Contoh Soal Pembahasan Peluang Kejadian Majemuk Saling Bebas Bersyarat
Pendahuluan
Peluang adalah cabang matematika yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Salah satu konsep dasar dalam teori peluang adalah peristiwa atau kejadian majemuk, yang dapat dikategorikan sebagai kejadian saling bebas atau bersyarat. Artikel ini akan membahas secara mendalam konsep-konsep tersebut melalui contoh soal dan pembahasan.
Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk adalah gabungan dari dua atau lebih peristiwa yang terjadi dalam sebuah ruang sampel. Ada dua jenis kejadian majemuk yakni: Kejadian saling bebas dan kejadian bersyarat.
1. Kejadian Saling Bebas : Dua kejadian disebut saling bebas jika keberhasilan atau kegagalan salah satu kejadian tidak mempengaruhi kejadian lainnya. Misalnya, hasil pelemparan koin dan pelemparan dadu.
2. Kejadian Bersyarat : Kejadian bersyarat terjadi ketika keberhasilan atau kegagalan suatu peristiwa mempengaruhi kemungkinan terjadinya peristiwa lain. Misalnya, peluang seseorang mengidap suatu penyakit jika orang tersebut memiliki riwayat genetika penyakit tersebut.
Peluang Kejadian Saling Bebas
Rumus untuk menghitung peluang dua kejadian saling bebas A dan B adalah:
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
Dimana:
– \(P(A \cap B)\) adalah peluang terjadinya kejadian A dan B secara bersamaan.
– \(P(A)\) adalah peluang terjadi kejadian A.
– \(P(B)\) adalah peluang terjadi kejadian B.
Contoh Soal dan Pembahasan: Kejadian Saling Bebas
Soal 1 : Sebuah koin dilempar dan sebuah dadu bersisi enam dilempar. Tentukan peluang munculnya gambar di koin dan angka 4 pada dadu.
Pembahasan :
– Peluang muncul gambar di koin: \( P(G) = \frac{1}{2} \)
– Peluang muncul angka 4 pada dadu: \( P(4) = \frac{1}{6} \)
Karena koin dan dadu adalah dua kejadian saling bebas, maka peluang keduanya terjadi bersamaan adalah:
\[ P(G \cap 4) = P(G) \times P(4) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \]
Jadi, peluang munculnya gambar di koin dan angka 4 pada dadu adalah \( \frac{1}{12} \).
Peluang Kejadian Bersyarat
Peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B adalah peluang A terjadi bila diketahui B telah terjadi. Rumus untuk menghitung peluang bersyarat ditunjukkan sebagai berikut:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Dimana:
– \( P(A|B) \) adalah peluang terjadi event A dengan syarat event B sudah terjadi.
– \( P(A \cap B) \) adalah peluang terjadi event A dan B secara bersamaan.
– \( P(B) \) adalah peluang terjadi event B.
Contoh Soal dan Pembahasan: Kejadian Bersyarat
Soal 2 : Dari sebuah kotak yang berisi 3 bola merah dan 2 bola biru, dua bola diambil secara acak satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang bola kedua yang diambil adalah merah jika bola pertama juga merah.
Pembahasan :
Misalkan:
– A adalah kejadian bola pertama merah.
– B adalah kejadian bola kedua merah.
Kita mencari \( P(B|A) \). Pertama, kita hitung \(P(A)\) dan \(P(A \cap B)\):
Jumlah total bola = 5 (3 merah dan 2 biru).
Peluan bola pertama merah:
\[
P(A) = \frac{3}{5}
\]
Setelah bola merah pertama diambil, jumlah bola merah yang tersisa adalah 2 dan total bola menjadi 4.
Peluang bola kedua merah setelah bola pertama merah diambil:
\[
P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Jadi, peluang bola kedua merah jika bola pertama juga merah adalah \( \frac{1}{2} \).
Contoh Soal Kombinasi
Untuk memperdalam pemahaman, kita bisa menggabungkan kejadian majemuk saling bebas dan bersyarat dalam satu soal.
Soal 3 : Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Dua bola diambil secara acak tanpa pengembalian. Tentukan peluang bola pertama merah dan bola kedua biru.
Pembahasan :
Kita memakai notasi yang sama seperti sebelumnya:
– A adalah kejadian bola pertama merah.
– B adalah kejadian bola kedua biru.
Pertama, kita hitung peluang masing-masing kejadian secara berturut-turut.
Peluang bola pertama merah:
\[
P(A) = \frac{5}{8}
\]
Jika bola pertama merah, jumlah bola merah tersisa = 4, dan total bola tersisa = 7.
Peluang bola kedua biru setelah bola pertama merah:
\[
P(B|A) = \frac{3}{7}
\]
Jadi, peluang bola pertama merah dan bola kedua biru adalah hasil dari produk dua peluang bersyarat ini:
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}
\]
Jadi, peluang bola pertama merah dan bola kedua biru adalah \( \frac{15}{56} \).
Kesimpulan
Dalam teori peluang, memahami perbedaan antara kejadian saling bebas dan kejadian bersyarat sangat penting untuk memecahkan masalah yang melibatkan kejadian majemuk. Melalui pembahasan contoh soal, kita belajar bagaimana menghitung peluang dari berbagai skenario yang melibatkan kedua konsep ini. pemahaman yang baik mengenai konsep ini dapat membantu dalam pengambilan keputusan dalam berbagai situasi nyata seperti manajemen risiko, game, dan penelitian ilmiah.
Penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari menunjukkan betapa krusialnya pemahaman ini dalam berbagai aspek kehidupan manusia, mulai dari yang paling sederhana hingga yang kompleks. Dengan terus berlatih dan menguasai konsep-konsep dasar ini, keterampilan kita dalam analisis probabilitas akan semakin tajam.
