Contoh Soal dan Pembahasan Juring Lingkaran
Juring lingkaran adalah salah satu topik penting dalam matematika yang sering muncul dalam ujian dan soal-soal latihan. Juring adalah bagian dari lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran yang menghubungkan kedua jari-jari tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal tentang juring lingkaran beserta pembahasan detailnya guna memperdalam pemahaman kita.
Pengertian Juring Lingkaran
Juring lingkaran merupakan sektor lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur. Luas juring dihitung berdasarkan fraksi dari luas total lingkaran. Rumus utama yang digunakan dalam menghitung juring adalah sebagai berikut:
– Luas Juring : \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Panjang Busur : \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Di mana:
– \( \theta \) adalah besar sudut juring dalam derajat,
– \( r \) adalah jari-jari lingkaran,
– \( \pi \) adalah konstanta (sekitar 3.14159).
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1:
Diketahui sebuah lingkaran dengan jari-jari 10 cm dan sebuah juring dengan sudut pusat 90°. Hitunglah luas juring tersebut.
Pembahasan:
Diketahui:
– \( r = 10 \) cm
– \( \theta = 90^\circ \)
Kita menggunakan rumus luas juring:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Jika \( \pi \) dianggap 3.14, maka:
\[L_juring = 25 \times 3.14\text{ cm}^2 = 78.5\text{ cm}^2\]
Jadi, luas juring tersebut adalah 78.5 cm².
Soal 2:
Sebuah juring dalam lingkaran memiliki jari-jari 7 cm dengan panjang busur 11 cm. Tentukan besar sudut pusat juring dalam radian.
Pembahasan:
Diketahui:
– \( r = 7 \) cm
– Panjang busur \( P_b = 11 \text{ cm} \)
Kita menggunakan rumus panjang busur untuk mencari sudut \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Karena kita diminta mencari sudut dalam radian, kita mengganti 360° dengan \(2\pi\) radian:
\[P_b = \theta \times r\]
\[11 = \theta \times 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \approx 1.57 \text{ rad}\]
Jadi, besar sudut pusat juring tersebut adalah 1.57 radian.
Soal 3:
Sebuah lingkaran dengan jari-jari 16 cm memiliki juring dengan luas 200 cm². Hitunglah besar sudut pusat juring tersebut.
Pembahasan:
Diketahui:
– \( r = 16 \) cm
– \( L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Kita menggunakan rumus luas juring untuk mencari \( \theta \):
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 \times 360^\circ = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \approx 89.45^\circ\]
Jadi, besar sudut pusat juring tersebut adalah sekitar 89.45°.
Soal 4:
Hitung keliling total dari sebuah juring yang memiliki jari-jari 12 cm dan sudut pusat 120°.
Pembahasan:
Diketahui:
– \( r = 12 \) cm
– \( \theta = 120^\circ \)
Pertama, kita cari panjang busur:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ cm}\]
Lalu, kita hitung keliling juring (panjang busur + dua jari-jari):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \times 12\text{ cm} + 8\pi\text{ cm}\]
\[K = 24\text{ cm} + 8\pi\text{ cm}\]
Jika \( \pi \) dianggap 3.14, maka:
\[K = 24\text{ cm} + 8 \times 3.14\text{ cm}\]
\[K = 24\text{ cm} + 25.12\text{ cm}\]
\[K = 49.12\text{ cm}\]
Jadi, keliling total dari juring tersebut adalah 49.12 cm.
Soal 5:
Jika sebuah lingkaran dengan jari-jari 18 cm memiliki juring yang membuat sudut 45°, tentukan panjang busur dan luas juring tersebut.
Pembahasan:
Diketahui:
– \( r = 18 \) cm
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Panjang Busur:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ cm}\]
Jika \( \pi \) dianggap 3.14, maka:
\[P_b = 4.5 \times 3.14\text{ cm} \approx 14.13\text{ cm}\]
Jadi, panjang busur tersebut adalah sekitar 14.13 cm.
2. Luas Juring:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Jika \( \pi \) dianggap 3.14, maka:
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ cm}^2 \approx 127.17\text{ cm}^2\]
Jadi, luas juring tersebut adalah sekitar 127.17 cm².
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal mengenai juring lingkaran beserta pembahasannya. Inti dari pemahaman tentang juring lingkaran terletak pada penguasaan rumus-rumus dasar untuk menghitung luas juring dan panjang busur. Dengan sering berlatih dan memahami cara penerapannya pada berbagai jenis soal, diharapkan dapat membantu meningkatkan kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal sejenis.
