Contoh Soal Pembahasan Transformasi Fungsi
Transformasi fungsi merupakan salah satu konsep penting dalam matematika, khususnya dalam bidang aljabar dan analisis fungsi. Transformasi ini mencakup berbagai operasi seperti translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi pada grafik sebuah fungsi. Memahami cara kerja transformasi fungsi dan dapat menerapkannya pada soal-soal adalah keterampilan yang sangat berharga, baik dalam konteks akademis maupun dalam penerapan praktis sehari-hari.
Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal transformasi fungsi lengkap dengan pembahasannya untuk memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai cara menerapkan konsep-konsep tersebut. Sebelum kita memasuki contoh soal, mari kita tinjau beberapa tipe transformasi fungsi yang umum dihadapi:
1. Translasi (Pergeseran) :
– Translasi horizontal: \( f(x) \longrightarrow f(x – h) \) dimana \( h \) adalah jumlah pergeseran ke kanan atau kiri.
– Translasi vertikal: \( f(x) \longrightarrow f(x) + k \) dimana \( k \) adalah jumlah pergeseran ke atas atau bawah.
2. Refleksi (Pantulan) :
– Refleksi terhadap sumbu \( x \): \( f(x) \longrightarrow -f(x) \).
– Refleksi terhadap sumbu \( y \): \( f(x) \longrightarrow f(-x) \).
3. Dilatasi (Perubahan Skala) :
– Dilatasi horizontal: \( f(x) \longrightarrow f(cx) \) dimana \( c \) adalah faktor skala horizontal.
– Dilatasi vertikal: \( f(x) \longrightarrow a f(x) \) dimana \( a \) adalah faktor skala vertikal.
Dengan pemahaman dasar ini, kita akan beralih ke beberapa contoh soal transformasi fungsi.
Contoh Soal 1: Translasi Horizontal
Soal: Diberikan fungsi \( f(x) = x^2 \). Tentukan bentuk fungsi setelah ditranlasi 3 satuan ke kanan.
Pembahasan:
Translasi horizontal menggeser grafik fungsi sepanjang sumbu \( x \). Translasi ke kanan sebesar 3 satuan diterjemahkan sebagai:
\[ f(x-3) \]
Jadi, kita gantikan setiap \( x \) dengan \( x – 3 \) dalam fungsi asli:
\[ f(x-3) = (x-3)^2 \]
Sehingga fungsi yang ditranslasi ke kanan 3 satuan adalah:
\[ (x-3)^2 \]
Contoh Soal 2: Translasi Vertikal
Soal: Diberikan fungsi \( g(x) = \sqrt{x} \). Tentukan bentuk fungsi setelah ditranslasi 4 satuan ke atas.
Pembahasan:
Translasi vertikal menggeser grafik fungsi sepanjang sumbu \( y \). Translasi ke atas sebesar 4 satuan diterjemahkan sebagai:
\[ g(x) + 4 \]
Jadi, fungsi setelah ditranslasi ke atas adalah:
\[ \sqrt{x} + 4 \]
Contoh Soal 3: Refleksi Terhadap Sumbu \( x \)
Soal: Diberikan fungsi \( h(x) = \sin(x) \). Tentukan bentuk fungsi setelah direfleksikan terhadap sumbu \( x \).
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu \( x \) mengubah tanda dari fungsi. Jadi kita kalikan fungsi dengan -1:
\[ -h(x) \]
Maka, fungsi setelah direfleksikan terhadap sumbu \( x \) adalah:
\[ -\sin(x) \]
Contoh Soal 4: Refleksi Terhadap Sumbu \( y \)
Soal: Diberikan fungsi \( j(x) = e^x \). Tentukan bentuk fungsi setelah direfleksikan terhadap sumbu \( y \).
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu \( y \) mengubah tanda dari variabel \( x \). Jadi kita gantikan setiap \( x \) dengan \( -x \):
\[ j(-x) \]
Maka, fungsi setelah direfleksikan terhadap sumbu \( y \) adalah:
\[ e^{-x} \]
Contoh Soal 5: Dilatasi Vertikal
Soal: Diberikan fungsi \( f(x) = \cos(x) \). Tentukan bentuk fungsi bila dilakukan dilatasi vertikal dengan faktor 2.
Pembahasan:
Dilatasi vertikal melibatkan perkalian fungsi dengan faktor skala vertikal. Jadi kita kalikan fungsi dengan 2:
\[ 2f(x) \]
Maka, fungsi setelah dilakukan dilatasi vertikal dengan faktor 2 adalah:
\[ 2\cos(x) \]
Contoh Soal 6: Kombinasi Translasi Horizontal dan Vertikal
Soal: Diberikan fungsi \( k(x) = \ln(x) \). Tentukan bentuk fungsi setelah ditranslasi 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke bawah.
Pembahasan:
Pertama, translasi 2 satuan ke kiri diterjemahkan sebagai \( k(x+2) \). Kedua, translasi 3 satuan ke bawah diterjemahkan sebagai:
\[ k(x+2) – 3 \]
Maka, fungsi setelah kombinasi translasi ini adalah:
\[ \ln(x+2) – 3 \]
Contoh Soal 7: Kombinasi Refleksi dan Dilatasi
Soal: Diberikan fungsi \( m(x) = x^3 \). Tentukan bentuk fungsi setelah direfleksikan terhadap sumbu \( y \) dan dilakukan dilatasi vertikal dengan faktor 1/2.
Pembahasan:
Pertama, refleksi terhadap sumbu \( y \) diterjemahkan sebagai \( m(-x) \). Kedua, dilatasi vertikal dengan faktor 1/2 diterjemahkan sebagai:
\[ \frac{1}{2} m(-x) \]
Maka, fungsi setelah kombinasi refleksi dan dilatasi ini adalah:
\[ \frac{1}{2}(-x)^3 = -\frac{1}{2} x^3 \]
Contoh Soal 8: Dilatasi Horizontal
Soal: Diberikan fungsi \( n(x) = \tan(x) \). Tentukan bentuk fungsi bila dilakukan dilatasi horizontal dengan faktor 3.
Pembahasan:
Dilatasi horizontal melibatkan perkalian variabel \( x \) dengan 1/c (dimana \( c \) adalah faktor skala horizontal). Maka kita kalikan variabel \( x \) dengan 1/3:
\[ n(\frac{x}{3}) \]
Maka, fungsi setelah dilakukan dilatasi horizontal dengan faktor 3 adalah:
\[ \tan(\frac{x}{3}) \]
Penutup
Memahami transformasi fungsi, baik translasi, refleksi, maupun dilatasi, sangat berguna dalam matematika dan aplikasinya. Dengan melakukan latihan dan memecahkan berbagai masalah soal transformasi fungsi, kemampuan untuk mengimajinasikan dan memprediksi perubahan bentuk grafik fungsi akan semakin terasah.
Artikel ini memberikan beberapa contoh soal untuk membantu pembelajaran tentang transformasi fungsi. Setiap contoh soal diikuti dengan pembahasan yang rinci untuk memastikan bahwa konsep-konsep tersebut dipahami dengan baik. Latihan terus dengan berbagai variasi soal akan membantu Anda menjadi lebih mahir dalam memahami dan menerapkan transformasi fungsi.
