Contoh Soal Pembahasan Perbandingan Trigonometri
Trigonometri adalah cabang matematika yang berkaitan dengan hubungan antara panjang dan sudut dalam segitiga. Perbandingan trigonometri memainkan peran kunci dalam berbagai bidang seperti teknik, fisika, astronomi, dan bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Artikel ini akan mengulas beberapa contoh soal beserta pembahasannya untuk membantu memahami konsep-konsep dasar tentang perbandingan trigonometri.
Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-Siku
Mari mulai dengan memahami perbandingan dasar dalam segitiga siku-siku. Perbandingan ini dikenal dengan istilah sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan). Dalam segitiga siku-siku, ada tiga sisi penting yang perlu kita identifikasi:
1. Sisi Depan (Opposite): Sisi yang berhadapan langsung dengan sudut yang sedang kita pertimbangkan.
2. Sisi Samping (Adjacent): Sisi yang berada di samping sudut yang sedang kita pertimbangkan.
3. Hipotenusa (Hypotenuse): Sisi terpanjang dalam segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut siku-siku.
Contoh Soal 1
Diberikan segitiga siku-siku dengan sudut θ, di mana sisi depan terhadap sudut θ memiliki panjang 3 unit, sisi samping memiliki panjang 4 unit, dan hipotenusa memiliki panjang 5 unit. Carilah nilai sin, cos, dan tan dari sudut θ.
Penyelesaian:
Untuk mencari nilai sinus, cosinus, dan tangen dari sudut θ, kita menggunakan rumus-rumus dasar perbandingan trigonometri:
– Sinus (sin) θ = Sisi Depan / Hipotenusa
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]
– Cosinus (cos) θ = Sisi Samping / Hipotenusa
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]
– Tangen (tan) θ = Sisi Depan / Sisi Samping
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Hubungan Trigonometri pada Sudut-Sudut Lain
Perbandingan trigonometri juga dapat diterapkan pada sudut lain dalam berbagai jenis segitiga, termasuk segitiga sama sisi dan segitiga sembarang. Penting untuk memahami aturan-aturan dasar seperti Aturan Sinus dan Aturan Cosinus yang digunakan untuk segitiga yang bukan segitiga siku-siku.
Contoh Soal 2
Diberikan segitiga ABC dengan sisi a = 7 cm, b = 24 cm, dan sudut C = 90°. Carilah panjang sisi c dan nilai sudut A dan B.
Penyelesaian:
Karena sudut C adalah sudut siku-siku, kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras untuk menemukan panjang sisi c (hipotenusa):
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ c = \sqrt{49 + 576} \]
\[ c = \sqrt{625} \]
\[ c = 25 \, \text{cm} \]
Selanjutnya, untuk menentukan nilai dari sudut A dan B, kita bisa menggunakan perbandingan trigonometri dasar.
Untuk sudut A, kita menggunakan cosinus:
\[ \cos A = \frac{\text{sisi samping}}{\text{hipotenusa}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
Untuk sudut B, kita menggunakan sinus:
\[ \sin B = \frac{\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
Karena dalam segitiga siku-siku jumlah sudut selain sudut siku-siku haruslah 90°:
\[ A + B = 90° \]
\[ A = 90° – B \]
Aturan Sinus
Aturan sinus dinyatakan sebagai berikut:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Contoh Soal 3
Diberikan segitiga dengan sisi a = 8 cm, sisi b = 15 cm, dan sudut C = 60°. Temukan sudut A dan panjang sisi c menggunakan Aturan Sinus.
Penyelesaian:
Pertama, gunakan Aturan Sinus untuk menemukan salah satu sudut lainnya (misalnya sudut A):
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
Kita perlu menghitung nilai c terlebih dahulu. Karena sudut C adalah 60°, kita dapat menggunakan Aturan Cosinus:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[ c^2 = 289 – 120 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{cm} \]
Sekarang, kita bisa menemukan sudut A:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
Karena \(\sin 60° = \sqrt{3}/2\):
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]
Akhirnya, dengan menggunakan invers sinus:
\[ A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]
Aturan Cosinus
Aturan cosinus menyatakan:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
Contoh Soal 4
Diberikan segitiga dengan sisi a = 9 cm, sisi b = 12 cm, dan sisi c = 15 cm. Carilah sudut C.
Penyelesaian:
Untuk mencari sudut C, kita gunakan Aturan Cosinus:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[ 15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[ 225 = 225 – 216 \cos C \]
\[ 0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]
Dari sini kita tahu bahwa sudut C adalah 90° karena cos 90° = 0.
Demikianlah beberapa contoh soal untuk membantu Anda memahami perbandingan trigonometri. Latihan berkelanjutan dengan berbagai jenis soal akan sangat membantu dalam memperkuat pemahaman konsep ini. Semoga artikel ini bermanfaat dalam pembelajaran Anda!
