Contoh Soal Pembahasan Sifat-sifat Eksponen
Pendahuluan
Eksponen adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang sering kita temui dalam berbagai cabang ilmu, mulai dari aritmetika dasar hingga kalkulus dan analisis matematika. Pemahaman yang baik tentang sifat-sifat eksponen sangat penting, tidak hanya untuk menghadapi soal-soal di bangku sekolah, tetapi juga dalam aplikasi praktis di kehidupan sehari-hari. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan terkait sifat-sifat eksponen.
Pengertian dan Sifat-sifat Eksponen
Eksponen adalah bilangan yang menyatakan berapa kali suatu bilangan pokok (basis) digunakan sebagai faktor perkalian. Jika \( a \) adalah bilangan pokok dan \( n \) adalah eksponennya, maka ekspresi \( a^n \) berarti \( a \times a \times a \times … \times a \) (sebanyak \( n \) kali).
Beberapa sifat dasar dari eksponen meliputi:
1. Sifat Perkalian : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
2. Sifat Pembagian : \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (dengan syarat \( a \neq 0 \))
3. Eksponen Nol : \( a^0 = 1 \) (dengan syarat \( a \neq 0 \))
4. Eksponen Negatif : \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (dengan syarat \( a \neq 0 \))
5. Eksponen Pecahan : \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \)
6. Perkalian Eksponen : \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
7. Distribusi Eksponen : \((ab)^n = a^n \times b^n \)
8. Berlawanan Eksponen : \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Dengan memahami sifat-sifat dasar ini, kita dapat menyelesaikan berbagai soal eksponen dengan lebih mudah dan efektif.
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut ini beberapa contoh soal eksponen beserta pembahasannya:
Soal 1: Perkalian Eksponen
Soal:
Sederhanakan ekspresi berikut:
\[ 3^4 \times 3^3 \]
Pembahasan:
Gunakan sifat perkalian eksponen \( a^m \times a^n = a^{m+n} \):
\[ 3^4 \times 3^3 = 3^{4+3} = 3^7 \]
Jadi, \( 3^4 \times 3^3 = 3^7 \).
Soal 2: Pembagian Eksponen
Soal:
Sederhanakan ekspresi berikut:
\[ \frac{5^6}{5^2} \]
Pembahasan:
Gunakan sifat pembagian eksponen \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
\[ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 \]
Jadi, \( \frac{5^6}{5^2} = 5^4 \).
Soal 3: Eksponen Nol
Soal:
Berapakah hasil dari \( 7^0 \) dan \( (2+3)^0 \)?
Pembahasan:
Menurut sifat eksponen nol,
\[ 7^0 = 1 \]
Untuk \( (2+3)^0 \):
\[ (2+3)^0 = 5^0 = 1 \]
Jadi, \( 7^0 = 1 \) dan \( (2+3)^0 = 1 \).
Soal 4: Eksponen Negatif
Soal:
Sederhanakan ekspresi berikut:
\[ 2^{-3} \]
Pembahasan:
Gunakan sifat eksponen negatif \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):
\[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \]
Jadi, \( 2^{-3} = \frac{1}{8} \).
Soal 5: Eksponen Pecahan
Soal:
Sederhanakan ekspresi berikut:
\[ 16^{\frac{1}{2}} \]
Pembahasan:
Gunakan sifat eksponen pecahan \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \):
\[ 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4 \]
Jadi, \( 16^{\frac{1}{2}} = 4 \).
Soal 6: Perkalian Eksponen Ganda
Soal:
Sederhanakan ekspresi berikut:
\[ (2^3)^2 \]
Pembahasan:
Gunakan sifat perkalian eksponen \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):
\[ (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 \]
Jadi, \( (2^3)^2 = 2^6 \).
Soal 7: Distribusi Eksponen
Soal:
Sederhanakan ekspresi berikut:
\[ (3 \times 4)^2 \]
Pembahasan:
Gunakan sifat distribusi eksponen \( (ab)^n = a^n \times b^n \):
\[ (3 \times 4)^2 = 3^2 \times 4^2 \]
\[ 3^2 = 9 \]
\[ 4^2 = 16 \]
\[ 9 \times 16 = 144 \]
Jadi, \( (3 \times 4)^2 = 144 \).
Soal 8: Berlawanan Eksponen
Soal:
Sederhanakan ekspresi berikut:
\[ \left(\frac{2}{5}\right)^3 \]
Pembahasan:
Gunakan sifat berlawanan eksponen \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \):
\[ \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} \]
\[ 2^3 = 8 \]
\[ 5^3 = 125 \]
\[ \frac{8}{125} \]
Jadi, \( \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125} \).
Penutup
Sifat-sifat eksponen adalah alat yang sangat berguna untuk menyederhanakan dan menyelesaikan berbagai masalah matematika. Dengan memahami dan menguasai sifat-sifat ini, kita bisa lebih mudah dan cepat dalam menyelesaikan berbagai jenis soal. Dari artikel ini, kita telah melihat bagaimana berbagai sifat eksponen diterapkan dalam menyederhanakan dan memecahkan masalah. Semoga contoh-contoh soal dan pembahasan ini dapat membantu dalam meningkatkan pemahaman dan kemampuan Anda dalam bekerja dengan eksponen. Teruslah berlatih dan kuasai sifat-sifat eksponen untuk meraih kesuksesan dalam studi Anda!
