Contoh Soal dan Pembahasan Statistika
Statistika adalah cabang dari matematika yang berkaitan dengan pengumpulan, analisis, interpretasi, dan presentasi data. Alat-alat dalam statistika digunakan dalam berbagai bidang seperti ekonomi, teknik, kesehatan, dan ilmu sosial untuk memahami fenomena yang diamati. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal statistika beserta pembahasannya untuk membantu memahaminya lebih baik.
1. Sifat Data dan Jenis Distribusi
Contoh Soal 1:
Seorang peneliti mengumpulkan data dari 30 responden untuk mengetahui rata-rata usia dari masyarakat di sebuah desa. Berikut adalah usia yang tercatat:
25, 30, 22, 28, 34, 29, 31, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 24, 26, 28, 29, 27, 30, 32, 26, 25, 28, 31, 29, 30, 24, 32
Ditanyakan:
1. Hitunglah mean (rata-rata) dari data tersebut.
2. Tentukan median dari data tersebut.
Pembahasan:
1. Menghitung Mean:
Mean adalah jumlah seluruh nilai di bagi dengan jumlah data.
Mean = (25 + 30 + 22 + 28 + 34 + 29 + 31 + 24 + 26 + 27 + 29 + 30 + 31 + 33 + 35 + 24 + 26 + 28 + 29 + 27 + 30 + 32 + 26 + 25 + 28 + 31 + 29 + 30 + 24 + 32) / 30
Mean = 840 / 30 = 28
Jadi, rata-rata usia masyarakat di desa tersebut adalah 28 tahun.
2. Menentukan Median:
Langkah pertama untuk menghitung median adalah mengurutkan data dari yang terkecil hingga terbesar.
Data yang terurut: 22, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 34, 35
Karena jumlah data adalah 30 (genap), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah.
Nilai tengah ke-15 dan ke-16 adalah 29 dan 29.
Median = (29 + 29) / 2 = 29
Jadi, median dari data tersebut adalah 29 tahun.
2. Simpangan Baku dan Varians
Contoh Soal 2:
Berikut adalah data jumlah pengunjung harian sebuah toko dalam satu minggu: 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210.
Ditanyakan:
1. Hitunglah varians dari data tersebut.
2. Hitunglah simpangan baku dari data tersebut.
Pembahasan:
1. Menghitung Mean:
Mean = (120 + 135 + 150 + 165 + 180 + 195 + 210) / 7 = 1155 / 7 = 165
Jadi, rata-rata pengunjung harian adalah 165.
2. Menghitung Varians:
Varians \(\sigma^2\) adalah rata-rata dari kuadrat selisih antara setiap data dengan mean.
Varians = \(\sum_{i=1}^{n} (x_i – \mu)^2 / n\)
Dimana \(x_i\) adalah tiap-tiap data, \(\mu\) adalah mean, dan n adalah jumlah data.
\((120-165)^2 = 2025\)
\((135-165)^2 = 900\)
\((150-165)^2 = 225\)
\((165-165)^2 = 0\)
\((180-165)^2 = 225\)
\((195-165)^2 = 900\)
\((210-165)^2 = 2025\)
Jumlah keseluruhan = 2025 + 900 + 225 + 0 + 225 + 900 + 2025 = 6300
Varians = 6300 / 7 = 900
2. Menghitung Simpangan Baku:
Simpangan baku adalah akar kuadrat dari varians.
Simpangan baku = \(\sqrt{900}\) = 30
Jadi, varians data pengunjung harian adalah 900 dan simpangan bakunya adalah 30.
3. Distribusi Frekuensi dan Histogram
Contoh Soal 3:
Buatlah tabel distribusi frekuensi dan histogram berdasarkan data berikut ini yang menunjukkan nilai ujian dari 20 siswa:
45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 50, 55, 60, 65
Ditanyakan:
1. Susun tabel distribusi frekuensi dengan interval kelas 5.
2. Buat histogram berdasarkan tabel distribusi frekuensi tersebut.
Pembahasan:
1. Menyusun Tabel Distribusi Frekuensi:
Interval kelas yang digunakan adalah 5.
| Interval Kelas | Frekuensi |
|—————-|———–|
| 45 – 49 | 1 |
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 2 |
| 60 – 64 | 4 |
| 65 – 69 | 3 |
| 70 – 74 | 2 |
| 75 – 79 | 2 |
| 80 – 84 | 2 |
| 85 – 89 | 2 |
| 90 – 94 | 1 |
2. Membuat Histogram:
Histogram adalah representasi grafis dari tabel distribusi frekuensi. Setiap interval kelas diwakili oleh satu batang (bar), dan tinggi batang tersebut menunjukkan frekuensinya.
Untuk menggambarnya, Anda bisa menggunakan software seperti Excel atau alat-alat visualisasi data lainnya. Berikut adalah representasi sederhana dari histogram tersebut:
“`
Interval Kelas: x-axis (45-49, 50-54, …, 90-94)
Frekuensi: y-axis
| 4
| 3 x
| 2 x x x x x
| 1 x x x x x x x x
|———————————–
45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94
“`
Catatan: Representasi melalui karakter ASCII tidak sepenuhnya akurat. Gunakan perangkat lunak grafis untuk representasi yang lebih sesuai.
Kesimpulan
Melalui contoh soal dan pembahasan ini, kita telah mempelajari cara menghitung rata-rata, median, varians, simpangan baku, serta bagaimana membuat tabel distribusi frekuensi dan histogram dari suatu data. Pemahaman ini sangat penting untuk menganalisis data secara efektif dan membuat keputusan berdasarkan informasi statistik yang akurat.
Statistika adalah sebuah alat yang berdaya guna tinggi dalam penelitian dan aplikasi praktis. Semakin kita memahami konsep dasar dan penerapannya, semakin baik kita dapat menyelesaikan masalah yang kompleks dan mengambil keputusan yang tepat.
