Contoh Soal Pembahasan Lingkaran dan Garis Singgung
Lingkaran adalah salah satu bahasan penting dalam matriks geometri di mana berbagai konsep mendalam tentang jarak, sudut, dan bentuk dimanifestasikan. Salah satu konsep yang sering dibahas dalam topik ini adalah garis singgung sebuah lingkaran. Pada artikel kali ini, kita akan membahas beberapa contoh soal mengenai lingkaran dan garis singgung.
Pengertian Dasar Lingkaran dan Garis Singgung
Lingkaran
Lingkaran adalah bentuk geometri yang dibentuk oleh himpunan semua titik di sebuah bidang yang memiliki jarak tetap dari sebuah titik tertentu yang disebut pusat lingkaran. Jarak tetap ini disebut jari-jari lingkaran.
Garis Singgung
Garis singgung sebuah lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik saja. Titik ini disebut titik singgung. Garis singgung memiliki beberapa sifat penting, di antaranya adalah:
– Garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran di titik singgungnya.
– Panjang garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran ke lingkaran adalah sama jika ditarik dua garis singgung dari titik tersebut.
Contoh Soal dan Pembahasannya
Di bawah ini akan disajikan beberapa contoh soal yang membahas konsep lingkaran dan garis singgung secara terperinci.
Contoh Soal 1: Mencari Panjang Garis Singgung
Soal:
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat \(O\) dan jari-jari \(r = 6 \, \text{cm}\). Dari titik \(P\) di luar lingkaran yang berjarak 10 cm dari pusat lingkaran, ditarik dua buah garis singgung \(PA\) dan \(PB\) ke lingkaran. Hitunglah panjang garis singgung \(PA\).
Pembahasan:
Dalam masalah ini, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras. Gambar segitiga \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (jarak dari titik luar ke pusat lingkaran)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (jari-jari lingkaran)
– \(PA\) adalah garis singgung yang harus dicari
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Jadi, panjang garis singgung \(PA\) adalah 8 cm.
Contoh Soal 2: Mencari Titik Singgung
Soal:
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) dan sebuah garis \(y = 2x + 1\). Tentukan titik singgung antara lingkaran dan garis tersebut.
Pembahasan:
Pertama, kita identifikasi pusat dan jari-jari lingkaran:
– Pusat \(O(3, 4)\)
– Jari-jari \(r = \sqrt{25} = 5\)
Untuk mencari titik singgung, kita misalkan titik singgungnya adalah \(T(x_1, y_1)\) yang juga terletak pada garis \(y = 2x + 1\). Maka:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) juga harus memuaskan persamaan lingkaran:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Substitusi \(y_1 = 2x_1 + 1\) ke persamaan lingkaran:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Kita perlu menghitung dua kuadrat.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Gabungkan kedua hasil:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Kurangi 25 dari kedua sisi:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Pecahkan persamaan kuadrat:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
Hitung nilai \(y_1\):
Yang memenuhi dari y = 2x + 1:
– Bila \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), maka \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Bila \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), maka \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Evaluasi:
Jadi kita dapatkan dua titik singgung intersection dengan persamaan lingkaran tersebut dengan garis itu.
Contoh Soal 3: Menentukan Persamaan Garis Singgung
Soal:
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut yang melalui titik \((6, 7)\).
Pembahasan:
Garis singgung lingkaran pada lingkaran dengan pusat \((h, k)\) dan radius \(r\) dari satu titik luar yang diketahui dapat ditemukan dengan persamaan:
Garis singgung melalui titik external \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Substitusi titik luar \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Persamaan garis singgung adalah:
\[
x + y = 9
\]
Jadi, variasi persamaan garis melalui titik dari garis lingkaran sangat besar bisa berubah tergantung pada hasil atau visual representation.
Kesimpulan
Pembahasan mengenai lingkaran dan garis singgung mencakup beberapa aspek matematika yang fundamental, mulai dari penerapan rumus dasar seperti teorema Pythagoras hingga pemecahan persamaan kuadrat. Melalui contoh-contoh soal ini, kita bisa mengembangkan pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana menerapkan konsep-konsep ini dalam situasi yang agak kompleks. Semoga artikel ini membantu dalam memberikan gambaran yang jelas tentang cara pendekatan dan penyelesaian soal-soal lingkaran dan garis singgung.
