Contoh Soal Pembahasan Permutasi
Permutasi adalah penyusunan ulang suatu himpunan atau objek dalam urutan tertentu. Dalam matematika, konsep ini biasanya digunakan untuk menghitung berapa banyak cara suatu kelompok objek dapat disusun. Berikut ini, kita akan membahas beberapa contoh soal permutasi serta pembahasannya secara menyeluruh.
Definisi Permutasi
Permutasi dari suatu himpunan adalah pengaturan ulang element-elementnya dalam urutan tertentu. Jika ada \( n \) objek, permutasinya disimbolkan dengan \( P(n) \) atau lebih spesifik, \( P(n, r) \) untuk permutasi \( r \) dari \( n \) objek. Rumus dasar permutasi adalah:
\[ P(n) = n! \]
di mana \( n! \) (n faktorial) adalah hasil kali semua bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan \( n \).
Sedangkan rumus permutasi \( r \) dari \( n \) objek adalah:
\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Problem:
Berapa banyak cara untuk mengatur 4 buku yang berbeda dalam sebuah rak?
Pembahasan:
Untuk mengatur 4 buku yang berbeda, kita dapat menggunakan rumus permutasi untuk menghitung semua kemungkinan penyusunan buku-buku tersebut:
\[ P(4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
Jadi, ada 24 cara untuk mengatur 4 buku yang berbeda dalam sebuah rak.
Contoh Soal 2
Problem:
Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih dan mengatur 3 anggota dari 5 anggota tim dalam suatu urutan?
Pembahasan:
Kita menggunakan rumus permutasi \( P(n, r) \) di mana \( n = 5 \) dan \( r = 3 \):
\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
Jadi, ada 60 cara untuk memilih dan mengatur 3 anggota dari 5 anggota tim dalam urutan tertentu.
Contoh Soal 3
Problem:
Berapa banyak cara untuk mengatur kata “MATH” sehingga huruf tidak ada yang berulang?
Pembahasan:
Kata “MATH” terdiri dari 4 huruf yang semuanya berbeda. Kita bisa menggunakan rumus permutasi untuk menghitung semua pengaturan huruf-huruf tersebut:
\[ P(4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
Jadi, ada 24 cara untuk mengatur huruf-huruf dalam kata “MATH”.
Contoh Soal 4
Problem:
Dari angka 1, 2, 3, 4, 5, berapa banyak bilangan 3-digit yang dapat dibentuk jika tidak ada digit yang berulang?
Pembahasan:
Untuk membentuk bilangan 3-digit dari 5 angka berbeda di mana tidak ada digit yang berulang, kita menggunakan permutasi \( P(5, 3) \):
\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
Jadi, ada 60 cara untuk membentuk bilangan 3-digit dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 tanpa pengulangan digit.
Contoh Soal 5
Problem:
Ada 6 pemain, yaitu A, B, C, D, E, dan F. Mereka akan diatur dalam urutan 3 teratas untuk pertandingan. Berapa banyak cara mungkin untuk mengatur ketiga urutan tersebut?
Pembahasan:
Di sini kita diminta untuk mengatur 3 pemain dalam urutan tertentu dari keseluruhan 6 pemain. Rumus yang digunakan adalah permutasi \( P(n, r) \) di mana \( n = 6 \) dan \( r = 3 \):
\[ P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120 \]
Jadi, ada 120 cara untuk mengatur 3 dari 6 pemain dalam urutan tertentu.
Contoh Soal 6
Problem:
Tentukan berapa banyak permutasi dari kata “UNIVERSITAS” sehingga huruf-huruf vokal selalu berdampingan.
Pembahasan:
Kata “UNIVERSITAS” terdiri dari 11 huruf, dan huruf vokalnya adalah U, I, E, I, A. Anggaplah kelompok vokal ini sebagai satu unit.
Jadi, kita punya: (UIEIA), N, V, R, S, T, dan S (dianggap satu unit). Maka kita harus menyusun 7 unit ini:
\[ P(7) = 7! = 5040 \]
Namun, dalam kelompok vokal (UIEIA), mereka bisa disusun dalam:
\[ P(5) = 5! = 120 \]
Jadi, total permutasi adalah:
\[ 7! \times 5! = 5040 \times 120 = 604800 \]
Jadi, ada 604800 cara untuk menyusun kata “UNIVERSITAS” di mana semua vokal selalu berdampingan.
Kesimpulan
Permutasi adalah bentuk pengaturan objek atau himpunan dalam urutan tertentu, dan konsep ini memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, baik itu matematika, ilmu komputer, atau statistik. Dengan mengidentifikasi and mengimplementasikan rumus yang tepat, kita bisa dengan mudah menghitung banyaknya pengaturan yang mungkin.
Contoh soal yang diberikan memperlihatkan bagaimana rumus-rumus permutasi bekerja dan diterapkan dalam berbagai situasi. Pemahaman yang mendalam tentang permutasi sangat penting dalam memecahkan masalah kombinatorial yang kompleks dan sangat bermanfaat dalam pengembangan logika pemecahan masalah.
