai harapan \( E(Z) \) adalah:
\[ E(Z) = \mu = 0 \]
Contoh Soal 4:
Misalkan \( W \) adalah variabel acak yang berdistribusi normal dengan mean \( \mu = 75 \) dan standar deviasi \( \sigma = 20 \). Jika kita definisikan variabel acak baru \( V = 2W + 3 \), apakah nilai harapan dari \( V \)?
Pembahasan:
Untuk menemukan nilai harapan dari \( V \), kita perlu menggunakan sifat linearitas dari nilai harapan. Diketahui \( V = 2W + 3 \), sehingga:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Berdasarkan sifat linearitas nilai harapan, kita dapat memisahkan konstanta dari variabel acak:
\[ E(V) = 2E(W) + E(3) \]
Dengan mengetahui bahwa nilai harapan dari sebuah konstanta adalah konstanta itu sendiri:
\[ E(3) = 3 \]
Dan nilai harapan dari \( W \) adalah mean dari distribusi normal \( W \):
\[ E(W) = \mu = 75 \]
Maka,
\[ E(V) = 2 \times 75 + 3 \]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Contoh Soal 5:
Variabel acak \( Q \) mengikuti distribusi normal dengan mean \( \mu = 40 \) dan standar deviasi \( \sigma = 5 \). Bagaimana nilai harapan dari \( Q \) jika \[ U = Q/2 \]?
Pembahasan:
Kita menggunakan prinsip yang sama dengan contoh soal 4, yaitu sifat linearitas dari nilai harapan. Diketahui bahwa \( U = Q/2 \), maka:
\[ E(U) = E\left(\frac{Q}{2}\right) \]
Berdasarkan sifat linearitas nilai harapan:
\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Kita tahu bahwa nilai harapan dari \( Q \) adalah mean dari distribusi normal \( Q \):
\[ E(Q) = \mu = 40 \]
Maka,
\[ E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[ E(U) = 20 \]
Kesimpulan
Dalam distribusi normal, nilai harapan atau expected value dari variabel acak selalu sama dengan mean (µ) dari distribusi tersebut. Contoh soal di atas menunjukkan berbagai kondisi dengan cara menghitung nilai harapan menggunakan sifat linearitas. Dengan memahami konsep dasar ini, kita dapat lebih mudah menangani jenis soal distribusi normal dalam bidang statistik dan probabilitas.
Distribusi normal sangat penting dalam statistika karena digunakan dalam berbagai aplikasi praktis, termasuk dalam pengujian hipotesis, estimasi parameter, dan berbagai inferensi statistik lainnya. Pemahaman yang baik tentang nilai harapan dalam distribusi ini adalah langkah awal yang penting dalam analisis data.
Semoga artikel ini memberikan penjelasan yang jelas dan bermanfaat mengenai nilai harapan dalam distribusi normal beserta contoh soal dan pembahasan yang relevan.
