Contoh Soal Pembahasan Sistem Pertidaksamaan Linear
Sistem pertidaksamaan linear adalah bagian dari matematika yang melibatkan hubungan antar beberapa pertidaksamaan linear. Sistem ini terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan yang memerlukan penyelesaian untuk mencari himpunan penyelesaian yang memenuhi semua pertidaksamaan tersebut secara serentak. Pembahasan mengenai sistem pertidaksamaan linear sering ditemui pada kurikulum matematika di tingkat SMP dan SMA, baik dalam soal ujian maupun latihan harian.
Sistem pertidaksamaan linear memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, mulai dari optimasi penggunaan sumber daya, perencanaan keuangan, hingga masalah logistik. Pemahaman konsep ini tidak hanya penting untuk menyelesaikan masalah matematika di sekolah, tetapi juga mempersiapkan siswa untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari secara logis dan efisien. Berikut ini adalah beberapa contoh soal beserta pembahasan tentang sistem pertidaksamaan linear.
Contoh Soal 1
Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut:
\[
\begin{cases}
x + y \leq 6 \\
x – y \geq 2
\end{cases}
\]
Pembahasan:
1. Menggambar garis batas setiap pertidaksamaan:
Untuk \(x + y \leq 6\), kita gambar garis \(x + y = 6\):
– Ketika \(x = 0\), \(y = 6\) menghasilkan titik (0, 6).
– Ketika \(y = 0\), \(x = 6\) menghasilkan titik (6, 0).
Untuk \(x – y \geq 2\), kita gambar garis \(x – y = 2\):
– Ketika \(x = 2\), \(y = 0\) menghasilkan titik (2, 0).
– Ketika \(y = -2\), \(x = 0\) menghasilkan titik (0, -2).
2. Menentukan daerah penyelesaian:
– Garis \(x + y = 6\) membaginya menjadi dua daerah, dan kita periksa satu titik uji yang tidak berada di garis, misalnya titik (0, 0):
\[
0 + 0 \leq 6 \quad (\text{benar})
\]
Jadi, daerah yang memenuhi adalah di bawah atau sebelah kiri garis \(x + y = 6\).
– Garis \(x – y = 2\) membagi layar kembali menjadi dua daerah, dan kita periksa titik (0, 0):
\[
0 – 0 \geq 2 \quad (\text{salah})
\]
Jadi, daerah yang memenuhi adalah di atas atau sebelah kanan garis \(x – y = 2\).
3. Menentukan irisan kedua daerah:
Solusi sistem adalah daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut. Kita mencari irisan dari dua daerah tersebut yang sesuai dengan arah ketidaksamaan masing-masing.
Kesimpulan:
Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah seluruh titik di dalam irisan kedua daerah yang memenuhi syarat \(x + y \leq 6\) dan \(x – y \geq 2\).
Contoh Soal 2
Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut di daerah kuadran pertama:
\[
\begin{cases}
2x + 3y \leq 12 \\
x \geq 0 \\
y \geq 0 \\
\end{cases}
\]
Pembahasan:
1. Menggambar garis batas setiap pertidaksamaan:
Untuk \(2x + 3y \leq 12\), kita gambar garis \(2x + 3y = 12\):
– Ketika \(x = 0\), \(y = 4\) menghasilkan titik (0, 4).
– Ketika \(y = 0\), \(x = 6\) menghasilkan titik (6, 0).
2. Menentukan daerah penyelesaian:
– Garis \(2x + 3y = 12\) dan uji titik (0, 0):
\[
2(0) + 3(0) \leq 12 \quad (\text{benar})
\]
Jadi, daerah yang memenuhi adalah di bawah atau sebelah kiri garis \(2x + 3y = 12\).
– \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\) menunjukkan titik penyelesaian berada di kuadran pertama.
3. Menentukan irisan kedua daerah:
Solusi sistem adalah daerah di kuadran pertama yang berada di bawah atau sebelah kiri garis \(2x + 3y = 12\).
Kesimpulan:
Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah titik-titik dalam kuadran pertama yang memenuhi \(2x + 3y \leq 12\).
Contoh Soal 3
Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut:
\[
\begin{cases}
y \geq 2x – 3 \\
y \leq -x + 1
\end{cases}
\]
Pembahasan:
1. Menggambar garis batas setiap pertidaksamaan:
Untuk \(y \geq 2x – 3\), kita gambar garis \(y = 2x – 3\):
– Ketika \(x = 0\), \(y = -3\) menghasilkan titik (0, -3).
– Ketika \(y = 0\), \(x = 1,5\) menghasilkan titik (1.5, 0).
Untuk \(y \leq -x + 1\), kita gambar garis \(y = -x + 1\):
– Ketika \(x = 0\), \(y = 1\) menghasilkan titik (0, 1).
– Ketika \(y = 0\), \(x = 1\) menghasilkan titik (1, 0).
2. Menentukan daerah penyelesaian:
– Garis \(y \geq 2x – 3\) di uji dengan titik (0, 0):
\[
0 \geq 2(0) – 3 \quad (\text{benar})
\]
Jadi, daerah yang memenuhi adalah di atas atau sebelah kanan garis \(2x – 3\).
– Garis \(y \leq -x + 1\) di uji dengan titik (0, 0):
\[
0 \leq -0 + 1 \quad (\text{benar})
\]
Jadi, daerah yang memenuhi adalah di bawah atau sebelah kiri garis \(-x + 1\).
3. Menentukan irisan kedua daerah:
Solusi sistem adalah daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut. Kita mencari daerah irisan antara dua ketidaksamaan tersebut.
Kesimpulan:
Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah titik-titik dalam irisan daerah yang memenuhi \(y \geq 2x – 3\) dan \(y \leq -x + 1\).
Dengan memahami cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear, diharapkan siswa dapat lebih terampil dalam menyelesaikan masalah matematika dan menerapkan konsep ini dalam situasi sehari-hari. Semoga contoh soal dan pembahasan tersebut dapat membantu siswa dalam belajar dan memahami konsep dasar sistem pertidaksamaan linear.
