Contoh Soal Pembahasan Tiga Serangkai Perbandingan Trigonometri
Trigonometri adalah salah satu cabang dari matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut dalam segitiga. Salah satu konsep dasar dalam trigonometri adalah tiga serangkai perbandingan trigonometri, yaitu sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan). Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal beserta pembahasan lengkap mengenai tiga serangkai perbandingan trigonometri untuk memudahkan pemahaman Anda.
1. Pengertian Tiga Serangkai Perbandingan Trigonometri
Pertama-tama, mari kita pahami apa yang dimaksud dengan sinus, kosinus, dan tangen.
– Sinus (sin) dari sudut adalah perbandingan antara panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi miring segitiga.
– Kosinus (cos) dari sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut terhadap panjang sisi miring segitiga.
– Tangen (tan) dari sudut adalah perbandingan antara panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi samping sudut. Tangen juga dapat diekspresikan sebagai hasil bagi antara sinus dan kosinus: tan(θ) = sin(θ) / cos(θ).
2. Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1:
Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring (hipotenusa) adalah 10 cm dan panjang sisi depan sudut θ adalah 6 cm. Tentukan nilai sin, cos, dan tan dari sudut θ.
Pembahasan:
Untuk mengetahui nilai sin(θ), cos(θ), dan tan(θ), kita juga perlu mengetahui panjang sisi samping. Mari kita gunakan teorema Pythagoras untuk menemukan panjang sisi samping.
Teorema Pythagoras:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
dimana c adalah sisi miring (hipotenusa), a adalah sisi depan sudut, dan b adalah sisi samping sudut.
Diberikan:
– Sisi miring (c) = 10 cm
– Sisi depan sudut θ (a) = 6 cm
Maka:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 6^2 + b^2 = 10^2 \]
\[ 36 + b^2 = 100 \]
\[ b^2 = 64 \]
\[ b = \sqrt{64} \]
\[ b = 8 \]
Jadi, panjang sisi samping (b) adalah 8 cm.
Selanjutnya, kita dapat menghitung nilai sinus, kosinus, dan tangen:
– Sin(θ) = Sisi Depan / Sisi Miring
\[ \sin(θ) = \frac{6}{10} = 0.6 \]
– Cos(θ) = Sisi Samping / Sisi Miring
\[ \cos(θ) = \frac{8}{10} = 0.8 \]
– Tan(θ) = Sisi Depan / Sisi Samping
\[ \tan(θ) = \frac{6}{8} = 0.75 \]
Soal 2:
Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi depan sudut α adalah 5 cm dan panjang sisi samping sudut α adalah 12 cm. Temukan nilai sin, cos, dan tan dari sudut α.
Pembahasan:
Sama seperti pada soal 1, mari gunakan teorema Pythagoras untuk menemukan panjang sisi miring.
Diberikan:
– Sisi depan sudut α (a) = 5 cm
– Sisi samping sudut α (b) = 12 cm
Gunakan teorema Pythagoras:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 5^2 + 12^2 = c^2 \]
\[ 25 + 144 = c^2 \]
\[ 169 = c^2 \]
\[ c = \sqrt{169} \]
\[ c = 13 \]
Jadi, panjang sisi miring (c) adalah 13 cm.
Selanjutnya, kita dapat menghitung nilai sinus, kosinus, dan tangen:
– Sin(α) = Sisi Depan / Sisi Miring
\[ \sin(α) = \frac{5}{13} \]
– Cos(α) = Sisi Samping / Sisi Miring
\[ \cos(α) = \frac{12}{13} \]
– Tan(α) = Sisi Depan / Sisi Samping
\[ \tan(α) = \frac{5}{12} \]
Soal 3:
Jika diketahui sin β = 0.6 dan sudut β terletak pada kuadran I, temukan nilai cos β dan tan β.
Pembahasan:
Diberikan sin β = 0.6
Kita tahu bahwa dalam kuadran I nilai cos β juga positif.
Gunakan identitas trigonometri dasar:
\[ \sin^2(β) + \cos^2(β) = 1 \]
\[ (0.6)^2 + \cos^2(β) = 1 \]
\[ 0.36 + \cos^2(β) = 1 \]
\[ \cos^2(β) = 1 – 0.36 \]
\[ \cos^2(β) = 0.64 \]
\[ \cos(β) = \sqrt{0.64} \]
\[ \cos(β) = 0.8 \]
Selanjutnya, kita dapat menghitung nilai tangen:
\[ \tan(β) = \frac{\sin(β)}{\cos(β)} \]
\[ \tan(β) = \frac{0.6}{0.8} \]
\[ \tan(β) = 0.75 \]
3. Kesimpulan
Konsep tiga serangkai perbandingan trigonometri (sin, cos, tan) adalah dasar dan sangat penting dalam memahami trigonometri secara umum. Dengan memahami cara mencari dan menghitung ketiga nilai ini pada berbagai jenis segitiga, Anda dapat memecahkan berbagai macam masalah trigonometri. Soal-soal yang telah dibahas di atas diharapkan dapat membantu meningkatkan pemahaman Anda tentang bagaimana menerapkan konsep-konsep ini dalam berbagai konteks.
Pemahaman yang solid tentang trigonometri juga akan memudahkan Anda dalam mempelajari topik-topik lanjutan dalam matematika dan sains, seperti kalkulus dan fisika. Jangan ragu untuk terus berlatih dan memperdalam pemahaman Anda mengenai konsep-konsep ini untuk mencapai tingkat keahlian yang lebih tinggi.
